小學(xué)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)研究導(dǎo)引與案例解析

1、PAGE PAGE 12小學(xué)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)研究導(dǎo)引與案例解析【摘要】綜合與實(shí)踐活動(dòng)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)四大領(lǐng)域之一，它的涵義是一種學(xué)生人人參與的必修學(xué)習(xí)活動(dòng)，是具有可綜合性、思考性、操作性、趣味性的數(shù)學(xué)活動(dòng)。本文按照活動(dòng)的內(nèi)容, 將這一領(lǐng)域的活動(dòng)分為綜合應(yīng)用型，操作實(shí)踐型，數(shù)學(xué)欣賞型，數(shù)學(xué)文化型，數(shù)學(xué)素養(yǎng)型， 并結(jié)合22個(gè)案例具體解析?！娟P(guān)鍵詞】綜合與實(shí)踐 涵義 分類 案例義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）把小學(xué)數(shù)學(xué)分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何，統(tǒng)計(jì)與概率，綜合與實(shí)踐四大領(lǐng)域。與其他幾個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容和要求相比，綜合與實(shí)踐活動(dòng)領(lǐng)域的內(nèi)容要求顯得尚不明晰，只有相應(yīng)的框架性目標(biāo)與個(gè)別案例，從現(xiàn)實(shí)教學(xué)狀況來看，

2、僅僅有理念層面的引導(dǎo)難以付諸于教學(xué)行為，到底什么是小學(xué)數(shù)學(xué)的綜合與實(shí)踐活動(dòng)？綜合與實(shí)踐活動(dòng)有哪些基本的類型？怎樣組織綜合與實(shí)踐活動(dòng)的開展？本文就是基于此而展開討論， 并提供25個(gè)典型的案例。 一， 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)涵9年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）指出，“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體、師生共同參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)。針對(duì)問題情境，學(xué)生綜合所學(xué)的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實(shí)際之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。我們認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)容要符合以下的要求：問題情景的綜合性、趣味

3、性和挑戰(zhàn)性。綜合與實(shí)踐活動(dòng)不能是其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域的簡單重復(fù)， 問題情景必須較為開闊，能夠?yàn)樗袑W(xué)生理解，又生動(dòng)有趣， 調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。綜合與實(shí)踐活動(dòng)不是難題，而是人人都能參與，起點(diǎn)低，開放度大的問題，現(xiàn)在目前技能難度系數(shù)高的問題比較多，體驗(yàn)性與欣賞性的比較少。比如：555555555999999999中間填幾能被7整除， 就太難了。常見的去居民區(qū)調(diào)查等，并非小學(xué)生適合體驗(yàn)的實(shí)踐活動(dòng)。比如調(diào)查小區(qū)內(nèi)每戶人家的用水量，難免給居民帶來一定的不便，而調(diào)查所得數(shù)據(jù)背后的社會(huì)問題，也并非一個(gè)小學(xué)生所能理解的。問題解決過程中的活動(dòng)性和可操作性。既然是實(shí)踐活動(dòng)， 并非只是做一道習(xí)題或考題那樣的單純。 在

4、綜合實(shí)踐活動(dòng)中， 學(xué)生要“動(dòng)”起來。 不止動(dòng)腦， 還要?jiǎng)邮郑?包括其他的活動(dòng)。 3 數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)， 有助于提高學(xué)習(xí)著的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)的綜合與實(shí)踐活動(dòng)不是泛化的綜合型活動(dòng)，即便是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的內(nèi)容相聯(lián)系，也要突出數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，即便是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系， 也必須呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。比如：1000000顆黃豆有多重？事實(shí)上，百萬顆黃豆的重量不重要，重要的是百萬這個(gè)數(shù)的構(gòu)造。具體的實(shí)物1百萬有多少這是人的生活體驗(yàn)，不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。每個(gè)居民向?yàn)?zāi)區(qū)捐款500元月，多少居民能捐滿到1百萬？13億人中有多少個(gè)1百萬？這些素材不僅有現(xiàn)實(shí)背景，而且還有數(shù)學(xué)意義。 二 綜合與實(shí)踐活動(dòng)的類型小學(xué)數(shù)學(xué)的

5、“綜合與實(shí)踐活動(dòng)”應(yīng)該是豐富多彩的。我們嘗試把“綜合與實(shí)踐活動(dòng)”的內(nèi)容分為以下5個(gè)主要類型：綜合應(yīng)用型，操作活動(dòng)型，數(shù)學(xué)欣賞型，數(shù)學(xué)文化型，數(shù)學(xué)素養(yǎng)型。并分別用案例加以說明。綜合應(yīng)用型。這是指在實(shí)踐活動(dòng)中，需要把數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的知識(shí)和技能綜合起來，靈活應(yīng)用解決問題?？赡苁谴鷶?shù)與幾何內(nèi)容的結(jié)合，可能是統(tǒng)計(jì)與排列組合的結(jié)合，也可能是同一領(lǐng)域不同知識(shí)和技能的結(jié)合。 案例1 班級(jí)旅游計(jì)劃。 這是目前大量采用的實(shí)際應(yīng)用課題?；顒?dòng)需要根據(jù)班級(jí)的實(shí)際情況， 分交通、食品飲料、門票等開支，以及班級(jí)人數(shù)、交款數(shù)額，學(xué)校補(bǔ)助， 折扣計(jì)算等許多數(shù)據(jù)。高年級(jí)復(fù)雜些， 低年級(jí)簡單些， 根據(jù)具體情形設(shè)置。案例2 儲(chǔ)蓄計(jì)算。

6、 學(xué)習(xí)百分比以后，根據(jù)現(xiàn)行利率， 計(jì)算不同存期（整存整取， 6個(gè)月或12個(gè)月存期）， 利息轉(zhuǎn)存， 求5年后的本利和。社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)是我國的經(jīng)濟(jì)體制。 數(shù)學(xué)課程責(zé)無旁貸地應(yīng)當(dāng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的某些計(jì)算工具。案例3 身份證號(hào)碼的第18位檢驗(yàn)碼。身份證第18位是檢驗(yàn)碼， 這是數(shù)碼信息時(shí)代的特色之一。 根據(jù)網(wǎng)上公布的17個(gè)“權(quán)”，以及前17位身份證號(hào)碼，加權(quán)作和， 然后除以11， 所得余數(shù)可以相應(yīng)地得到第18位號(hào)碼。此問題可以擴(kuò)充到書號(hào)、商品條形碼等問題， 雖然只用到加減乘除， 卻充滿了時(shí)代氣息。案例4 做“紙獎(jiǎng)杯”。 本案例可以用彩色紙（或者廢報(bào)紙）做一個(gè)獎(jiǎng)杯， 部件分別是長方體， 錐體、圓柱體等立體圖

7、形。 主要幫助學(xué)生了解這些“可展為平面”的立體圖形的構(gòu)造。 這里， 特別指出， 球面不是可展面，不能用紙做出來。案例5 用方格紙上架設(shè)坐標(biāo)系標(biāo)記教室。 坐標(biāo)確定位置， 關(guān)鍵是原點(diǎn)選取和坐標(biāo)軸架設(shè)。 不同架設(shè)得到不同的標(biāo)記。 每個(gè)學(xué)生對(duì)應(yīng)一對(duì)自然數(shù)坐標(biāo)之后， 我們可以問“兩個(gè)坐標(biāo)都相同”點(diǎn)是什么圖形？第一個(gè)坐標(biāo)是0 的同學(xué)構(gòu)成什么圖形。 坐標(biāo)的作用不僅僅是確定位置， 關(guān)鍵是表示集合圖象。操作活動(dòng)型。 這是指學(xué)生需要借助肢體的操作活動(dòng)來完成的實(shí)踐活動(dòng)，比較直觀，把顯性動(dòng)作與隱性的數(shù)學(xué)思考相結(jié)合完成。 案例6 （巨人的手） 荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾的設(shè)計(jì) 昨晚外星人訪問我校， 留下一個(gè)巨大的手?。ㄔ诤诎?/p>

8、上）。據(jù)說， 這位外星人和地球人的外形十分相似。 今晚他還要來，請(qǐng)問要給他坐桌子要多高？書應(yīng)該多大？鉛筆應(yīng)該多長？他們用的硬幣面積有多大。學(xué)習(xí)“比例”內(nèi)容以后可以進(jìn)行這一綜合實(shí)踐活動(dòng)。這一活動(dòng)將比例、幾何圖形、數(shù)字計(jì)算綜合起來，適合小學(xué)生的趣味需要和數(shù)學(xué)水平。測量，是基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，但要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)本質(zhì)。 本題的價(jià)值在于：將測量的手段服務(wù)于“相似形”的對(duì)應(yīng)邊成比例。案例7 認(rèn)識(shí)算盤。珠算已經(jīng)成為我國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，目前正在申報(bào)世界非物質(zhì)遺產(chǎn)。僅就“德育”層面分析， 珠算就是必須認(rèn)識(shí)的。珠算是半抽象的計(jì)算模型。 它的位置記數(shù)方法清晰，加減過程透明，易于理解。 尤其因?yàn)橹樗闶且环N學(xué)具， 甚或是玩具。

9、學(xué)生動(dòng)手撥弄算珠， 是難得的動(dòng)手計(jì)算的數(shù)學(xué)活動(dòng)， 至于為什么中國的算盤上面有兩顆珠？它的數(shù)學(xué)意義是什么？加減統(tǒng)一的思維方法， 更是值得學(xué)生探討學(xué)習(xí)的。此外， 對(duì)于智障兒童來說， 珠算是學(xué)習(xí)數(shù)字計(jì)算的必用工具。案例8：自制飛機(jī)飛多遠(yuǎn)？（選自美國課程標(biāo)準(zhǔn)，2000）用一張A4紙折飛機(jī)，能夠飛多遠(yuǎn)呢？為了反應(yīng)飛機(jī)飛的距離需要收集相應(yīng)的數(shù)據(jù)，幾次比較合適？ 加上別針會(huì)是怎樣的結(jié)果？這是一個(gè)收集數(shù)據(jù)進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐活動(dòng)?？砂匆韵虏襟E操作（1）用一張A4紙折飛機(jī)，能夠飛多遠(yuǎn)呢？（2）要比飛的距離？飛幾次比較合適？（3）用哪個(gè)數(shù)代表飛行距離？（4）在機(jī)頭上加上一個(gè)別針，再次測量飛行距離；看看結(jié)果會(huì)是怎樣？

10、（5）加兩個(gè)別針再作試驗(yàn)；（6）分析數(shù)據(jù)，推斷：是不是別針加得越多越遠(yuǎn)？（7）加3個(gè)別針驗(yàn)證；（8）歸納：影響飛機(jī)飛行距離的因素。會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)不是想象的那樣，太重了反而飛不遠(yuǎn)了。案例9 三角與折扣 （張景中院士提供）把正方形壓扁成菱形，菱形的面積與壓扁的角度有關(guān)；把壓扁后菱形的面積所打的折扣叫做正弦。如果邊長是1有一個(gè)角為a的菱形的面積叫做角a的正弦，那么平行四邊形的面積sinAab?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出三角形等其他平面圖形的面積。 這個(gè)案例源自張景中院士的“三角下放”的設(shè)想。在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積的時(shí)候，幾乎所有學(xué)生開始的直覺都是相鄰兩邊的乘積就是平行四邊形的面積。這樣的想法具有一定的合理的成份

11、，問題是要打一個(gè)折扣： sin A。對(duì)任意ABC，它的面積就1/2bcsinA=1/2acsinB1/2absinC。 案例10 兩顆骰子數(shù)值之差的統(tǒng)計(jì)（選自美國課程標(biāo)準(zhǔn)，2000）差數(shù)出現(xiàn)的頻率擲兩顆骰子得到兩個(gè)數(shù)， 注意大數(shù)減小數(shù)后的差數(shù). 是否有一個(gè)差數(shù)比其他差數(shù)更可能出現(xiàn)？如果你擲這兩顆骰子20次， 看看結(jié)果如何？3數(shù)學(xué)欣賞型的活動(dòng)。數(shù)學(xué)與語文的學(xué)習(xí)有很多不同。 學(xué)習(xí)唐詩，會(huì)欣賞不會(huì)做；但是數(shù)學(xué)剛好相反，數(shù)學(xué)會(huì)做卻往往不會(huì)欣賞。我們應(yīng)該讓學(xué)生在會(huì)做數(shù)學(xué)的同時(shí)也能夠?qū)W會(huì)欣賞某些數(shù)學(xué)。欣賞不只是直觀的形象美，領(lǐng)域也不局限在幾何領(lǐng)域，包括代數(shù)領(lǐng)域的和諧美、應(yīng)用美、規(guī)律美等。案例11 收集各種

12、幾何圖案（包括常見圖案、交通標(biāo)志、商標(biāo)，建筑外形等）。這是直觀的觀察活動(dòng)， 著重于外觀之美。結(jié)合圖案的來源說明其意義， 增加幾何圖形美觀的人文價(jià)值。 如五環(huán)旗幟與無大洲、五種膚色等案例12圓規(guī)畫米老鼠。規(guī)定只能用圓規(guī)在坐標(biāo)方格紙上畫出米老鼠的形象， 而且指出各段圓弧的圓心坐標(biāo)和半徑長度。這個(gè)活動(dòng)涉及數(shù)學(xué)欣賞，但它不僅僅是客觀地欣賞數(shù)學(xué)美，而要主觀地創(chuàng)造美麗的圖案。具體的操作辦法是根據(jù)米老鼠的形象用圓規(guī)畫出相應(yīng)圓或圓弧，要求學(xué)生熟練使用圓規(guī)，熟練操作技能。同時(shí)要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確描述每一個(gè)組成部分的畫法，圓心位置，半徑大小，借助坐標(biāo)及方格準(zhǔn)確刻畫。 案例13：數(shù)與式的和諧美。數(shù)學(xué)美不僅在圖形和幾何領(lǐng)

13、域，也蘊(yùn)含在數(shù)與代數(shù)的領(lǐng)域。比如：和諧美： 交換律a+b = b+a; abba；看起來很和諧， 如 1/21/31/6, 分子分母分別相乘，也是和諧的； 但分?jǐn)?shù)的加法， 把分子分母分別相加，表面和諧卻是錯(cuò)誤的，許多同學(xué)寫出 1/21/32/5；就是根據(jù)“和諧”的愿望， 可惜是錯(cuò)的； 式的規(guī)律美：如111 1111121 11111112321 111111111234321 美妙的結(jié)果： 任何三角形內(nèi)角和都是180度； 三角形三條高交于一點(diǎn)， 三條中線交于一點(diǎn)， 三條角平分線交于一點(diǎn)。 美妙之極， 驚嘆自然規(guī)律之深刻。案例14 在一塊矩形場地要設(shè)置一些花壇，使得花壇的面積恰好為場地的一半，

14、花壇的形狀要盡量美觀。（源自日本1993年一次國際會(huì)議上現(xiàn)場課的題目） 這是一道開放題， 可以有無數(shù)種設(shè)計(jì)。問題要求學(xué)生把數(shù)學(xué)和美術(shù)結(jié)合起來， 用豐富的想象力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)計(jì)算， 獲得滿意的結(jié)果。 評(píng)價(jià)時(shí)可以要求至少給出5種不同的設(shè)計(jì)。4 數(shù)學(xué)文化型活動(dòng)。 數(shù)學(xué)是一種文化。 數(shù)學(xué)所承載的人文精神是我們需要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。數(shù)數(shù)學(xué)文化最容易聯(lián)系的是有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容案例16 圓周率的演變中國古代從先秦時(shí)期開始，一直是取“周三徑一”的數(shù)值來進(jìn)行有關(guān)圓的計(jì)算。東漢的張衡不滿足于這個(gè)結(jié)果，他從研究圓與它的外切正方形的關(guān)系著手得到圓周率。魏晉時(shí)期，劉徽提出用“割圓術(shù)”來求圓周率，把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到

15、了正3072邊形，并由此而求得了圓周率 為3.14和 3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算最精確的數(shù)據(jù)。以后到了南北朝時(shí)期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)以后的第七位。比西方國家早一千一百多年。 案例16 華羅庚和陳景潤、哥德巴赫猜想華羅庚的傳奇人生是大家熟悉的。在學(xué)習(xí)奇、偶數(shù)的時(shí)候， 可以舉行這樣的活動(dòng)， 讓大家收集資料， 寫一篇數(shù)學(xué)作文。 陳景潤與哥德巴赫猜想：1742年，歌德巴赫寫信給著名數(shù)學(xué)家歐拉，信中提出如下問題：每一個(gè)偶數(shù)n6，都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)p1,p2之和，即n=p1+p2. 這就是至今仍未能完全解決這個(gè)世界著名的難題，歌德巴赫猜

16、想。我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了（12），即一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)之積的和。 大家可以試試 案例17 對(duì)稱和對(duì)聯(lián)清泉石上流明月松間照它們有什么共同點(diǎn)？ 變化中的不變性質(zhì)。案例 18 無限的想象小學(xué)數(shù)學(xué)有許多無限， 自然數(shù)全體就是無限的。 因如分?jǐn)?shù)后有無限循環(huán)小數(shù)， 幾何里有無限延長不相交的平行線。 聯(lián)想杜甫的詩：“無邊落木蕭蕭下， 不盡長江滾滾來”。 讓大家談?wù)勎覀冾^腦中的無限。 無限的宇宙， 無限的思念 5 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)素養(yǎng)型123456789案例19 九宮格里的四方連。如圖在九宮格中找出四方連圖形，并用4個(gè)數(shù)算出24。這是一個(gè)數(shù)與形結(jié)合的綜合實(shí)踐活動(dòng)，一方面學(xué)生需要知道四方連的幾種不同形式，同時(shí)要要平移

17、四方連感知到每一個(gè)四連方出現(xiàn)在九宮格的不同位置；另一方面，根據(jù)四方連出現(xiàn)的位置不同，對(duì)應(yīng)的4個(gè)數(shù)需要經(jīng)過計(jì)算，求得結(jié)果24。 本圖可勾劃出28個(gè)四方連圖，這些圖中的數(shù)均能通過計(jì)算算出得數(shù)24。 在這個(gè)過程中，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的變化關(guān)系，從特殊到一般，從不可檢測到可以檢驗(yàn)，從描述走向證明。案例20圖形分類如圖所示，桌上散落著一些扣子，請(qǐng)同學(xué)們想一想可以把這些扣子分成幾類？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？然后，數(shù)一數(shù)每一類各有多少顆扣子，并用文字、圖畫或表格等方式把結(jié)果記錄下來。這個(gè)案例源自新課標(biāo)的修訂稿中，是一個(gè)比較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)型綜合實(shí)踐活動(dòng)，上通數(shù)學(xué)，下達(dá)課堂。本活動(dòng)的目的是希望學(xué)生能夠清楚，分類是要依賴分類標(biāo)準(zhǔn)的，比如扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數(shù)量都可以作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，而在不同的分類標(biāo)準(zhǔn)下分類的結(jié)果可能是不同的。案例21 鐘面問題將鐘面上12個(gè)數(shù)字，分別添上加號(hào)或減號(hào)， 使它們的和為零。這是來源于浙江數(shù)學(xué)教材的一道開放題。 答案有124個(gè)。這對(duì)訓(xùn)練數(shù)字加法， 尋求規(guī)律的探索方面有積極意義。案例22 平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱。（1）一點(diǎn)到另一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用平移就能實(shí)現(xiàn)了。（2）如