高中數(shù)學(xué)必修二 6.3.1 平面向量基本定理 教學(xué)設(shè)計(jì)新

1、【新教材】6.3.1 平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量實(shí)際背景及基本概念、平面向量的線性運(yùn)算（向量的加法、減法、數(shù)乘向量、共線向量定理）之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容，它是引入向量坐標(biāo)表示，將向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，使向量的工具性得到初步的體現(xiàn)，具有承前啟后的作用。課程目標(biāo)1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；3、能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá). 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量基底定理理解；2.邏輯推理：用基底表示向量；3.數(shù)學(xué)建模：利用

2、數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用相等向量，比例等知識(shí)來進(jìn)行轉(zhuǎn)換.重點(diǎn)：平面向量基本定理；難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入已知平面內(nèi)一向量a是該平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量b，c的和，怎樣表達(dá)？問題：如果向量b與共線、c與共線，上面的表達(dá)式發(fā)生什么變化？根據(jù)作圖進(jìn)行提問、引導(dǎo)、歸納，板書表達(dá)式：a=1e1+2e2要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本25-27頁，思考并完成以下問題1、平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？2、如何定義平面向量的基底？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小

3、組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使a=1e1+2e2.注意：(1) 我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4) 基底給定時(shí)，分解形式惟一. 1，2是被a ，、唯一確定的數(shù)量.四、典例分析、舉一反三題型一 正確理解向量基底的概念例1例1設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：eq o(AD,sup16()與eq o(AB,sup16()；

4、eq o(DA,sup16()與eq o(BC,sup16()；eq o(CA,sup16()與eq o(DC,sup16()；eq o(OD,sup16()與eq o(OB,sup16()，其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是()A BC D【答案】B【解析】eq o(AD,sup16()與eq o(AB,sup16()不共線；eq o(DA,sup16()eq o(BC,sup16()，則eq o(DA,sup16()與eq o(BC,sup16()共線；eq o(CA,sup16()與eq o(DC,sup16()不共線；eq o(OD,sup16()eq o(OB,sup16

5、()，則eq o(OD,sup16()與eq o(OB,sup16()共線由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基底，故滿足題意解題技巧（基底向量滿足什么條件）考查兩個(gè)向量能否作為基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以由這組基底唯一表示注意零向量不能作基底跟蹤訓(xùn)練一1、設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1 De2和e2e1【答案】B.【解析】4e26e12(3e12e2)，兩個(gè)向量共線，不能作為基底題型二 用基底

6、表示向量例2如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線eq o(AC,sup15()a，eq o(BD,sup15()b，試用基底a，b表示eq o(AB,sup15()，eq o(BC,sup15().【答案】eq o(AB,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.【解析】 由題意知，eq o(AO,sup15()eq o(OC,sup15()eq f(1,2)eq o(AC,sup15()eq f(1,2)a，eq o(BO,sup15()eq o(OD,sup15()eq f(1,2)eq o(BD,su

7、p15()eq f(1,2)b.所以eq o(AB,sup15()eq o(AO,sup15()eq o(OB,sup15()eq o(AO,sup15()eq o(BO,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup15()eq o(BO,sup15()eq o(OC,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.解題技巧： (用基底表示向量的方法)將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，一般是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止跟蹤訓(xùn)練二如圖所示，梯形ABCD中，ABCD，M，N分別是DA，BC的中點(diǎn)，且eq f(DC,

8、AB)k，設(shè)eq o(AD,sup15()e1，eq o(AB,sup15()e2，以e1，e2為基底表示向量eq o(DC,sup15()，eq o(BC,sup15()，eq o(MN,sup15().【答案】eq o(DC,sup15()ke2.eq o(BC,sup15()e1(k1)e2.eq o(MN,sup15()eq f(k1,2)e2.【解析】法一：eq o(AB,sup15()e2，eq f(DC,AB)k，eq o(DC,sup15()keq o(AB,sup15()ke2.eq o(AB,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CD,sup15()eq o

9、(DA,sup15()0，eq o(BC,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(CD,sup15()eq o(DA,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(DC,sup15()eq o(AD,sup15()e1(k1)e2.又eq o(MN,sup15()eq o(NB,sup15()eq o(BA,sup15()eq o(AM,sup15()0，且eq o(NB,sup15()eq f(1,2)eq o(BC,sup15()，eq o(AM,sup15()eq f(1,2)eq o(AD,sup15()，eq o(MN,sup15()eq o(AM,sup15(

10、)eq o(BA,sup15()eq o(NB,sup15()eq f(1,2)eq o(AD,sup15()eq o(AB,sup15()eq f(1,2)eq o(BC,sup15()eq f(k1,2)e2.法二：同法一得eq o(DC,sup15()ke2，eq o(BC,sup15()e1(k1)e2.連接MB，MC，由eq o(MN,sup15()eq f(1,2)(eq o(MB,sup15()eq o(MC,sup15()得eq o(MN,sup15()eq f(1,2)(eq o(MA,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(MD,sup15()eq o(DC,

11、sup15()eq f(1,2)(eq o(AB,sup15()eq o(DC,sup15()eq f(k1,2)e2.題型三 平面向量基本定理的應(yīng)用例3如圖，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求APPM與BPPN的值【答案】APPM4，BPPNeq f(3,2).【解析】 設(shè)eq o(BM,sup15()e1，eq o(CN,sup15()e2，則eq o(AM,sup15()eq o(AC,sup15()eq o(CM,sup15()3e2e1，eq o(BN,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CN,sup15()2e1e2

12、.A，P，M和B，P，N分別共線，存在實(shí)數(shù)，使得eq o(AP,sup15()eq o(AM,sup15()e13e2，eq o(BP,sup15()eq o(BN,sup15()2e1e2.故eq o(BA,sup15()eq o(BP,sup15()eq o(PA,sup15()eq o(BP,sup15()eq o(AP,sup15()(2)e1(3)e2.而eq o(BA,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CA,sup15()2e13e2，由平面向量基本定理，得eq blcrc (avs4alco1(22，,33，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(4

13、,5)，,f(3,5).)eq o(AP,sup15()eq f(4,5)eq o(AM,sup15()，eq o(BP,sup15()eq f(3,5)eq o(BN,sup15()，APPM4，BPPNeq f(3,2).解題技巧（平面向量基本定理應(yīng)用時(shí)注意事項(xiàng)）若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量( 一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得跟蹤訓(xùn)練三1在ABC中，eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,su

14、p16()，eq o(AE,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()，BE與CD交于點(diǎn)P，且eq o(AB,sup16()a，eq o(AC,sup16()b，用a，b表示eq o(AP,sup16().【答案】eq o(AP,sup16()eq f(3,11) aeq f(2,11)b【解析】如圖，取AE的三等分點(diǎn)M，使AMeq f(1,3)AE，連接DM，則DM/BE.設(shè)AMt(t0)，則ME2t.又AEeq f(1,4)AC，AC12t，EC9t，在DMC中，eq f(CE,CM)eq f(CP,CD)eq f(9,11)，CPeq f(9,11)CD，DPeq f

15、(2,11)CD，eq o(AP,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(DP,sup16()eq o(AD,sup16()eq f(2,11)eq o(DC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)(eq o(DA,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(AB,sup16()o(AC,sup16()eq f(3,11)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)eq o(AC,sup16()eq f(3,11) aeq f(2,11)b五、課堂小結(jié)讓