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文檔簡介

1、8.3 Laplace 逆變換28.2.1 線性性質 8.2.2 相似性質 （1）原像微分性質 （2）象函數的微分性質： 8.2.3 微分性 38.2.4 積分性質（1）象原函數的積分性質 一般地（2）象函數的積分性質 8.2.5 位移性質 設 則 8.2.6 延遲性質 設 若當 時, 則對任何非負實數t , 有 5 6810已知在收斂域內解析, 但并不是所有解析函數都是某一函數的Laplace變換 像函數. 另外，函數 的Laplace變換實際上就是 的Fourier變換. 因此, 當 滿足Fourier積分定理的條件時, 根據Fourier積分 11公式, 在連續(xù)點處 在等式兩端同乘以 故

2、當t0時, 12令則其中是的增長指數. 積分路徑是在右半平面 上的任意一條直線 這就是Laplace逆變換的一般公式, 稱為Laplace 變換的反演積分. 這是復變函數的積分, 在一定條件下, 可利用留數來計算. 13定理8.3設 是 的所有孤立奇點(有限個)， 除這些點外, 處處解析, 且利用留數求Laplace逆變換的公式且他們全部位于直線Re(s)=b(0)的左側，且當即14例求 的Laplace逆變換. 解法1和分別是 的1級和3級極點， 故由計算留數的法則 1516解法2可分解為形如 可以求得因為 所以 178.4 拉氏變換的卷積與卷積定理 則可以證明卷積(1)上的卷積定義 若函數

3、滿足, 時都為零,稱為函數在 上的卷積.18解例 對函數計算 的卷積 192. 卷積定理 假定 ， 滿足拉氏變換存在定理中的條件，且 ，則 的拉氏變換一定存在，且或20推論若 滿足拉氏變換存在定理中的條件，且 ，則有 在拉氏變換的應用中，卷積定理起著十分重要的作用。下面舉例說明它在求函數的逆變換中的應用。 21例 若 求 令 則故根據 有 ，22例 求 因為 故由 ，23 例 設 ，求f(t)。 解：根據位移性質， 所以2425例1 求方程 的解。滿足初始條件解: 設Ly(t)=Y(s)。在方程兩邊取拉氏變換，并 考慮到初始條件，得這是含未知量Y(s)的代數方程，整理后解出Y(s)，得所求函數的拉氏變換8.5.1 解常系數常微分方程26取它的逆變換便可以得出所求函數y(t)。 取逆變換得到所求微分方程的解 27例1 求方程組 滿足初始條件 的解。解 設Ly(t)=Y(s),Lx(t)=X(s)，對方程組兩個 方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件得 8.5.2. 解常系數線性微分方程組28整理化簡后得解這個方程組得 29由于 因此所求方程組的解為 由以上例子可以看出：在解微分方程的過程中

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