高數(shù)第一章課件映射與函數(shù)

1、任課教師：郝俊玲辦公：64495197:：博13201作業(yè)要求1、作業(yè)寫在A4紙上;2、在作業(yè)紙右上角寫上3、每周周二交上一周作業(yè)。、學院、序號;2答疑時間：周四下午 3：00-5：00 及每次課課后（提前預約）地點：博1320參考書1.微積分中的典型例題分析與習題主編朱來義高等教育（重點）2.微積分解題方法與技巧（參考）3（德國）（英國）4微積分學簡介微積分學極限理論微分學積分學核心核心互逆微分積分公式研究對象研究對象函數(shù)變量5函數(shù)與極限與函數(shù)第一章第一節(jié)四、 函數(shù)的幾種特性一、區(qū)間和鄰域二、五、 反函數(shù)與復合函數(shù)三、函數(shù)六、 初等函數(shù)6一、基本概念1.區(qū)間: 是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實

2、數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.分為有限區(qū)間和無限區(qū)間兩大類。 a, b b稱為開區(qū)間,且 b x(記作o baxb記作 x稱為閉區(qū)間,oaxb7 b b x x(有限區(qū)間記作記作稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間, ,) a x(,) x b無限區(qū)間oaxoxb區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.82.鄰域設是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-,a+)為(1)點a的鄰域，記為U(a,)，即U(a, ) x | a x a x| x a | 點a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑.a aa 0 x| x a | D(2)點a的去心鄰域：U (a, ) x |點a的左鄰域: 開區(qū)間(a-,a

3、)點a的右鄰域:開區(qū)間 (a,a+)注：若不強調(diào)的大小，點a的鄰域記為U(a)點的x鄰域是指X 補充：9二、定義.則 f , 使得設 X , Y是兩個非空集合, 若存在一個對應規(guī)Y, 有唯一確定的與之對應 ,則f稱 f 為從 X 到 Y 的, 記作xXfyx)元素 y 稱為元素 x 在元素 x 稱為元素 y 在f 下的 像記作f 下的 原像 .集合 X 稱為f 的定義域 ;Y 的子集 f ( X ) fx稱為 f 的 值域 .注意:1)的三要素 定義域 , 對應規(guī)則 , 值域 .2)元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一1.0f : X Y Y , 則稱 f 為滿射;對fX若

4、fXY fXf f xx2 ),若有21f (x12YX)(則稱 f 為單射;若 f既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一.11說明:又稱為算子. 在不同數(shù)學分支中有不同的慣用名稱. 例如,ffX ( )X ( )X (實數(shù)集 )f 稱為X 上的泛函f 稱為X 上的變換Y (數(shù)集)XRff 稱為定義在 X 上的函數(shù)12三、函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義設A 為非空實數(shù)集。若存在 一個規(guī)則 f，使得 x A, 存在唯一的 y R，按照規(guī)則則稱 f 為定義在 A 上的函 數(shù)，記為f與x 對應，y 其中， A 稱為函數(shù)f ( x)x Af 的定義域。f ( A ) 稱為值域.實質(zhì)上，函數(shù) y f

5、( x) 就是f :A R函數(shù)是指定義域上的對應法則f ,而f(x)為函數(shù)值,由于通常是通過函數(shù)值f(x)的變化來研究函數(shù)f的性質(zhì)的,故上直接稱f(x)是x的函數(shù),y是x的函數(shù)。定義域： 使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.函分母不能為零被開方式子非負真數(shù)0分式函數(shù)偶次對數(shù)函數(shù)數(shù)定義域的求法有限個函數(shù)四則運算后得到的函數(shù)原有限個函數(shù)定義域的交集函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.y 2 f (x)與x 2 f ( y) 是不是相同函數(shù)？這兩個函數(shù)是相同函數(shù)。例1.解:注：函數(shù)由其定義域和對應法則決定，與變量用什么字母表示無關。142.函數(shù)表示(1)法（公式法）優(yōu)點：精確缺點：不直觀如 s 1

6、gt 2 ,2(2)圖形法y x3 1如 y x2在x0 y中表示一條曲線優(yōu)點：直觀缺點：不精確(3)列表法如：對數(shù)表，三角函數(shù)優(yōu)點：便于查找缺點：不完整154321-2-1123.分段函數(shù)在其定義域的各個不相交的子集上，函數(shù)分別用不同的分析表達式表示，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).y例.符號函數(shù)當x 當x 當x 1o sgnfx-1yx xx x 絕對值函數(shù) ox注：分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)。164.幾個特殊的函數(shù)舉例y n , 當 n x ,1 Zx(1)取整函數(shù)xx表示不超過的最大整數(shù)。y4321o -11說明：對任意實數(shù)下面不等式成立xx 1-4 -3 -2 -1234

7、5-2-3-4階梯曲線17(2)雷 ( Dirichlet)函數(shù),1,0 x 為有理數(shù)x 為無理數(shù)f (x) 雷函數(shù)不能作出幾何圖形.Dirichlet 18051859雷是德國數(shù)學家，他以出色的數(shù)學才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學物理方程等領域的杰出成果，成為繼之后與雅可比齊名的德國數(shù)學界的人物之一。18(3)取最值函數(shù)y min f ( x), g( x)y max f ( x), g( x)19 x 1x 1y f (x例2. 已知函數(shù)1tf,并寫出定義域及值域12f.求及f ( 1122解:21 1 , t 10t,f (1 ) t2t 1 tD 0定義域f (D) 0 值域20t 0 時

8、函數(shù)無定義四. 函數(shù)的幾種特性y D且有區(qū)間 I D .f ()設函數(shù)(1) 有界性f (x) 為有界函數(shù)f (x) 在 I 上有界.說明:, M ,0, M ,0f (f (稱稱使使還可定義有上界、有下界、, M R , 使f (x) M ,稱 為有上界., M R , 使 M f (x), 稱 為有下界.M ,.f (x), 使若對任意正數(shù) M , 均存在則稱 f ( x ) 在D 上, A, B R, A B, 使 A f (x) B,稱 f (x) 為有界函數(shù).21注:(1)當一個函數(shù)有界時，它的界是不唯一(2)有界與否是和D有關的方法: 對于任意正數(shù) M ,總存在(3)證明x1 D

9、使f1(4)有上界、有下界和有界的區(qū)別。(2) 單調(diào)性(I時,xyf2 ) , 稱為 I 上的若1單調(diào)增函數(shù) ;1) x1x2稱 fx(2 ) ,若為 I 上的x單調(diào)減函數(shù) .22(3) 奇偶性 x D, 且有 x D,若 f (x f fx), 則稱 f (x) 為偶函數(shù);x), 則稱 f (x) 為奇函數(shù).f (x若)(為奇函數(shù)時,fx說明: 1.若在 x = 0 有定義 , 則當必有 f (0 .函數(shù)具有奇偶性時，其定義域必關于原點對稱兩個偶函數(shù)的和（差）是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和（差）是奇函數(shù);兩個偶函數(shù)的乘積（商）是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積（商）是偶函數(shù);偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積（商）是奇

10、函數(shù);234.y=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);5.非零常函數(shù)偶函數(shù);6.對任何定義域關于原點對稱的函數(shù)f(x),fx) 是偶函數(shù), f (2 ,x) 是奇函數(shù).f (x27.常見的偶函數(shù),:常見的奇函數(shù):xe,sin24(4) 周期性x D l , 且f (x) D,若f)(為周期函數(shù) , 稱 l 為周期 ( 一般指最小正周期 ).則稱yf tox o222 2t2周期為周期為 注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .x Cf例如,常函數(shù)狄x 為有理數(shù)x 為無理數(shù),1,0 x f雷函數(shù)251 ex , x 0f (x) 例3.判斷的奇偶性。e 1, x 0 x奇函數(shù)1 e(x) , x 0f (x)

11、 解:( x)1, x 0e1 ex , x 0 x1, x 0e判斷y ln(ex 1), x 012 ) x(1 e), x 0的奇偶性. f (x)26五. 反函數(shù)與復合函數(shù)1. 反函數(shù)的定義x y ,x D( f ),y R( f )稱 f 的設函數(shù) f :是一一對應 (即f 是一一對應),1y x ,y R( f ),x D( f ) 為逆f的反函數(shù).只有在一一對應的前提下才能有反函數(shù).y 1x fx互為反函數(shù).與y y fx , x D的反函數(shù)記成上,1()x fD)27性質(zhì):1) yf (x) 單調(diào)遞增 (減) 其反函數(shù)且也單調(diào)遞增 (減) .1(y 存在1(y )y xy2)

12、函數(shù) y fx與其反函數(shù)1y (a的圖形關于直線x對稱 .(box例如 ,指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)x , x ( 互為反函數(shù)y ln( 0 ,它們都單調(diào)遞增, 其圖形關于直線對稱 .2821,0求 y ln2x ,x例4.的反函數(shù)及其定義域.yx1,2 e20(0, 1解: 當則 x y , 1 ,時當0 x 1 時, y ln x 20 ,1yx , 0 則o2 x 11時, y 2 ex1( 2 x ,e,當x 1 ln y2, 2則2x , 00, 1定義域為y 反函數(shù) 1 ( 2, 2 e 291 ln x2, 2230求分段函數(shù)的反函數(shù)是：先求出各段上函數(shù)的反函數(shù)，然后綜合起來，得出原分段函

13、數(shù)的反函數(shù)。2. 復合函數(shù)y D1 x Df)設有函數(shù)u g(x ,且g(D) D1 y f g(x) , x DF x | g(x) D1則稱為由, 確定的復合函數(shù)u 稱為中間變量.1. g 稱為內(nèi)層函數(shù)，f 稱為外層函數(shù)；注意:2.不是任何兩個函數(shù)都可以復一個復合函2arcsin,數(shù)的;如: 兩個函數(shù)能復合的條件是： g(D) D13.復合函數(shù)定義域為x g(x) D131例如,兩個以上函數(shù)也可復合函數(shù)y u , u 0v ku cot vk 0, 1, 2,)x2v x , )可定義復合函數(shù):cot x ,x ( 2k , (k ) ,k Zy 2k x k 時,cot x 022232

14、復合函數(shù)有兩類問題給出一些函數(shù),要求復合,注意定義域、值域分解復合函數(shù),要求準確,從外到里,逐層分解2100()1例由 y u100u x2 1 復合而成,2y 2sin(3x)(2)由y 2u ,u v2 , v sin w, w 3x 復合而成33練習：(1)y 3x 1y (2)(4)lnx(3)y a 3 1 xy lg2 arccos x3由y u , u 3x 1 復合而成(1)(2)由y u , u ln v , v x 復合而成由y au ,u v , v 1 x 復合而成3(3)(4)由y u2 , u lg v , v arccost ,t x3 復合而成34六. 初等函數(shù)

15、(1)基本初等函數(shù)35常值函數(shù) y = C( C 為常數(shù) )冪函數(shù) y = x ( R 為常數(shù) )指數(shù)函數(shù) y = a x( a 0, a 1 )對數(shù)函數(shù) y = loga x( a 0, a 1 )三角函數(shù)y = sin xy = cos x y = tan x y = cot x y = sec xy = csc x反三角函數(shù)y = arcsin xy = arccos x y = arctan xy = arccot x(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合步, 并可用一個式子表示的函數(shù) , 稱為初等函數(shù)驟所否則稱為非初等函數(shù) .一般說來, 分段函數(shù)不是初等函數(shù). 0

16、 x2 , 故為初等函數(shù)y y 可表例如 ,36冪指函數(shù) y f ( x)g( x)(f ( x) 0 )f ( x), g( x)為初等函數(shù), f ( x)g ( x ) eg ( x ) ln f ( x )非初等函數(shù)舉例:y符號函數(shù)當 x 0當 x = 0當 x 0,1,0,11 sgnox取整函數(shù) n , 當 n x ,1 Zy4321o -11x-4 -3 -2 -12345-2-3-437x x 1f f (x) .求設函數(shù) f (x,例5.解:f f (x) 3 f (x) 1 ,f (x) ,3( x ) 1 9 4 x x x x,38f (x) 1f (x) 1反三角函數(shù)y

17、 arcsin x反正弦函數(shù) y arcsin x（1）定義域為1，1 ， ， 值域為22arcsin(x) arcsin x（2）是奇函數(shù)，即（3） y arcsin x在1,1上為增函數(shù)39說明：y sin x 的反函數(shù)，反正弦函數(shù)并不是正弦函數(shù)而是其在 ， 上的反函數(shù)。2232 2k , 2k 或在 2k , 222 2k 函數(shù)y sin x 在上均有反函數(shù)。 ， arcsin x( x 1,1)是表示區(qū)間上的一個角，22 ， 22也可表示上的一個常數(shù)。40反余弦函數(shù) y arccos x（1）定義域為1，1 ，值域為 0， （2）非奇非偶函數(shù)（3）函數(shù)在1,1 上為單減函數(shù)41y co

18、s x 的反函數(shù)，反余弦函數(shù)并不是余弦函數(shù)說明而是其在 0， 上的反函數(shù)。余弦函數(shù)在所有k , (k 1) 這樣的區(qū)間上均有反函數(shù)；反余弦函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；arcsin x arccos x 2在1，1恒成立i42y arctan x反正切函數(shù)(1)定義域 (, ),值域( ,)22(2) 函數(shù)y arctan x( x (, )是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱 即arctan(3) 反正切函數(shù)y arctan x在x (, )是增函數(shù)43函數(shù) y arc cot x反(1) 定義域(, ), 值域(0, )(2)函數(shù)y arc cot x(x (, )是非奇非偶函數(shù)函數(shù)y arc cot x在x (, )是減函數(shù)(3) 反 2(4) arctan x arc cot x( x R )恒成立44作