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1、第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 控制系統(tǒng)的微分方程2.2 微分方程的線性化2.3 Laplace變換和逆變換2.4 傳遞函數(shù)2.5 系統(tǒng)方塊圖及其簡(jiǎn)化2.6 信號(hào)流圖及MASON公式2.7 控制系統(tǒng)建模2.1 控制系統(tǒng)的微分方程例1 如圖所示質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，其中f：粘性系數(shù)，m：質(zhì)量，k：彈簧剛度，F(xiàn)(t)：輸入力，y(t)：輸出位移。例2 RLC無源網(wǎng)絡(luò)，ui(t)為輸入電壓， uo(t)為輸出電壓。例3 列寫積分運(yùn)算放大器的微分方程， ui(t)為輸入電壓， uo(t)為輸出電壓，K0運(yùn)放的放大倍數(shù)。列寫系統(tǒng)微分方程的步驟1. 將系統(tǒng)劃分為各個(gè)環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)；

2、2. 根據(jù)物理定律或?qū)嶒?yàn)方法，列出各環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型，并考慮簡(jiǎn)化和線性化；3. 各環(huán)節(jié)聯(lián)立，消去中間變量，最后得出輸入輸出變量以及其它參量的系統(tǒng)微分方程；4. 單輸入單輸出的線性微分方程可表示為系數(shù)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。由于實(shí)際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，m0時(shí)，有 2.3.4 Laplace逆變換Laplace逆變換公式為簡(jiǎn)寫 直接通過積分求Laplace 逆變換通常很繁鎖，對(duì)于一般問題都可以避免這樣的積分，利用Laplace 變換表2-1，查表求原函數(shù)。對(duì)于一般的控制系統(tǒng)，可以用通用有理分式表示使分母為零的s值稱為極點(diǎn)，使分子為零的點(diǎn)稱為零點(diǎn)。 根據(jù)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式分解定理，分母有n

3、 次多項(xiàng)式，則必然有n個(gè)根，因此F(s)可分解為其中 對(duì)于F(s)這類分式，一般采用部分分式展開法求解Laplace逆變換。1) 只含單極點(diǎn)的情況 式中 為常數(shù)， 將 代入F(s)的表達(dá)式并進(jìn)行Laplace 逆變換得 例2-19 求 的Laplace逆變換 解 其中因此 2) 含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況將上式兩端同乘(s+jsj，同時(shí)令s=j 或sj得即可得 可以通過配方，化成正弦或余弦函數(shù)的象函數(shù)，然后求其Laplace逆變換。例2-20 求 的Laplace逆變換解 將F(s)兩端同乘 并令 解得 3) 多重極點(diǎn)的Laplace逆變換根據(jù)Laplace逆變換表可得由此可得多重極點(diǎn)的Lapla

4、ce逆變換。例2-21 求 的Laplace逆變換解 2.3.5 用Laplace變換求解常系數(shù)線性微分方程例2-23 求方程 滿足初始條件 的解 。解 對(duì)方程兩端進(jìn)行Laplace變換，并將初始條件代入得將Y(s)展開成部分分式之和得對(duì)Y(s)取Laplace 逆變換得 利用Laplace變換求解微分方程解的步驟1) 對(duì)微分方程進(jìn)行Laplace變換，并代入初始條件；2) 求解因變量Laplace變換的代數(shù)方程；3) 求解因變量Laplace逆變換，得到所求的微分方程的解。 2.4 傳遞函數(shù)一.傳遞函數(shù)定義在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的Laplace變換與輸入量的Laplace變換之比。假設(shè)線

5、性定常系統(tǒng)的微分方程為式中，xo(t)為系統(tǒng)的輸出量，xi(t)為系統(tǒng)的輸入量，ai，bj與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。對(duì)上式兩端進(jìn)行Laplace變換，并代入零初始條件（指輸入量、輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t = 0時(shí)的值均為0）則系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 為零初始條件含義為1) 輸入量在t = 0+時(shí)開始作用于系統(tǒng)，因此t = 0-時(shí)系統(tǒng)的輸入量及各階導(dǎo)數(shù)均為零；2) 輸入量在作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)相對(duì)靜止，因此系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t = 0時(shí)的值也均為零。二. 傳遞函數(shù)的性質(zhì)1. 傳遞函數(shù)是經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。2. 傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸

6、出的關(guān)系。3. 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量無關(guān)。4. 一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對(duì)應(yīng)。典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1) 比例環(huán)節(jié) 又稱為放大環(huán)節(jié)在時(shí)域里，比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成比例 。(K為常數(shù) )在零初始條件下進(jìn)行Laplace變換得 例1 如圖所示的運(yùn)算放大器，其中 ui(t): 輸入電壓， uo(t): 輸出電壓，R1 , R2: 電阻。2) 一階慣性環(huán)節(jié)在時(shí)域里，如果輸入、輸出函數(shù)可表達(dá)一階微分方程 在零初始條件下對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換，得 則傳遞函數(shù)為 例2 如圖所示的無源網(wǎng)絡(luò)電路 (其中RCT) 3) 微分環(huán)節(jié)如果輸出變量正比于輸入變量的微分 ，對(duì)上式

7、兩端進(jìn)行Laplace變換得 則傳遞函數(shù)為在實(shí)際的機(jī)電控制工程系統(tǒng)中，理想的微分環(huán)節(jié)很難實(shí)現(xiàn)，通常用 (其中T，K為常數(shù)) 來近似微分環(huán)節(jié)。 例3 如圖所示的無源微分網(wǎng)絡(luò) (其中K=1，T=RC) 4) 積分環(huán)節(jié)如果輸出變量正比于輸入變量的積分，即對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換得則傳遞函數(shù)為例4 如圖所示的積分運(yùn)算放大器 5) 二階振蕩環(huán)節(jié)如果輸入、輸出函數(shù)可用如下二階微分方程對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換得則傳遞函數(shù)為例5 如圖所示的R-L-C無源網(wǎng)絡(luò) 2.5 系統(tǒng)方塊圖及其簡(jiǎn)化一. 方塊圖的組成 方塊圖指描述系統(tǒng)各元件之間信號(hào)的傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形 。 方塊圖又稱結(jié)構(gòu)圖，它表示系統(tǒng)輸入變量與輸出

8、變量之間的因果關(guān)系以及系統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的運(yùn)算，是控制系統(tǒng)中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種非常簡(jiǎn)便的方法。信號(hào)線: 帶有箭頭的直線，箭頭表示信 號(hào)傳遞的方向， 在直線一側(cè)標(biāo)出信號(hào)的名稱，一般多用象函數(shù)表示。2) 引出點(diǎn)(測(cè)量點(diǎn))：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置同一位置引出的信號(hào)特性完全相同3) 比較點(diǎn)(綜合點(diǎn))：表示兩個(gè)或兩個(gè)以上的 信號(hào)相加減運(yùn)算 4) 方塊(環(huán)節(jié))：表示信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換 方塊中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 方塊的輸出變量就等于輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積 二. 方塊圖的等效變換1 . 串聯(lián)方塊圖的等效 串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為每個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積， 2. 并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效方塊圖并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函

9、數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。3. 反饋環(huán)節(jié)的等效方塊圖輸入輸出之間的關(guān)系為 4. 方塊圖的等效規(guī)則 a. 各前向通道的傳遞函數(shù)乘積不變； b. 各回路傳遞函數(shù)的乘積不變。例2-40 簡(jiǎn)化方塊圖2-32，并求傳遞函數(shù)。解1) 將A點(diǎn)后移得 2) 消除G3(s)， G4(s)，G6(s)的回路得3)4) 消去所有的回路得 2.6 信號(hào)流圖及MASON公式一. 信號(hào)流圖信號(hào)流圖中的網(wǎng)絡(luò)是由一些定向線段將一些節(jié)點(diǎn)連接起來組成。信號(hào)流圖的基本性質(zhì)如下圖示的方塊圖與之對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖的關(guān)系 節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量或信號(hào)，通常，節(jié)點(diǎn)是自左向右設(shè)置，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的信號(hào)是所有通過節(jié)點(diǎn)信號(hào)的代數(shù)和，而同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的

10、信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)表示，任何節(jié)點(diǎn)都用空心圓圈 “”表示。2) 支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，流入支路的信號(hào)乘以支路的增益等于流出支路的信號(hào)，3) 信號(hào)在支路上只能沿箭頭方向單向傳遞。4) 同一系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)變量可以任意設(shè)置，信號(hào)流圖不唯一，但最終的傳遞函數(shù)是唯一的。 名詞術(shù)語 源節(jié)點(diǎn)(輸入點(diǎn))：只有信號(hào)輸出的支路，而沒有信號(hào)輸入的支路的節(jié)點(diǎn)，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量，亦稱輸入節(jié)點(diǎn)。阱節(jié)點(diǎn)(輸出點(diǎn))：只有信號(hào)輸入的支路，而沒有信號(hào)輸出的支路的節(jié)點(diǎn)，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量?；旌宵c(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。 通路：沿箭頭的方向穿過各條支路的路徑稱為通路。前向通路：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，稱為前向通路。前向通路上總的增益等于各支路增益之乘積?；芈罚浩瘘c(diǎn)和終點(diǎn)相同的節(jié)點(diǎn)，信號(hào)通過每一節(jié)點(diǎn)最多一次的閉合通路稱為回路。不接觸回路：回路之間沒有共同的節(jié)點(diǎn)的回路。二. MASON公式式中 (s) 系統(tǒng)總的傳遞函數(shù) 第k條前向通道的傳遞函數(shù)n 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道總和 信號(hào)流圖或方塊圖特