高中數(shù)學(xué)必修二 10.1 隨機(jī)事件與概率（精講）（含答案）

1、10.1 隨機(jī)事件與概率（精講）思維導(dǎo)圖常見考法考法一 有限樣本空間與隨機(jī)事件【例1-1】（2021全國高一）給出下列四個(gè)命題：“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必然事件；“當(dāng)x為某一實(shí)數(shù)時(shí)，可使x20”是不可能事件；“明天天津市要下雨”是必然事件；“從100個(gè)燈泡(含有10個(gè)次品)中取出5個(gè)，5個(gè)全是次品”是隨機(jī)事件其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】對(duì)于，三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，有兩種情況：1+2和3+0，故必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球，所以該事件是必然事件，正確；對(duì)于，x=0時(shí)x2=0，所以該事件不是不可能事件，錯(cuò)誤；對(duì)于，“明天天津市要下

2、雨”是偶然事件，所以該事件是隨機(jī)事件，錯(cuò)誤；對(duì)于，“從100個(gè)燈泡(含有10個(gè)次品)中取出5個(gè)，5個(gè)全是次品”，發(fā)生與否是隨機(jī)的，所以該事件是隨機(jī)事件，正確故正確命題有2個(gè).故選：C【例1-2】（2020全國高一）袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄球的編號(hào)，先后摸兩次.（1）若第一次摸出的球不放回，寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）若第一次摸出的球放回，寫出試驗(yàn)的樣本空間.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】m表示第一次摸出球的編號(hào)，用n表示第二次摸出球的編號(hào)，則樣本點(diǎn)可用，表示.（1）若第一次摸出的球不放回，則，此時(shí)的樣本空間可表示為，共有12個(gè)樣

3、本點(diǎn).（2）若第一次摸出的球放回，則m，n可以相同.此時(shí)試驗(yàn)的樣本空間可表示為，共有16個(gè)樣本點(diǎn).【一隅三反】1（2021全國高一課時(shí)練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（ ）連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)向上；13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同；某人買彩票中獎(jiǎng)；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90會(huì)沸騰.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B【解析】拋擲一枚骰子，每一面出現(xiàn)都是隨機(jī)的，所以是隨機(jī)事件；一年只有12生肖，所以13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同是必然事件，所以是必然事件；購買彩票號(hào)碼是隨機(jī)的，某人買彩票中獎(jiǎng)也是隨機(jī)的，所以是隨機(jī)事件；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100才會(huì)沸騰.故是不可能事件故選：B

4、2（多選）（2020全國高一單元測(cè)試）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（ ）A年月日，北京市不下雨B在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時(shí)結(jié)冰C從標(biāo)有，的張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰為?hào)簽D若，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)與C選項(xiàng)為隨機(jī)事件，B為不可能事件，D為必然事件故選：AC3（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）寫出下列各隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：（1）采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；（2）采用抽簽的方式，隨機(jī)選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；（3）隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭，觀察兩個(gè)孩子的性別；（4）射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；（5）射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）

5、詳見解析（4）詳見解析（5）詳見解析【解析】解：（1）一名同學(xué)的性別有兩種可能結(jié)果：男或女.故該試驗(yàn)的樣本室間可以表示為男，女；（2）一名同學(xué)的血型有四種可能結(jié)果：A型、B型、AB型、O型.故該試驗(yàn)的樣本空間可表示為；（3）每個(gè)小孩的性別有男或女兩種可能，兩個(gè)小孩的性別情況有四種可能，故該試驗(yàn)的樣本空間可表示為（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）；（4）每次射擊有中靶或脫靶兩種可能，射擊3次有八種可能，用1表示中靶，用0表示脫靶，該試驗(yàn)的樣本空間可表示為；（5）射擊3次，中靶的次數(shù)可能是0，1，2，3，故該試驗(yàn)的樣本空間可以表示為.4（2021全國高一）寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：（1）

6、設(shè)袋中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球，從中不放回逐個(gè)取出，直到白球全部取出為止，記錄取球的次數(shù)；（2）甲、乙、丙三位同學(xué)參加演講比賽，通過抽簽確定演講的順序，記錄抽簽的結(jié)果.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）從中不放回逐個(gè)取出，直到白球全部取出為止，則取球次數(shù)為；（2）由抽簽確定演講的順序，抽簽的結(jié)果即樣本空間可表示為（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）.考法二 事件的關(guān)系與運(yùn)算【例2-1】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球.設(shè)事件“1個(gè)紅球和2個(gè)白球”，事件“2個(gè)紅球和1個(gè)白球”，事件“至

7、少有1個(gè)紅球”，事件“既有紅球又有白球”，則：（1）事件與事件是什么關(guān)系？（2）事件與事件的交事件與事件是什么關(guān)系？【答案】（1）.（2）事件與事件的交事件與事件相等.【解析】（1）對(duì)于事件,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球和2個(gè)白球或2個(gè)紅球和1個(gè)白球,故.（2）對(duì)于事件,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球和2個(gè)白球,2個(gè)紅球和1個(gè)白球或3個(gè)紅球,故,所以事件與事件的交事件與事件相等.【例2-2】（2021全國高一）擲一枚骰子，給出下列事件：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”.求：（1），；（2），.【答案】（1），“出現(xiàn)2點(diǎn)”.（2）“出現(xiàn)1，2，3，4，5或6點(diǎn)”，“出現(xiàn)1，2，4或6點(diǎn)”.【解

8、析】由題意知：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”，（1），出現(xiàn)2點(diǎn)”；（2）“出現(xiàn)1，2，3，4，5或6點(diǎn)”，“出現(xiàn)1，2，4或6點(diǎn)”.【一隅三反】1（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色給大小相同的三個(gè)圓隨機(jī)涂色，每個(gè)圓只涂一種顏色.設(shè)事件“三個(gè)圓的顏色全不相同”，事件“三個(gè)圓的顏色不全相同”，事件“其中兩個(gè)圓的顏色相同”，事件“三個(gè)圓的顏色全相同”.（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間.（2）用集合的形式表示事件.（3）事件與事件有什么關(guān)系？事件和的交事件與事件有什么關(guān)系？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）事件包含事件，事件和的交事件與事件互斥.見

9、解析【解析】(1)由題意可知3個(gè)球可能顏色一樣,可能有2個(gè)一樣,另1個(gè)異色,或者三個(gè)球都異色.則試驗(yàn)的樣本空間（紅,紅,紅）,（黃,黃,黃）,（藍(lán),藍(lán),藍(lán)）,（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍(lán)）,（藍(lán),藍(lán),紅）,（藍(lán),藍(lán),黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍(lán)）,（紅,黃,藍(lán)）.(2)（紅,黃,藍(lán)）（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍(lán)）,（藍(lán),藍(lán),紅）,（藍(lán),藍(lán),黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍(lán)）,（紅,黃,藍(lán)）（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍(lán)）,（藍(lán),藍(lán),紅）,（藍(lán),藍(lán),黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍(lán)）.（紅,紅,紅）,（黃,黃,黃）,（藍(lán),藍(lán),藍(lán)）.(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件與事件互斥

10、.2（2021全國高一）記某射手一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)分別為事件，指出下列事件的含義：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).（2）射中9環(huán).（3）射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).【解析】（1）=射中10環(huán)，=射中9環(huán)，=射中8環(huán)，射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán).（2）=射中8環(huán)，射中環(huán)數(shù)不是8環(huán)，則射中9環(huán).（3）射中9環(huán)或8環(huán)或7環(huán)，則射中10環(huán)或6環(huán)或5環(huán)或4環(huán)或3環(huán)或2環(huán)或1環(huán)或0環(huán).3（2021全國高一）在試驗(yàn)“甲、乙、丙三人各射擊1次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機(jī)事件“甲中靶”，事件B表示隨機(jī)事件“乙中靶”，事件C表示

11、隨機(jī)事件“丙中靶”，試用A，B，C的運(yùn)算表示下列隨機(jī)事件：（1）甲未中靶；（2）甲中靶而乙未中靶；（3）三人中只有丙未中靶；（4）三人中至少有一人中靶；（5）三人中恰有兩人中靶.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】（1）甲未中靶：.（2）甲中靶而乙未中靶：,即.（3）三人中只有丙未中靶：,即.（4）三人中至少有一人中靶.（5）三人中恰有兩人中靶.考法三 互斥與對(duì)立【例3】（多選）（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）袋中有紅球3個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥的兩個(gè)事件是（ ）A至少有一個(gè)白球與都是白球B恰有一個(gè)紅球與白、黑球各一個(gè)C至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球D至少有一個(gè)紅球與兩

12、個(gè)白球【答案】BD【解析】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一個(gè)紅球和白、黑球各一個(gè)不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球，能同時(shí)發(fā)生，故C不成立；在D中，至少有一個(gè)紅球與兩個(gè)白球兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故D成立；故選：BD.【一隅三反】1（多選）（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（ ）A事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件B事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”互為互斥事件C事件

13、“第一次擊中”與事件“第二次擊中”互為互斥事件D事件“兩次均未擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件【答案】BD【解析】對(duì)于A，事件“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中“，所以不是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤對(duì)于B，事件“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”它與事件“兩次均擊中”是互斥事件，B正確對(duì)于C，事件“第一次擊中”包含“第一次擊中、第二次擊中”和“第一次擊中、第二次不中”，所以與事件“第二次擊中”不是互斥事件，C錯(cuò)誤對(duì)于D，事件“兩次均未擊中”的對(duì)立事件是“至少一次擊中”，D正確故選：BD2（多選）（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）下面結(jié)論正確的是（ ）A若，則事件A與B是互為對(duì)立事件B若

14、，則事件A與B是相互獨(dú)立事件C若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件D若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則A與也是相互獨(dú)立事件【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，要使為對(duì)立事件，除還需滿足，也即不能同時(shí)發(fā)生，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，包含于，所以與不是互斥事件，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)相互獨(dú)立事件的知識(shí)可知，B選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)相互獨(dú)立事件的知識(shí)可知，D選項(xiàng)正確.故選：BD3（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）在試驗(yàn)E“連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù)”中，事件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”，事件表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為j，事件B表示隨機(jī)事件“

15、2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，事件C表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”，（1）試用樣本點(diǎn)表示事件與；（2）試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件；（3）試用事件表示隨機(jī)事件A.【答案】（1）詳見解析（2）事件A與事件B，事件A與事件C不是互斥事件，事件B與事件C是互斥事件.（3）【解析】由題意可知試驗(yàn)E的樣本空間為,.（1）因?yàn)槭录嗀表示隨機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”,所以滿足條件的樣本點(diǎn)有,即.因?yàn)槭录﨎表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”,所以滿足條件的樣本點(diǎn)有,即.所以,.（2）因?yàn)槭录﨏表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”,所以.因?yàn)?所以事件A與事件B,

16、事件A與事件C不是互斥事件,事件B與事件C是互斥事件.（3）因?yàn)槭录硎倦S機(jī)事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為1,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為”,所以,所以.考法四 古典概型【例4】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）在一次語文考試的閱卷過程中，兩位老師對(duì)一篇作文打出的分?jǐn)?shù)都是兩位的正整數(shù)，且十位數(shù)字都是，則兩位老師打出的分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等于的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】用表示兩位老師的打分，則的所有可能情況有種.當(dāng)時(shí)，可取，共種；當(dāng)，時(shí)，的取值均有種；當(dāng)時(shí)，可取，共種；綜上可得兩位老師打出的分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等于的情況有種，由古典概型的概率公式可得所求概率故選：C.【一隅三反】1（2020全國高一課

17、時(shí)練習(xí)）從數(shù)字1，2，3，4中任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的整數(shù)倍的概率為（ ）ABCD【答案】D【解析】基本事件為共6個(gè)，其中符合條件的基本事件為共4個(gè)，所求概率為.故選：D2（2021全國高一）把分別寫有1，2，3，4的四張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張，則必須是連號(hào)，那么2，3連號(hào)的概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】分三類情況，第一類1，2連號(hào)，則甲、乙、丙三個(gè)人拿到的卡片可能為，有6種分法；第二類2，3連號(hào)，則甲、乙、丙三個(gè)人拿到的卡片可能為，有6種分法；第三類3，4連號(hào)，則甲、乙、丙三個(gè)人拿到的卡片可能為，有6種分法；共有18種

18、分法，則2，3連號(hào)的概率為.故選：B.3（2021全國高一）為了更好了解某年入伍新兵的身高情況，解放軍某部隨機(jī)抽取名新兵，分別對(duì)他們的身高進(jìn)行了測(cè)量，并將測(cè)量數(shù)據(jù)分為以下五組：，進(jìn)行整理，如下表所示：組號(hào)分組頻數(shù)第1組第2組第3組第4組第5組合計(jì)（1）在下面的圖紙中，畫出頻率分布直方圖；（2）若在第4，5兩組中，用分層抽樣的方法抽取6名新兵，再從這6名新兵中隨機(jī)抽取2名新兵進(jìn)行體能測(cè)試，求這2名新兵來自不同組的概率【答案】（1）直方圖見解析；（2）.【解析】（1）頻率分布直方圖如下圖所示：因?yàn)榈?，5組共有30名新兵，所以利用分層抽樣從中抽取6名，每組應(yīng)抽取的人數(shù)分別為：4組：名，第5組：名，

19、設(shè)第組抽取的4名新兵分別為，第5組抽取的2名新兵分別為，從這6名新兵中隨機(jī)抽取2名新兵，有以下15種情況：，這2名新兵來自不同組的情況有以下8種：，故所求的概率考法五 概率的基本性質(zhì)【例5-1】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）老師講一道數(shù)學(xué)題，李峰能聽懂的概率是0.8，是指（ ）A老師每講一題，該題有80%的部分能聽懂，20%的部分聽不懂B老師在講的10道題中，李峰能聽懂8道C李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%D以上解釋都不對(duì)【答案】C【解析】概率的意義就是事件發(fā)生的可能性大小，即李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%.故選：C【例5-2】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，10

20、0名學(xué)生組成一個(gè)方陣進(jìn)行表演，他們按照性別（M（男）、F（女）及年級(jí)（高一）、（高二）、（高三）分類統(tǒng)計(jì)的人數(shù)如下表：M182014F17247若從這100名學(xué)生中隨機(jī)選一名學(xué)生，求下列概率：_，_，_，_，_，_，_【答案】 0 【解析】；故答案為：（1）；（2）；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07【一隅三反】1（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）在北京消費(fèi)季活動(dòng)中，某商場(chǎng)為促銷舉行購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定購物消費(fèi)每滿200元就可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)的概率為.那么以下理解正確的是（ ）A某顧客抽獎(jiǎng)10次，一定能中獎(jiǎng)1次B某顧客抽獎(jiǎng)10次，可能1次也沒中獎(jiǎng)C某顧客消費(fèi)21

21、0元，一定不能中獎(jiǎng)D某顧客消費(fèi)1000元，至少能中獎(jiǎng)1次【答案】B【解析】中獎(jiǎng)概率表示每一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的可能性都是，故不論抽獎(jiǎng)多少次，都可能一次也不中獎(jiǎng)，故選：B.2（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)678910頻率0.10.150.250.30.2如果這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，以頻率作為概率，求下列事件的概率；（1）命中10環(huán)；（2）命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)；（3）命中的環(huán)數(shù)小于9環(huán)；（4）命中的環(huán)數(shù)不超過5環(huán).【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0【解析】用x表示命中的環(huán)數(shù)，由頻率表可得.（1）；（2）（或）；（3）；（4）.3（2021全

22、國高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列說法是否正確，若錯(cuò)誤，請(qǐng)舉出反例（1）互斥的事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件；（3）事件與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大；（4）事件與事件B同時(shí)發(fā)生的概率一定比與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小.【答案】（1）錯(cuò)誤，舉例見解析；（2）正確；（3）錯(cuò)誤，舉例見解析；（4）錯(cuò)誤，舉例見解析.【解析】（1）錯(cuò)誤；（2）正確；（3）錯(cuò)誤：（4）錯(cuò)誤.設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為.（1）中反例，取，則A,B互斥但不對(duì)立.（2）由互斥事件與對(duì)立事件的定義可知(2)正確（3）中反例，取,則.（4）中反例，取,則,.4（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：（1）兩人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）兩人都脫靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】設(shè)“甲中靶”, “乙中靶”,則“甲脫靶”,“乙脫靶”,由于兩個(gè)人射擊的結(jié)果互不影響,所以A與B相互獨(dú)立,A與,與