矩形性質(zhì)和判定教師版

1、(完滿版)矩形的性質(zhì)和判斷教師版(完滿版)矩形的性質(zhì)和判斷教師版13/13(完滿版)矩形的性質(zhì)和判斷教師版1.3矩形的性質(zhì)和判斷1.3矩形的性質(zhì)和判斷學習目標：1、學會鑒別矩形；2、掌握矩形的看法、判斷和性質(zhì)，會用矩形的性質(zhì)和判斷解決簡單的問題；3、會運用矩形的知識解決有關(guān)問題,重點：掌握矩形的性質(zhì)，并學會應用難點：理解矩形的特別性【知識梳理】1矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形2矩形的性質(zhì)矩形是特其他平行四邊形，它擁有平行四邊形的所有性質(zhì)，?還擁有自己獨到的性質(zhì)：邊的性質(zhì)：對邊平行且相等角的性質(zhì)：四個角都是直角對角線性質(zhì)：對角線互相均分且相等對稱性：矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱

2、圖形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半議論：這兩條直角三角形的性質(zhì)在教材上是應用矩形的對角線推得，用三角形知識也可推得3矩形的判斷判斷：有一個角是直角的平行四邊形是矩形判斷：對角線相等的平行四邊形是矩形判斷：有三個角是直角的四邊形是矩形【例題精講】【矩形的判斷】【例1】如圖，在四邊形ABCD中，ABCBCD90，ACBD，求證：四邊形ABCD是矩形【剖析】ABCBCD90，ABCDAD在RtABC和RtDCB中BCCBACBDRtABCRtDCB(HL)ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形BCACBD，四邊形ABCD是矩形【例2】如圖，已知在四邊形A

3、BCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分別是四邊的中點，求證四邊形EFGH是矩形【剖析】E、F、G、H分別是四邊的中點EF、GH為中位線EFGHBD且EFGH1BD2四邊形EFGH為平行四邊形DEHACOFGB第1頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷ACDB，EFFG四邊形EFGH是矩形【例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AD的中點，且MBMC，求證：四邊形ABCD是矩形【剖析】四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AD180M是AD的中點，AMMDAMDAMDM在ABM和CDM中MBMCABCDABMCDM()，ADBCSSSA90，四邊形ABCD是矩形【例4】設凸四邊形ABCD的4個極點滿足條

4、件：每一點到其他3點的距離之和都要相等試判斷這個四邊形是什么四邊形?請證明你的結(jié)論?！酒饰觥窟@個四邊形是矩形由已知得ABACADBABCBDCACBCDDADBDCACADBCBD變換此式有ABADBCCDABACBDCD得ADCB；得ABCD，故知ABCD是平行四邊形又得ACBD，因此，四邊形ABCD是矩形【例5】如圖，平行四邊形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分別是DAB、ABC、BCD、CDA的均分線，AQ與BN交于P，CN與DQ交于M，證明：四邊形PQMN是矩形【剖析】四邊形ABCD為平行四邊形ABCD，ADBCAQ、BN分別是DAB、ABC的均分線BADABC180QPN90同理P

5、QMQMNMNP90四邊形PQMN是矩形ADNPMQBC【例6】如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AFBD，連接BFFA、求證：BDCD、若是ABAC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論【剖析】、AFBC，AFEDCEEE是AD的中點，AEDEBDC第2頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷AFEDCEAEDEAEFDECAEFDECAFDC，AFBDBDCD（2）四邊形AFBD是矩形ABAC，D是BC的中點（利用全等）ADBCADB90AFBD，AFBC四邊形AFBD是平行四邊形又ADB90四邊形AFBD是矩形【例7】已知，如圖，在A

6、BC中，ABAC，AD是BC邊上的高，AF是BAC的外角均分線，交AF于E，試說明四邊形ADCE是矩形【剖析】ABAC，B2又13B2，13，12，AFBCA31又DEAB，ABDE是平行四邊形，AEBDABAC，ADBC，BDDCAEDC，四邊形ADCE是平行四邊形又ADC90，平行四邊形ADCE為矩形BD本題也可先說明ACED，再說明四邊形ADCE是平行四邊形【例8】以下列圖，在RtABC中，ABC90，將RtABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60獲取在AC上，再將RtABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180獲取ABF連接AD、求證：四邊形AFCD是菱形；DEABEF2CDEC點E、連接BE并延長交AD于

7、G連接CG，請問：四邊形ABCG是什么特別平行四邊形？為什么？【剖析】RtDEC是由RtABC繞C點旋轉(zhuǎn)60獲取ACDC，ACBACD60ACD是等邊三角形ADDCAC又RtABF是由RtABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180獲取AGDEFBCACAF，ABFABC90FBC180點F、B、C三點共線第3頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷AFC是等邊三角形AFFCACADDCFCAF四邊形AFCD是菱形四邊形ABCG是矩形由可知：ACD是等邊三角形，DEAC于EAEEC，又AGBCEAGECB，AGEEBCAEGCEB，AGBC四邊形ABCG是平行四邊形，而ABC90四邊形ABCG是矩形【例9】如圖，在ABCD

8、中，AEBC于E，AFCD于F，AEF的兩條高訂交于M，AC20，EF16，求AM的長【剖析】過C作CGAD于G，連接EG、FGAEBC，F(xiàn)MAE，F(xiàn)MECECB又EMAF，CDAF，EMCFMF四邊形EMFC為平行四邊形，MFEC又AEBC，CGAD且BCADADEAGAGCGCEAEC90EC四邊形AGCE為矩形BMFECAG，EGAC，MFAG又MFAGAGD四邊形AGFM為平行四邊形，GFAMAMEF，GFEF，即GFE90GFEG2EF2，AM20216212【例10】已知，如圖矩形ABCD中，延長CB到E，使CEAC，F(xiàn)是AE中點求證：BFDFADMADFFEBCEBC【剖析】延長

9、BF交AD于M，連接DB四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，ACBDMEBF，F(xiàn)是AE中點，AFEF，在AFM和EFB中，第4頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷MEBF，MFABFE，AFEFAFMEFGAMBE，MFBF，ADAMBCBECEDMCEAC，ACBD，DMDBMFBF，BFDF【矩形的性質(zhì)及應用】【例11】如圖，在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AEAD，DFAE，垂足為F.線段DF與圖中的哪一條線段相等？先將你猜想出的結(jié)論填寫在下面的橫線上，爾后再加以證明。即DF.(寫出一條線段即可)ADADBFCBFCEE【剖析】連接DE.四邊形ABCD是矩形，ABCD，AD/BC，C90o

10、.ADEAEC.又ADAE，ADEAED，AEDAEC，又DFEC90o，DEFDEC，DFDC.【例12】如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是BC,AD上的點，且BEDF.求證：ABECDF.【剖析】四邊形ABCD是矩形AFAD，BD90o.DAB在ABE和CDF中，BC又BEDF，EABECDF.【例13】如圖，矩形ABCD的兩條對角線訂交于點O，AOB60，AB2，則矩形的對角線AC的長是（）A2B4C23D43【剖析】AOB60，AOBO，AOB為等邊三角形，AAC4DOCB第5頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷【例14】矩形ABCD的對角線AC、BD交于O，若是ABC的周長比AOB的周長大10

11、cm，則邊AD的長是【剖析】ACAOBO，ADBCABACBCABAOBO10cm【例15】如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于O，AEBD于E，DAEBAE31，則EAC_【剖析】DABDAEBAE90DAE67.5，BAE22.5AOBO，EAC67.522.545ADOEBC【例16】如圖在矩形ABCD中，已知AD12，是AD邊上任意一點，PEBD，PFAC，E、AB5PF分別是垂足，求PEPF的值A(chǔ)PDAPD321OEOEMFFGBCBC【剖析】法一：作AGBD于G，PMAG于M，則PEMG又易證123，從而RtPAMRtAPF，AMPF，因此PEPFMGAMAG而AD12，AB

12、5，BAD90，則BD13在ABD中，依照面積公式有11BDAG，ABAD22則AGABAD51260，PEPF60BD131313MAPAPDDOEOEFFBGCBGNC法二：利用面積相等，連接PO并作AGBDSPOD1PE,SAOP1AOPFOD22SAOC1AG，AOOD，OD2SAODSAOPSDOP，AGPFPE第6頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷AGABAD51260BD1313法三：延長OP過點D作DMOP的延長線，垂足為M，過點D作DNAC于N易證SDMPSDEP，PMPE，由矩形DMFN可知DNMF，DNPFPEBNADDC60,PEPF60AC1313【例17】如圖，在矩形ABCD

13、中，BC=2，AEBD于E，若BAE=30，則S四邊形ECDA【剖析】ADBC2，BAE30AAE1，DE3ESECDA3B【例18】已知，矩形ABCD和點P，當點P如圖地址時，求證：SPBCSPACSPCDPPADADEBCBFC【剖析】如圖，過點P作PFAD，分別交AD、BC于E，F(xiàn)兩點SPBC111BCEF11EFBCPFBCPEADPEBC22222SPAD1SPCDSPADSADCS矩形ABCD，SPAC2SPAD1S矩形ABCD，SPBCSPACSPCD2【例19】已知矩形ABCD和點P，當點P在矩形ABCD內(nèi)時，試求證：SPBCSPACSPCDADAEDPPBCBFC【剖析】過點

14、P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F兩點SPBC1BCPF1PE1BC(PFPE)SPADAD222DC第7頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷1EF1BCS矩形ABCD22又SPACSPCDSPAD1S矩形ABCD2SPBCSPADSPACSPCDSPADSPBCSPACSPCD【例20】以下列圖，矩形ABCD內(nèi)一點P到A、B、C的長分別是3、4、5，求PD的長ADAEDADPFPHPOBCBGCBC【剖析】過P點分別作AD、AB、BC、CD的垂線，垂足分別為E、F、G、H，顯然AFPE，EPHD，F(xiàn)BGP，PGCH都是矩形，則APAE2EP2PF2PE2，PC2PG2PH2，PB2PF2PG2，

15、PD2PE2PH2，PA2PC2PE2PF2PG2PH2PB2PD2，PD2PA2PC2PB232524218，PD32另解：以下列圖，連接AC、BD交于點O，連接PO因為AOOC，BODO，故OP21PA21PC21AC2（中線定理），224OP21PB21PD21BD2224而ACBD，故2222，則PD2524232PAPCPBPD3【例21】如圖，O是矩形ABCD的對角線交點，過點O作EFAC分別交AD、于、，若AB2cm，BCFEBC4cm，求四邊形AECF的面積【剖析】由ABCD為矩形可知，OAOC又ADBC，CADBCAAFD又EFAC，AOFCOE故OEOF從而可知AECF為菱

16、形，AECEO又BEBCCE4CE，AB2BEC在直角ABE中，由勾股定理有，(4CE)222CE2解得CE5故四邊形AECF的面積為255(cm2)22第8頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷【例22】如圖，將矩形ABCD沿AC翻折，使點B落在點E處，連接DE、CE，過點E作EHAC，垂足為H、判斷ACED是什么圖形,并加以證明；、若AB8，AD6求DE的長；、四邊形ACED中，比較AEEC與ACEH的大小【剖析】等腰梯形；易證得ACDCEA，DEAC，結(jié)論易得過點D作DFAC，垂足為FEDCACED為等腰梯形DAFECHADCEDAFECHAFCHHDE/AC，DFAC，EHACDEFHAB8，AD6

17、AC10ABSACE1EHAC1AECEEH24，CH62(24)21822555DE101821455由可知，AEECACEHAECEAE2CE2AC2AE2EC22AEECAC22ACEH(AEEC)2AC22ACEHAC22ACEHEH2(ACEH)2AEECACEH【例23】以下列圖，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若ABBF，求證：MNCFEEAMDAMDBNCBNCFF【剖析】ABBF，BFDE，ABDEAE90o，AMBEMDAMBEMD，BMMDDMNB，BMND，BMDN是平行四邊形又BMMD，BMDN是菱形連接BD，則BDMN，NBND，NBDNDB從而證得BNFDNC，N

18、FNC，NFCNCF第9頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷NFCNDB，BDFC，MNBD，MNFC【例24】矩形ABCD中，延長CB到E，使CECA，F(xiàn)是AE的中點，求證：BFDFADADFFEBCEBC【剖析】解法一：如圖，連接FCCECA，AFEF，F(xiàn)C是AE的中垂線AFC90又在RtAEB中，F(xiàn)為斜邊AE的中點，F(xiàn)BAF，F(xiàn)ABFBA又FAD90FAB，F(xiàn)BC90FBA，F(xiàn)ADFBC而ADBC，AFBF，AFDBFC，AFDBFC又AFDCFD90，BFCCFD90BFDF解法二：如圖，連接BD交AC于O，連接FO則AOCO，ACBD又AFEF，F(xiàn)O1CE2而CEACBD，F(xiàn)O1BD2又BODO

19、，BFD是直角三角形故BFDF解法三：如圖，延長DA、BF交于G，連接BDAGBE，GAFBEF又AFGEFB，AFBFAGFEBF，AGBE，GFBFADBC，DGCECECABD，DF是BG的中垂線BFDF解法四：如圖，延長DF、CE交于G，連接BDGADFOEBCGADFOEBCADFOEBC第10頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷ADEG，F(xiàn)ADFEG又AFDEFG，AFEF，AFDEFGADEG，F(xiàn)DFG又ADBC，CECACEBGBD，BF是DG的中垂線BFDF【例25】已知，如圖，矩形ABCD中，CEBD于E，AF均分BAD交EC于F，求證：CFBDADADEE12OM3CCBBFF【剖析

20、】連接AC交BD于O，四邊形ABCD為矩形，OA11BD，BAD90AC，ODBD，AC22OAOD，OADODAAF均分BAD，F(xiàn)AD45，2FADOAD45ODA3FADODA，345ODACEBD，F(xiàn)390，F(xiàn)90(45ODA)45ODA2，CFAC，CFBD第11頁1.3矩形的性質(zhì)和判斷【例26】在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，連接BE，且BE2AE，BD是EBC的均分線點P從點E出發(fā)沿射線ED運動，過點P作PQBD交直線BE于點Q當點P在射線ED上運動時（如圖1），請你猜想BE、PD、3PQ三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜3想；若BC6，設PQ長為x，以P、Q、D三點為極點所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；在的條件下，當點P運動到線段ED的中點時，連接QC，過點P作PFQC，垂足為F，PF交BD于點G（如圖2），求線段PG的長A