2012版高三數(shù)學(xué)一輪 11.3 隨機(jī)變量及其分布精品復(fù)習(xí)學(xué)案

1、PAGE PAGE - 38 -2012版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布11.3隨機(jī)變量及其分布【高考目標(biāo)導(dǎo)航】一、離散型隨機(jī)變量及其分布列1考綱點(diǎn)擊（1）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；（2）理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。2熱點(diǎn)提示（1）高考中對(duì)本節(jié)考查的重點(diǎn)是分布列的概念及其求法以及期望和方差的有關(guān)內(nèi)容；（2）多以選擇、填空的形式考查分布列的特點(diǎn)、服從超幾何分布的隨機(jī)變量的概率。二、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1考綱點(diǎn)擊（1）了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；（2）理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及

2、二項(xiàng)分布；（3）能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。2熱點(diǎn)提示（1）在選擇、填空中考查條件概率、相互獨(dú)立事件及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率；（2）在解答題中考查這些概率，或者綜合考查分布列、均值與方差等。三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1考綱點(diǎn)擊（1）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念；（2）能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題。2熱點(diǎn)提示（1）以選擇、填空題的形式考查離散型隨機(jī)變量均值與方差的概念和計(jì)算；（2）以實(shí)際問題為背景，考查均值與方差的應(yīng)用。四、正態(tài)分布1考綱點(diǎn)擊利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。2熱點(diǎn)提示以選擇、填空題的形式考查正態(tài)分布

3、曲線的特點(diǎn)及概率。【考綱知識(shí)梳理】一、離散型隨機(jī)變量及其分布列1離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，表示。所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。2離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)（1）一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為X取每一個(gè)值的概率，則表XP稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式表示X的分布列。（2）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)0（）；。注：求離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)，首先確定隨機(jī)變量的極值，求出離散型隨機(jī)變量的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，最后列成表格。3常見離散型隨機(jī)變量的分布列（1）兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量

4、X服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為，其中稱為成功概率。（2）超幾何分布在含有M件次品的N件新產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件X=k發(fā)生的概率為其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,N,稱分布列X01mP為超幾何分布列。二、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1條件概率及其性質(zhì)（1）條件概率的定義設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P（A）0，稱P（B|A）=P（AB）/P（A）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。注：條件概率不一定等于非條件概率。若A，B相互獨(dú)立，則P（B|A）=P（B）。（2）條件概率的性質(zhì)0P（B|A）1；如果B、C是兩個(gè)互斥事件，則P（BC|A）=P（B|A）+P（C|A）。2事件的相

5、互獨(dú)立性設(shè)A、B為兩個(gè)事件，如果P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即若用表示第次試驗(yàn)結(jié)果，則（2）二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB（n,p），并稱p為成功概率。三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為XP（1）均值稱EX=+為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量

6、取值的平均水平。（2）方差稱DX=為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作。注：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差。2均值與方差的性質(zhì)（1）E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差（1）若X服從兩點(diǎn)分布，則EX=p，DX=p(1-p).（2）若XB（n,p），則EX=np.DX=np(1-p).四、正態(tài)分布1.正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)其中實(shí)數(shù)和（0）為

7、參數(shù)，我們稱的圖象（如圖）為正態(tài)分布密謀曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。注：是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)。（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對(duì)稱；曲線在x=處達(dá)到峰值曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙表示。2正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(ab),隨機(jī)變量X滿足P（aXb）=,則稱X的分布為正態(tài)分布，記作。（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間取值的概率值P（-X+）=0.6

8、826;P(-2X+2)=0.9544;P(-3X+3)=0.9974.（3）3原則通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只?。?3，+3）之間的值，并簡(jiǎn)稱為3原則。正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（-3，+3）之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生?！疽c(diǎn)名師透析】一、離散型隨機(jī)變量及其分布列（一）隨機(jī)變量的概念相關(guān)鏈接1所謂隨機(jī)變量，就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。這與函數(shù)概念在本質(zhì)上是相同的，不同的是函數(shù)的自變量是實(shí)數(shù)，而隨機(jī)變量的自變量是試驗(yàn)結(jié)果。2如果隨機(jī)變量可能取的值為有限個(gè)，則我們能夠把其結(jié)果一一列舉出來。3隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)

9、量化，變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件，在學(xué)習(xí)中，要注意隨機(jī)變量與以前所學(xué)的變量的區(qū)別與聯(lián)系。例題解析例寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。（1）一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為。（2）投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，所得點(diǎn)數(shù)的最大值為Y。思路解析：（1）3個(gè)球中，可能有1個(gè)白球，也可能有兩個(gè)，還可能沒有。（2）投擲結(jié)果為，其中且。利用投擲結(jié)果確定X，Y。解答：（1）可取0，1，2。=0表示所取3個(gè)球中沒有白球；=1表示所取3個(gè)球中有一個(gè)白球，2個(gè)黑球；=2表示所取3個(gè)球鞋中有2個(gè)白球，1個(gè)黑球。（1）X的可能取值2

10、，3，4，5，12。Y的可能取值為1，2，3，6。若以表示先后投擲的兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。則X=2表示（1，1），X=3表示（1，2），（2，1），X=4表示（1，3），（2，2），（3，1），X=12表示（6，6）；Y=1表示（1，1），Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2），Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）。（二）離散型隨機(jī)變量的分布列相關(guān)鏈接1分布列可由三種形式，即表格、等式和圖象表示。在分布列的表格表示中，結(jié)構(gòu)為2行n+1列，第1行表示隨機(jī)變量的取植，第2行是對(duì)應(yīng)的

11、變量的概率。2求分布列分為以下幾步：（1）明確隨機(jī)變量的取值范圍；（2）求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；（3）列成表格。注：分布的求解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件；（2）計(jì)算必須準(zhǔn)確無誤；（3）注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確。例題解析例一袋裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3球鞋，以X表示取出球的最大號(hào)碼，求X的分布列。思路解析：確定X的所有取值求出隨機(jī)變量X對(duì)應(yīng)的概率寫出隨機(jī)變量X的分布列。解答：隨機(jī)變量X的取值為3，4，5，6，從袋中隨機(jī)地取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“X=3”包含的基本事件總數(shù)為，事件“

12、X=4”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=5”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=6”包含的基本事件總數(shù)為；從而有隨機(jī)變量X的分布列為：X3456P（三）離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)例設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P02010103m求：（1）2X+1的分布列；（2）|X-1|的分布列。思路解析：先由分布列的性質(zhì)，求出m，由函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出2X+1和|X-1|的值及概率。解答：由分布列的性質(zhì)知：02+0.1+0.1+0.3+m=1,m=0.3.首先列表為:X012342X+113579|X-1|10123從而由上表得兩個(gè)分布列為:（1）2X+1的分布列：（2）|X-1|的分布列：注：利用分布

13、列的性質(zhì)，可以求分布列中的參數(shù)值。對(duì)于隨機(jī)變量的函數(shù)（仍是隨機(jī)變量）的分布列，可以按分布的定義來求。（四）利用隨機(jī)變量分布解決概率分布問題例某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)； （I2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 解析：（1）這一問較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意此分層抽樣與性別無關(guān)。（2）在第一問的基礎(chǔ)上，這一問處理起來也并不困難。

14、 從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率（3）的可能取值為0，1，2，3，分布列及期望略.二、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用（一）條件概率相關(guān)鏈接條件概率的求法（1）利用定義，分別求P（A）和P（AB），得P（B|A）=P（AB）/P（A）。（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)= n(AB)/ n(A).例題解析例1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱,然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球,問從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少?思路解析:本題可分為兩種互斥的情況:一

15、是從1號(hào)箱取出紅球;二是1號(hào)箱取出白球.然后利用條件概率知識(shí)來解決.解答:記事件A:最后從2號(hào)箱中取出的是紅球;事件B:從1號(hào)箱中取出的是紅球.則P(B)=4/(2+4)=2/3,.P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|)=3/(8+1)=1/3.從而P(A)=P(AB)+P(A)= P(A|B) P(B)+ P(A|)P()=4/92/3+=.(二)事件的相互獨(dú)立性相關(guān)鏈接1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法(1)利用定義:事件A、B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B).(2)利用性質(zhì):A與B相互獨(dú)立,則A與,與B, 與也都相互獨(dú)立.(3)具體背景下:有放回地摸球,每次摸球結(jié)果是相

16、互獨(dú)立的.當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí),不放回抽樣也可近似看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).2.在解題過程中,要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.已知兩個(gè)事件A、B，它們的概率分別為P（A）、P（B），則A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為AB；A、B都發(fā)生的事件為AB；A、B都不發(fā)生的事件為；A、B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為AB；A、B中至多有一個(gè)發(fā)生的事件為AB。注:兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生;兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響.學(xué)習(xí)中要注意兩者的區(qū)別,以免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.例題解析例甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒

17、乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求：（） 打滿3局比賽還未停止的概率；（）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E.解析：令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.（）由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為（）的所有可能值為2，3，4，5，6，且 故有分布列23456P從而（局）.(三)二項(xiàng)分布相關(guān)鏈接1.二項(xiàng)分布滿足條件(1)每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的.(2)各次試驗(yàn)中的

18、事件是相互獨(dú)立的.(3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.(4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).2.解決概率問題的步驟(1)記“事件”或設(shè)“事件”.(2)確定事件的性質(zhì).古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).把所給問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.(3)判斷事件的運(yùn)算是和事件還是積事件,即事件是至少有一個(gè)發(fā)生,還是同時(shí)發(fā)生,然后分別運(yùn)用相加或相乘公式.(4)運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.(5)簡(jiǎn)明寫出答案.例題解析例某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%,參

19、加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒有影響.(1)任選1名下崗人員,求該人參加過培訓(xùn)的概率;(2)任選3名下崗人員,記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù),求的分布列.思路解析:(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式;(2)應(yīng)用二項(xiàng)分布求解.解答:(1)任選1名下崗人員,記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件A，“該人參加計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B，由題意知，A與B相互獨(dú)立，且P（A）=0.6,P(B)=0.75.所以,該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率為P()=P()P()=(1-0.6)(1.0.75)=0.1該人參加過培訓(xùn)的概率為1-0.1=0.9.(2)因?yàn)槊總€(gè)人的

20、選擇是相互獨(dú)立的,所以3保參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布,即B(3,0.9),P(=k)=的分布列為0123P0.0010.0270.2430.729(四)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分布是和。假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響。(1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率;(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則中止其射擊.問:乙恰好射擊5次后,補(bǔ)中止射擊的概率是多少?思路解析:(1)至少一次未擊中,包含情況多,可求其對(duì)立事件的概率;(2)甲恰好擊中目標(biāo)

21、2次與乙恰好擊中目標(biāo)3次相互獨(dú)立;(3)乙恰好射擊5次被中止,相當(dāng)于前2次射擊至少有一次擊中,第3次擊中,第4次、第5次未擊中.解答:(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件.由題意,射擊4次相當(dāng)于作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).故P()=1-P()=1-()4=,所以甲連續(xù)射擊4次至少有一次未擊中目標(biāo)的概率為(2)記“甲射擊4次，恰有2次擊目標(biāo)”為事件， “乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件，則由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故。所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為。（3）記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件，“乙第次射擊未擊中”為事件則由于各事件相互獨(dú)立，故所以乙

22、恰好射擊5次后被中止射擊的概率為。注：（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)。在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的。（2）在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=在利用該公式時(shí)一定要審清公式中的n,k各是多少。三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計(jì)算（一）離散型隨機(jī)變量均值與方差的計(jì)算相關(guān)鏈接求離散型隨機(jī)變量均值與方差的方法：（1）理解的意義，寫出可能取的全部值；（2）求取每個(gè)值的概率；（3）寫出的分布列；（4）由均值的定義求E；（5）由方差的定義求D。注：（1）隨機(jī)變

23、量的均值等于該隨機(jī)變量的每一個(gè)取值與取該值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率乘積的和。（2）均值（數(shù)學(xué)期望）是隨機(jī)變量的一個(gè)重復(fù)特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量值的平均水平，均值（數(shù)學(xué)期望）是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均。（3）EX是一個(gè)實(shí)數(shù)，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而EX是不變的。例題解析例甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為且各人正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊(duì)的總得分.（）求隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望；()用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得

24、分”這一事件，求P(AB).解答：()解法一：由題意知，的可能取值為0，1，2，3,且所以的分布列為0123P的數(shù)學(xué)期望為E=解法二：根據(jù)題設(shè)可知因此的分布列為（）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得解法二：用Ak表示“甲隊(duì)得k分”這一事件，用Bk表示“已隊(duì)得k分”這一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1為互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0) +P(A2B1).=注：求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)要注意兩個(gè)問題：一是求出隨機(jī)變量所有可能的值；二是求出取每一個(gè)

25、值時(shí)的概率。求隨機(jī)變量的分布列，關(guān)鍵是概率類型的確定與轉(zhuǎn)化，如古典概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等。（二）均值與方差的實(shí)際應(yīng)用相關(guān)鏈接1DX表示隨機(jī)變量X對(duì)EX的平均偏離程度，DX越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，統(tǒng)計(jì)中常用來描述X的分散程度。2隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定。例題解析例現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬

26、元，一年后利潤(rùn)是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、；已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價(jià)格下降的概率都是p(0p4）=（ ）A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.15857B=0.3413， =0.5-0.3413=0.1587 16. （2010山東理數(shù)）(5)已知隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(0,),若P(Z2)=0.023,則P(-2Z2)=(A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977答案C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱又P(2)=0.023,所以P(-2)=0.0

27、23,所以P(-22)=1-P(2)- P(-2)=1-20.023=0.954,故選C.17. （2010湖北理數(shù)）14某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E=8.9，則y的值為 .14.【答案】0.4【解析】由表格可知：聯(lián)合解得.18. （2010浙江理數(shù)）19.(本題滿分l4分)如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過管道自上而下落A或B或C。已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為l，2，3等獎(jiǎng)（I）已知獲得l，2，3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50，70，90記隨變量為獲得k(k=1,2,

28、3)等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(II)若有3人次(投入l球?yàn)閘人次)參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次，求解析：本題主要考察隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、二項(xiàng)分布等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)。 ()解：由題意得的分布列為507090p則=50+70+90=.（）解：由()可知，獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為+=.由題意得（3，）則P（=2）=()2(1-)=.19. （2010江西理數(shù)）18. （本小題滿分12分）某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門。首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)（即等可能）為你打開一個(gè)通道，若是1號(hào)通道，

29、則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門。再次到達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道，直至走完迷宮為止。令表示走出迷宮所需的時(shí)間。求的分布列；求的數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥靠疾閿?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景，重點(diǎn)考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算事件的概率、隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)特征和對(duì)思維能力、運(yùn)算能力、實(shí)踐能力的考查。必須要走到1號(hào)門才能走出，可能的取值為1，3，4，6，1346分布列為：（2）小時(shí)20. （2010四川理數(shù)）（17）（本小題滿分12分）某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為.

30、甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料。（）求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率；（）求中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望E.解：（1）設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率為6分（2）的可能值為0,1,2,3P(=k)=(k=0,1,2,3)所以中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列為0123PE=0+1+2+3=12分【考點(diǎn)模擬演練】一、選擇題1(2011東北四校聯(lián)考)若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則點(diǎn)P(m，n)在直線xy4上的概率是 ()A.eq f(1,3)B.eq f(1,4)C.eq f(1,6) D.

31、eq f(1,12)解析：由題意(m，n)的取值情況共有 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,6)；(2,1)，(2,2)，(2,6)；(6,1)，(6,2)，(6,6)共有36種情況，而滿足點(diǎn)P(m，n)在直線xy4上的取值情況有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3種情況，故所求概率為eq f(3,36)eq f(1,12).答案：D2在長(zhǎng)為3 m的線段AB上任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P與線段兩端點(diǎn)A、B的距離都大于1 m的概率是()A.eq f(1,4) B.eq f(1,3)C.eq f(1,2) D.eq f(2,3)解析：由題意可設(shè)線段AB的三等分點(diǎn)為C、D，如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于C、D之間

32、時(shí)滿足條件，即點(diǎn)P與線段兩端點(diǎn)A、B的距離都大于1 m，故所求概率為eq f(1,3).答案：B3袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹谷舫槿〉拇螖?shù)為，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是()A4B5C6 D5解析：“放回五個(gè)紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故6.答案：C4若離散型隨機(jī)變量的分布列為()01P9c2c38c則常數(shù)c的值為()A.eq f(2,3)或eq f(1,3) B.eq f(2,3)C.eq f(1,3) D1解析：由題意知(9c2c)(38c)1，解得ceq f(2,3)或ceq f(1,3)，當(dāng)ceq

33、f(2,3)時(shí)，38ceq f(7,3)7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.答案：C8在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于eq f(C74C86,C1510)的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)解析：X服從超幾何分布，故P(Xk)eq f(C7kC810k,C1510)，k4.答案：C9(2011山東臨沂)連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a(m，n)與向量b(1，1)的夾角為，則(0，eq f(,2)的概率為()A.eq f(7,8) B.eq f

34、(13,16)C.eq f(3,16) D.eq f(7,12)解析：當(dāng)(0，eq f(,2)，得cos0，從而abmn0.當(dāng)m1時(shí)，n1；當(dāng)m2時(shí)，n1、2；當(dāng)m3時(shí)，n1、2、3；當(dāng)m6時(shí)，n1、2、3、4、5、6.故所求概率為eq f(123456,36)eq f(7,12).答案：D10已知k2,2，則k的值使得過A(1,1)可以作兩條直線與圓x2y2kx2yeq f(5,4)k0相切的概率等于()A.eq f(1,2) B.eq f(1,4)C.eq f(3,4) D不確定解析：圓的方程化為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)2(y1)2eq f(5k,4)eq

35、f(k2,4)1，5kk240，k1.過A(1,1)可以作兩條直線與圓eq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)2(y1)2eq f(5k,4)eq f(k2,4)1相切，A(1,1)在圓外，得eq blc(rc)(avs4alco1(1f(k,2)2(11)2eq f(5k,4)eq f(k2,4)1，k0，故k(1,0)，其區(qū)間長(zhǎng)度為1，因?yàn)閗2,2，其區(qū)間長(zhǎng)度為4，Peq f(1,4).答案：B11一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X4)的值為()A.eq f(1,

36、220) B.eq f(27,55) C.eq f(27,220) D.eq f(21,55)解析：X4表示取2個(gè)舊的，一個(gè)新的，P(X4)eq f(Coal(2,3) Coal(1,9),Coal(3,12)eq f(27,220).答案：C12一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1(不計(jì)其他得分情況)，則ab的最大值為 ()A.eq f(1,48) B.eq f(1,24) C.eq f(1,12) D.eq f(1,6)解析：由已知3a2b0c1，3a2b1，abeq f(1,6)3a2beq f

37、(1,6)eq f(3a2b)2,4)eq f(1,24)，當(dāng)且僅當(dāng)aeq f(1,6)，beq f(1,4)時(shí)取“等號(hào)”答案：B二、填空題13(2011如皋模擬)連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時(shí)，m_.解析：m可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，對(duì)應(yīng)的基本事件個(gè)數(shù)依次為1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，7對(duì)應(yīng)的事件發(fā)生的概率最大答案：714已知 (x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為_解析：首先在平面直角坐標(biāo)系中作出集合和集合A所表示的平面區(qū)域如圖，結(jié)合圖象可知所求概率應(yīng)為Peq f(SCOD,SAOB)eq f(4,18)eq f(2,9).答案：eq f(2,9)15從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的概率分布為X012P解析：當(dāng)2球全為紅球時(shí)eq f