2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題12三角形中的不等問題(含解析)1388

1、2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題12三角形中的不等問題(含分析)_13882019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題12三角形中的不等問題(含分析)_138810/102019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題12三角形中的不等問題(含分析)_1388問題12三角形中的不等問題一、考情剖析依據(jù)條件確立三角形中角、邊、周長或面積的取值范圍是解三角形中較難的一類問題,常作為客觀題中的壓軸題或解答題中的第二問.二、經(jīng)驗(yàn)分享(1)求角的范圍或三角函數(shù)值的范圍要注意三角形內(nèi)角和為這一限制條件(2)求邊的范圍可利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù),利用三角函數(shù)的有界性求范圍或依據(jù)角的范圍利用余弦定理求邊的范圍,同

2、時(shí)要注意兩邊之和大于第三邊.(3)求周長或面積的范圍與最值可轉(zhuǎn)變?yōu)檫吪c角的范圍,也可利用基本不等式求范圍三、知識(shí)拓展(1)若是銳角三角形,則,、ABC(2)若ABC中,若A是銳角,則a2b2c2；若A是鈍角,則a2b2c2(3)ABC中,若A,則3=.(4)若a,b,c成等差數(shù)列,則B.3四、題型剖析(一)角或角的三角函數(shù)的范圍或最值【例1】【湖北省2019屆高三1月聯(lián)考】在中，角、的對邊分別是、，若，則的最小值為（）ABCD【答案】D【剖析】由題意利用正弦定理化簡已知等式，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系可求tanA3tanB，從而利用正弦定理，基本不等式化簡所求即可求解【分析】acosBbcos

3、A，由正弦定理化簡得：sinAcosBsinBcosAsinCsin（A+B）sinAcosBcosAsinB，整理得：sinAcosB3cosAsinB，cosAcosB0，tanA3tanB；則222可得的最小值為應(yīng)選D【評論】求三角函數(shù)式的范圍一般是先確立角的范圍,利用利用三角函數(shù)的單一性及有界性求范圍與最值,有時(shí)也利用基本不等式求最值.【評論】此題主要考察三角形中位線定理、正弦定理及求范圍問題,屬于難題.求范圍問題的常有方法有配方法；換元法；不等式法；圖象法；函數(shù)單一性法：將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷τ谀骋粎⒆兞康暮瘮?shù)后,首先確立函數(shù)的定義域,而后正確地找出其單一區(qū)間,最后再依據(jù)其單一性求凼數(shù)的值域

4、；此題就是先將BECF表示為對于t的函數(shù),再依據(jù)方法解答的.【小試牛刀】【湖南省湘潭市2019屆高三上學(xué)期第一次模擬】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則的最小值為_【答案】【分析】由于，所以，由于，所以，由余弦定理，得，即.(三)周長的范圍或最值【例3】【2018屆江西省K12結(jié)盟高三教育質(zhì)量檢測】在銳角ABC中,c2,.（1）若ABC的面積等于3,求a、b；（2）求ABC的周長的取值范圍.【剖析】（1）利用已知條件經(jīng)過正弦定理會(huì)合三角形的面積,余弦定理轉(zhuǎn)變求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周長,利用三角函數(shù)的有界性求解即可（2）由正弦定理得,記ABC周長為l,則,又AB2,3,ABC為銳角

5、三角形,.【評論】周長問題也可看做是邊長問題的延長,所以在解決周長有關(guān)問題時(shí),著眼于邊長之間的關(guān)系,聯(lián)合邊長求最值(范圍)的解決方式,往常都能找到正確的解題門路.【小試牛刀】C中,角、C所對的邊為a、b、c,且（1）求角；（2）若a2,求C的周長的最大值【答案】（1）A60；（2）6(四)面積的范圍與最值【例4】如圖,在等腰直角三角形OPQ中,POQ90,OP22,點(diǎn)M在線段PQ上(1)若OM5,求PM的長；若點(diǎn)N在線段MQ上,且MON30,問：當(dāng)POM取何值時(shí),OMN的面積最小？并求出頭積的最小值【剖析】第(1)題利用余弦定理求MP的長,難度不大；第(2)題求OMN的面積最小值,前面的要求也

6、很明確：以POM為自變量,所以,此題的中點(diǎn)就是怎樣將OMN的面積表示為POM的函數(shù)關(guān)系式,從而利用函數(shù)最值求解.此中,利用正弦定理將OM和ON的長表示為POM的函數(shù)是重點(diǎn).【分析】(1)在OMP中,OM5,OP22,由余弦定理得,得,解得MP1或MP3由cosA1R3則OAOBOC3,不如設(shè)外接圓的半徑3cosCODOD1,OD1,DC22OC3B(-22,0),C(22,0),O(0,1),A(m,n)則ABC外接圓的方程為：x2(y1)29(*),(m,1n)x(-2-m,-n)y(2-m,-n),xy1時(shí),不然COxCB,由圖可知是不行能的.可化為,代入(*)可得,化為18(xy)932

7、xy,【答案】D【評論】三角函數(shù)值也是一個(gè)實(shí)數(shù),所以,它也能夠與其余實(shí)數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,也能夠與其余知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯,如向量、數(shù)列、不等式等等,解題中要綜合這些知識(shí)和有關(guān)方法,靈巧辦理,才能既快又準(zhǔn)的解決問題.【小試牛刀】【山東省日照2019屆高三上學(xué)期第二次檢測】已知M是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且=4，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面積分別為1，x，y，則的最小值是（）A20B18C16D9【答案】D【分析】由于=4，BAC=30，所以。所以。由于MBC，MCA和MAB的面積分別為1，x，y，所以，所以。所以。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取“=”號(hào)。所以，時(shí)，取最小值9.應(yīng)選D。7【2018屆四川省綿陽

8、市高三二診】在ABC中,a,b,c分別為所對的邊,若函數(shù)A.0B.【答案】D33C.22有極值點(diǎn),則的最小值是（）D.-1【分析】,f（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac）,又函數(shù)有極值點(diǎn),x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有兩個(gè)不一樣的根,=（2b）2-4（a2+c2-ac）0,即aca2+c2-b2,即ac2accosB；即cosB1,故B的范圍是（，），所以232B,5時(shí)的最小值是-1,應(yīng)選D,當(dāng)3338【2018屆河南省鄭州市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測】在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,若ABC的面積為S3c,則ab的最小值為（）A.28B.36C.48D.56

9、【答案】C9【2018四川省成都市高三上學(xué)期12月月考】銳角B,C的對邊分別為a,b,c,ABC中,內(nèi)角A,且知足,若a3,則b2c2的取值范圍是（）A.5,6B.3,5C.3,6D.5,6【答案】A【分析】,由正弦定理可得,化為,由余弦定理可得,為銳角,可得A,3a3,由正弦定理可得,可得,可得,可得,應(yīng)選A.10.【2017河北省冀州中學(xué)上學(xué)期第二次階段考試】在銳角ABC中,若A2B,則a的范圍是（a,b分b別為角A,B的對邊長）（）A(2,3)B(3,2)C.(0,2)D(2,2)【答案】A11.【2018屆江西省臨川二中、新余四中高三1月聯(lián)合考試】如下圖,在平面四邊形ABCD中,AB1

10、,BC2,為ACD正三角形,則BCD面積的最大值為_【答案】31【分析】在ABC中,設(shè)ACB=,ACB=,由余弦定理得：2222,AC=1+2-212cos=5-4cos,ACD為正三角形,CD=5-4cos由正弦定理得：1AC,AC?sin=sin,CD?sin=sin,sinsin2(CD?cos)=CD(1-sinBAC,為銳角5當(dāng)時(shí),22-sin222)=CD=5-4cos-sin=(2-cos),CD?cos=2-cos,.617【2019年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模】在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊挨次為a，b，c，且求設(shè)，求的值；的取值范圍18【河南省開封市2019屆高三上學(xué)期第一次模擬】在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，且.（）求角；（）若，求面積的最大值.【分析】（）由已知及正弦定理得：，.（）的面積，由及余弦定理得，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)建立.面積的最大值為.19【四川省綿陽市2019屆高三第二次（1月)診療】ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a，b，c，己知b（casinC）。（1)求角A的大小；(2）設(shè)b=c，N是ABC所在平面上一點(diǎn)，且與A點(diǎn)分別位于直線BC的雙側(cè)，如圖，若BN=4，CN=2