數(shù)字信號處理(三版)課后習題答案

1、第二章2.1 判斷下列序列是否是周期序列。若是，請確定它的最小周期。（1）x(n)=Acos()（2）x(n)=（3）x(n)=Asin()解 (1)對照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，得出。因此是有理數(shù)，所以是周期序列。最小周期等于N=。（2）對照復指數(shù)序列的一般公式x(n)=expn,得出。因此是無理數(shù)，所以不是周期序列。（3）對照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，又x(n)=Asin()Acos()Acos()，得出。因此是有理數(shù)，所以是周期序列。最小周期等于N=2.2在圖2.2中，x(n)和h(n)分別是線性非移變系統(tǒng)的輸入和單位取樣響應。計算并列的x(n)和h(

2、n)的線性卷積以得到系統(tǒng)的輸出y(n)，并畫出y(n)的圖形。解利用線性卷積公式y(tǒng)(n)=按照折疊、移位、相乘、相加、的作圖方法，計算y(n)的每一個取樣值。(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1) x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n) x(1)h(n-1) x(2)h(n-2)=4,n2(b) x(n)=2(n)-(n-1)h(n)=-(n) 2(n-1) (n-2)y(n)=-2(n) 5(n-1)= (n-3)(c) y(n)= =u(n)2.3 計算線性線性卷積(1) y(n)=u(n)*u(n)(2) y(n)=u(n)*u(n)解：(1) y(n)

3、= =(n 1),n0即y(n)=(n 1)u(n)(2) y(n)=,n0即y(n)=u(n)2.4 圖P2.4所示的是單位取樣響應分別為h(n)和h(n)的兩個線性非移變系統(tǒng)的級聯(lián)，已知x(n)=u(n), h(n)=(n)-(n-4), h(n)=au(n),|a|1,求系統(tǒng)的輸出y(n).解(n)=x(n)*h(n)=(n-k)-(n-k-4)=u(n)-u(n-4)y(n)=(n)*h(n)=u(n-k)-u(n-k-4)=,n32.5 已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應為h(n)=au(-n),0a1 用直接計算線性卷積的方法，求系統(tǒng)的單位階躍響應。2.6 試證明線性卷積滿足交換

4、率、結合率和加法分配率。證明 （1）交換律X(n) * y(n) = 令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此線性卷積公式變成 x(n) * y(n) =y(n) * x(n)交換律得證.(2)結合律x(n) * y(n) * z(n)= * z(n)=z(n-t)=x(k) y(t-k)z(n-t)=x(k) y(m)z(n-k-m)=x(k)y(n-k) * z(n-k)=x(n) * y(n) * z(n)結合律得證.(3)加法分配律x(n) * y(n) z(n)= x(k)y(n - k) z(n - k)=x(k)y(n-k) x(k)z(n - k)=x(n) * y

5、(n) x(n) *z(n)加法分配律得證.2.7 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、因果系統(tǒng)。并加以證明(1)y(n)= 2x(n) 3 (2)y(n)= x(n)sinn (3)y(n)= (4)y(n)= (5)y(n)= x(n)g(n)解（1）設y(n)=2x(n) 3,y(n)=2x(n) 3,由于y(n)=2x(n) x(n) 3y(n) y(n)=2x(n) x(n) 6故系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。由于y(n-k)=2x(n-k) 3,Tx(n-k)=2x(n-k) 3,因而y(n-k) = Tx(n-k)故該系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。設|x(n)|M，則有|y(n)|=|2x

6、(n) 3|2M 3|故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n)，不取決于未來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（2）設 y1(n)=ax1(n)sinn y2(n)=bx2(n)sinn由于 y(n)=Tax1(n) bx2(n)=ax1(n) bx2(n)sinn =ax1(n)sinn bx2(n)sinn =ay1(n) by2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。由于 y(n-k)=x(n-k)sin(n-k) Tx(n-k)=x(n-k)sinn 因而有 Tx(n-k)y(n-k)幫該系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設 |x(n)|M，則有|y(n)|=|x(n)sin(n-k) |=|x(n)

7、| sin(n-k) |M|sin(n- k) |M故系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n),不取決于未來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（3）設 y1(n)=，y2(n)=，由于y(n)=Tax1(n) bx2(n)= =a b=ay1(n) by2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。因 y(n-k)= = =Tx(n-t)所以該系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。設 x(n)=M y(n)= =，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n)，不取決于未來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（4）設 y1(n)=，y2(n)=，由于y(n)=Tax1(n) bx2(n)= = a b=ay

8、1(n) by2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。因 y(n-k)= = Tx(n-t)= 所以該系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設x(n)=M,則y(n)= (n-n)M=,所以該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。顯而易見，若nn。則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；若nn。則該因果系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。(5)設y(n)=x(n)g(n),y(n)=x(n)g(n),由于y(n)=Tax(n) bx(n)=(ax(n) bx(n)g(n)=ax(n)g(n) b(n)=ay(n) by(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。因y(n-k)=x(n-k),而Tx(n-k)=x(n-k)g(n)y(n-k)所以系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設|x(n)|M,則有|y(n)|=|x(n

9、)g(n)|=M|g(n)|所以當g(n)有限時該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過去的輸入x(n)，不取決于本來的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2.8 討論下列各線性非移變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（1）h(n)=2u(-n) (4) h(n)=()u(n)(2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)=u(n)(3) h(n)=(n n), n0 (6) h(n)= 2Ru(n)解（1）因為在n0時，h(n)= 20,故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。因為S=|h(n)|= |2|=1，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2) 因為在n1時才是穩(wěn)定系統(tǒng)。(3) 因為在nO時，h(n) 0，故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)

10、。因為S=|h(n)|= |(n n)|=1，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(4) 因為在nO時，h(n)=0，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。因為S=|h(n)|= |()|，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(5) 因為在nO時，h(n)=u(n)=0，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。因為S=|h(n)|= |u(n)|= =，故該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。(6) 因為在nO時，h(n)=0，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。因為S=|h(n)|= |2|=2-1，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。2.9 已知y(n)-2cosy(n-1) y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求證y(n)=證明題給齊次差分方程的特征方程為-2cos 1=0由特征方程求得特征根=cos jsin=e,=cos-jsin= e齊次差分方程的通解為y(n)=c c=ce ce代入初始條件得y(0)=c c=0y(1)= ce ce=1由上兩式得到c=，c=- c=-將c和c代入通解公式，最后得到y(tǒng)(n) =ce ce=( e e)=2.10 已知y(n) 2y(n-1) (n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解首先由初始條件求出方程中得系數(shù)a和b由可求出a=-1,b=-8于是原方程為y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0由特征方程280求得特征根4 ，-2齊次差分方程得