力矩分配法的基本原理

1、第九章 漸進(jìn)法1第九章 漸進(jìn)法91 引 言92 力矩分配法的基本原理93 用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁 和無側(cè)移剛架漸進(jìn)法95 力矩分配法與位移法的聯(lián)合應(yīng)用94 無剪力分配法291 引 言 計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，不論采用力法或位移法，均要組成和解算典型方程，當(dāng)未知量較多時(shí)，其工作量非常大。為了尋求較簡(jiǎn)捷的計(jì)算方法，自本世紀(jì)三十年代以來，又陸續(xù)出現(xiàn)了各種漸進(jìn)法，如力矩分配法、 無剪力分配法、迭代法等。 漸進(jìn)法的共同特點(diǎn)是，避免了組成和解算典型方程，而以逐次漸進(jìn)的方法來計(jì)算桿端彎矩，其結(jié)果的精度隨計(jì)算輪次的增加而提高，最后收斂于精確解。 這些方法的概念生動(dòng)形象，每輪計(jì)算的程序均相同，易于掌握，適合手算，并可不

2、經(jīng)過計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移而直接求得桿端彎矩。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中被廣泛采用。漸進(jìn)法392 力矩分配法的基本原理 力矩分配法為克羅斯(H.Cross)于1930年提出，這一方法對(duì)連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移剛架的計(jì)算尤為方便。1.勁度系數(shù)、傳遞系數(shù) 勁度系數(shù)(轉(zhuǎn)動(dòng)剛度)Sij 定義如下：當(dāng)桿件AB的A端轉(zhuǎn)動(dòng)單位角時(shí)，A端(又稱近端)的彎矩MAB稱為該桿端的勁度系數(shù)，用SAB表示。它標(biāo)志著該桿端抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)能力的大小，故又稱為轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。則勁度系數(shù)與桿件的遠(yuǎn)端支承情況有關(guān)，由轉(zhuǎn)角位移方程知 遠(yuǎn)端固定時(shí)： ABEIL1MAB=4iMBAABEI1MAB=3iSAB=MAB=4i遠(yuǎn)端鉸支時(shí)：SAB=MAB=3iSAB= 3iAB1

3、遠(yuǎn)端滑動(dòng)支撐時(shí)：EIMAB=iMBASAB=MAB=iSAB= i遠(yuǎn)端自由時(shí)：AB1MAB=0EISAB=MAB=0SAB= 0SAB= 4i漸進(jìn)法4(2) 傳遞系數(shù)CijABEIL1MAB=4iABEI1MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EIMAB=iMBA=iSAB=MAB=i 當(dāng)近端A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一端B(遠(yuǎn)端)也產(chǎn)生一定的彎矩，這好比是近端的彎矩按一定比例傳到遠(yuǎn)端一樣，故將B端彎矩與A端彎矩之比稱為由A端向B端的傳遞系數(shù)，用CAB表示。即或 MBA=CABMAB遠(yuǎn)端固定時(shí)：CAB= 0.5遠(yuǎn)端鉸支時(shí)：CAB= 0遠(yuǎn)端滑動(dòng)支撐：CAB=1由右圖或表(81)可得MBA=

4、2i漸進(jìn)法52. 力矩分配法的基本原理現(xiàn)以下圖所示剛架為例說明力矩分配法的基本原理。1234qP(a)1234(b)MP圖 圖(a)所示剛架用位移法計(jì)算時(shí)，只有一個(gè)未知量即結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角Z1，其典型方程為r11Z1+R1P=0繪出MP圖（圖b),可求得自由項(xiàng)為R1P=R1P是結(jié)點(diǎn)固定時(shí)附加剛臂上的反力矩，可稱為剛臂反力矩，它等于結(jié)點(diǎn)1的桿端固端彎矩的代數(shù)和，即各固端彎矩所不平衡的差值，稱為結(jié)點(diǎn)上的不平衡力矩。R1P1R1P漸進(jìn)法6r11=式中S1j代表匯交于結(jié)點(diǎn)1的各桿端勁度系數(shù)的總和。1234(c)圖2i124i123i13i14繪出結(jié)構(gòu)的圖（見圖c)，計(jì)算系數(shù)為：解典型方程得Z1= 然后可按疊加

5、法 M=計(jì)算各桿端的最后彎彎矩。4i12+3i13+i14= S12+S13+S14= S1jS12S13S14漸進(jìn)法7M12=M13=M14=以上各式右邊第一項(xiàng)為荷載產(chǎn)生的彎矩，即固端彎矩。第二項(xiàng)為結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1角所產(chǎn)生的彎矩，這相當(dāng)于把不平衡力矩反號(hào)后按勁度系數(shù)大小的比例分配給近端，因此稱為分配彎矩，12 、13 、 14等稱為分配系數(shù)，其計(jì)算公式為1j=(91)結(jié)點(diǎn)1的各近端彎矩為：Z1=1234圖2i12S12S13S141234MP圖R1P漸進(jìn)法81j =(91)顯然，同 一結(jié)點(diǎn)各桿 端的分配系數(shù)之和應(yīng)等于1，即 1j =1 。各遠(yuǎn)端彎矩如下M21=M31=M41=各式右邊的第一項(xiàng)仍是

6、固端彎矩。第二項(xiàng)是由結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)Z1角所產(chǎn)生的彎矩，它好比是將各近端的分配彎矩以傳遞系數(shù)的比例傳到各遠(yuǎn)端一樣，故稱為傳遞彎矩。MBA=CABMABZ1=1234圖2i12S12S13S141234MP圖R1P漸進(jìn)法9得出上述規(guī)律后，便可不必繪 MP 、 圖，也不必列出 和求解典 型方程，而直接按以上結(jié)論計(jì)算各桿端彎矩。其過程分為兩步：(1)固定結(jié)點(diǎn) 即加入剛臂。此時(shí)各桿端有固端彎矩，而結(jié)點(diǎn)上有不平衡力矩，它暫時(shí)由剛臂承擔(dān)。(2)放松結(jié)點(diǎn) 即取消剛臂，讓結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。這相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)上又加入一個(gè)反號(hào)的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而結(jié)點(diǎn)獲得平衡。此反號(hào)的不平衡力矩將按勁度系數(shù)大小的比例分配給各近端，于是各近端得到分配彎矩，同時(shí)各自向其遠(yuǎn)端進(jìn)行傳遞，各遠(yuǎn)端彎矩等于固端彎矩加上傳遞彎矩。漸進(jìn)法10例 91試用力矩分配法作剛架的彎矩圖。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)計(jì)算各桿端分配系數(shù)AB=AC=AD=AB=0.445AC=0.333AD=0.222(2)計(jì)算固端彎矩?fù)?jù)表(81）EI2EIEI4m2m2m4m12qL2=+12qL2=83PL=8PL=ACD桿 端ABACADBACADA0.4450.3330.222分配系數(shù)固端彎矩-40+40075-250-35分配彎矩+15.5+11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5最后彎矩