maths老師導(dǎo)數(shù)大題訓(xùn)練之一

1、導(dǎo)數(shù)大題訓(xùn)練之一1求證下列不等式2x（1） sin x x (0 ,)2 x x (0 ,)2（1）sin x2sin x證： （1）原式)令 f (x) ， x (0 ,)2cos x 0 ， x tan x 0 xx x (0 , ) ，2 f (x) cosf (x) 0 ， (0 ,) 2x 222xf ( ) sin x 2（2）令 f ( sin x ， f (0) 0 (1 cos)f (cos2 xx (0 ,)f (x) 0 (0 ,) x222.已知函數(shù) f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù) f(x)的最大值；(ii)設(shè) 0ab,證明 0g(a)+

2、g(b)-2g( a b )(b-a)ln2.21(I)解：函數(shù) f(x)的定義域是(-1,),f (x) 1，令 f (x) 0 ，解得 x=0，當(dāng)-1x0時(shí), f (x) 0 ，又 f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)，f(x)取得最大值，最大值是0a ba b2a2b(II)證法一： g(a) g(b) 2g() a ln a b ln b (a b) ln a lnb ln.a ba b22b aa b由(I)的結(jié)論知ln(11, 且x 0) ，由題設(shè)0ab,得0, 1 0 ,2a2bb ab a2a ln(1) 因此ln，a b2a2a ln(1 a b ) a b2blna b2b2

3、bb aa b2a2bb ln 0所以a lna ba b2a222aa ba b2b2b2bb ln a lnb ln (b a) ln (b a) ln 2a ln又a b2ba ba ba ba b2ba b綜上0 g(a) g(b) 2g() (b a) ln 22， g (x) ln x 1，設(shè) F (x) g(a) g(x) 2g( a x ) ，(II)證法二： g(2，當(dāng)0 x0,即0 g(a) g(b) g()2設(shè)G(x) F (x) (x a) ln 2 ,則G ( ln(a x) 當(dāng) x0時(shí), G (x) 0 ,因此2a bG(x)在(0,+)上為減函數(shù)，因?yàn)?G(a)=

4、0,ba,所以 G(b)0.即 g(a) g(b) 2g() (b a) ln 22 3.設(shè)函數(shù) f x x aIn 1 x 有兩個(gè)極值點(diǎn) x 、x ，且 x x212121 2In2（I）求a 的取值范圍，并討論 f x 的單調(diào)性；（II）證明： f x2 42f 1)解:（I）1x1x1a ，其對(duì)稱軸為 x 。由題意知 x 、x 是方程 g(x) 0 的兩個(gè)均大于1的不相 212令 g( 4 8a 012，得0 a 等的實(shí)根，其充要條件為g(1) a 0當(dāng) x (1, x1) 時(shí)， f x 0, f (x) 在(1, x1) 內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) x 0 時(shí)， F (x) 0 數(shù)以函，所F (x

5、) 在（0， ) 又增，單調(diào)遞F (x)在 x 0 所以續(xù)，處連F (x) F (0) 0 ，即 f (x) g(x) 0 以，所 f (x) g(x) 。k 2kx（2設(shè)） G(x) g(x) ，則G(x) 在（0， ) 于恒大 0， G(x) ln(1 x) k ，k xk xk 2x 2 (2k k 2 )x1G(x) ， x (2k k )x 0 為的根 0 和k 2k,2221 x(k x)2(1 x)(k x) 2間（即在區(qū)0， ) 上， G(x) 0 為的根 0 和k 2 2k,若k 2 2k 0 ，則G(x) 在(0, k 2 2k ) 減，單調(diào)遞且G(0) 0 ，與G(x)

6、在（0， ) 于恒大 0 盾；矛若k 2 2k 0 ， G(x) 在（0， ) 增，單調(diào)遞且G(0) 0 所以件，設(shè)條足題，滿k 2 2k 0 ，所以0 k 2.。5.已知 f , gx x3 ax 2 x 2()數(shù)求函 f x 區(qū)間的單調(diào);()求函數(shù) f x 在t, t 2t 0小值上的最;()切的對(duì)一 x 0, 2 f x g x 2 立恒成,數(shù)實(shí)求a 圍值范的取.11 f x 0, 解得0 x , f x() f (x) ln x 1, 令e ;的單調(diào)遞減區(qū)間是 0,e 11f x 0, 解得x , f x的單調(diào)遞減區(qū)間是,令 e.e()()0tt+2 1 ，t ；無(wú)解e()0t 1 t

7、+2即， 0t1,則| f (a) | 12a2 12a.故當(dāng)x 1, 4a時(shí)| f (x) | 12a 不恒成立.1 4所以使| f (x) | 12a(x 1, 4a) 恒成立的 a 的取值范圍是( , .4 5a x21 ln x a R , x 2 , 210.已知函數(shù) f(x)=x1()當(dāng)a 2, ) 時(shí),求 f (x) 的最大值;42 , k 是 g(x) 圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a ，使得k 1 恒成立?()設(shè) g(x) f (若存在,求a 的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.()當(dāng)-2 a 1 時(shí)，由 f (x) =0 得 x1= 1 1 4a , x 1 1 4a

8、 .2422 x2 1 11 1顯然-1x1,x22， x1 , 2, x2 , 2. 又 f (x) =22 2 2 2x當(dāng) 1 xx2 時(shí)， f (x) 0， f (x) 單調(diào)遞增；當(dāng) x2x2 時(shí)， f (x) ； ln an （3）記b（n=1,2,），求數(shù)列bn的前n 項(xiàng)和 Sn。na an1， , 是方程 f(x)=0 的兩個(gè)根( ) ，解析：（1） f ( 1 5 , 1 5 ；221 a 2(2a 1) 1 (2a 1) 5a a 12nnn44（2） f (x) 2x 1， a a nn an1n2a 1n2a 1nn5 1 ， a 1 ，有基本不等式可知a 5 1 0 （當(dāng)且僅當(dāng)a 5 1 時(shí)取等號(hào)），= 1 (2a 1) 4n2a 1 2121422n a 5 1 0 同，樣a 5 1 ， a 5 1 （n=1,2,），23n222(a )(a )a （3） a