幾何學(xué)簡(jiǎn)介講稿

1、關(guān)于幾何學(xué)簡(jiǎn)介第一張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月什么是數(shù)學(xué)（純粹數(shù)學(xué)）數(shù)學(xué)是研究數(shù)量，結(jié)構(gòu)，空間和變化的學(xué)問(wèn)（Wikipedia）相應(yīng)數(shù)學(xué)分支：算術(shù)（arithmetic）（數(shù)論），代數(shù)（algebra），幾何（geometry），分析（analysis）大一數(shù)學(xué)科目：數(shù)學(xué)分析（微積分），高等代數(shù)（線性代數(shù)），解析幾何（坐標(biāo)幾何）第二張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月什么是數(shù)學(xué)Mathematical physicsFluid dynamicsNumerical analysisOptimizationProbability theoryStatisticsFinancia

2、l mathematicsGame theoryMathematical biologyMathematical chemistryMathematical economicsControl theoryMathematical logicSet theoryTheory of computationCryptography第三張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月什么是數(shù)學(xué)柯朗數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容方法和意義第四張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月什么是幾何學(xué)（陳省身臺(tái)大演講）第五張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月什么是幾何學(xué)數(shù)學(xué)譯林1991 VOL3 NO3(大陸)數(shù)學(xué)傳播198

3、7 VOL11 NO2(臺(tái)灣)數(shù)學(xué)文化（香港）The American Mathematical Monthly The Mathematical Intelligencer Notices of AMS 第六張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月什么是幾何學(xué)Geometry(幾何學(xué))=Geo(土地)+metry(測(cè)量)經(jīng)驗(yàn)幾何: 求長(zhǎng)度,面積,體積 (結(jié)論相對(duì)零散) 如利用相似性測(cè)量高度，利用三角學(xué)測(cè)量地球半徑第七張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月陶哲軒：The cosmic distance ladder2010 Einstein Lecture博客：/主頁(yè)：/tao/第八張，

4、PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月幾何原本(公理演繹幾何，包含數(shù)論)公元前300年左右，歐幾里德（Euclid）1000多版本，影響僅次于圣經(jīng)第九張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月幾何原本內(nèi)容與意義內(nèi)容：從119個(gè)定義，5條公理，5公設(shè)條出發(fā)，得到465個(gè)定理.用公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化理論化總結(jié)意義：展示認(rèn)識(shí)真理的方法，從少數(shù)幾條明白清晰的前提出發(fā)，用邏輯工具證明結(jié)論（第一個(gè)用公理法建立起數(shù)學(xué)演繹體系）第十張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月幾何原本五條公設(shè)過(guò)相異兩點(diǎn)能且只能作一直線線段可任意延長(zhǎng)以任意一點(diǎn)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑可作一圓凡直角都相等兩直線被第三直線所截,

5、若兩內(nèi)角和小于兩直角,則兩直線作延長(zhǎng)時(shí)在此側(cè)相交第五公設(shè)與下列命題等價(jià)在一平面內(nèi),過(guò)直線外一點(diǎn)可作且只能作一直線與此直線平行三角形內(nèi)角和為兩直角存在面積足夠大的三角形存在矩形存在相似而不全等的三角形第十一張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月幾何原本著名結(jié)論畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）三角形內(nèi)角和為 (從平行公設(shè)推出)素?cái)?shù)無(wú)窮多（反證法）不可公度量（無(wú)理數(shù)、非比數(shù)）圓周率費(fèi)馬大定理： 當(dāng)n 2時(shí)，方程 xn + yn = zn無(wú)平凡整數(shù)解，1995年懷爾斯最終給出證明（辛格費(fèi)馬大定理）中國(guó)數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)主要區(qū)別：中國(guó)重實(shí)用，西方種理性第十二張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月透視圖法（

6、建筑、繪畫(huà)）張順燕數(shù)學(xué)的美與理第十三張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月畫(huà)法幾何蒙日（Monge）于18世紀(jì)創(chuàng)立（用于工程制圖）第十四張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月中心投影，平行投影張景中：數(shù)學(xué)家的眼光，數(shù)學(xué)與哲學(xué)第十五張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月射影幾何（仿射幾何，歐氏幾何）平移，旋轉(zhuǎn) 鏡面反射（全等）保持平行性和簡(jiǎn)比，但長(zhǎng)度、角度改變保持共線性和交比，但平行性改變平行投影中心投影保持長(zhǎng)度，角度位置，只是位置發(fā)生變化（中心在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）第十六張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月射影幾何射影幾何由帕斯卡（Pascal）、笛薩格（Desargue）于17世紀(jì)創(chuàng)

7、立射影（仿射、歐氏）幾何研究在中心投影（平行投影、運(yùn)動(dòng)）下保持不變的性質(zhì)第十七張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月圓錐曲線（添上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）帕斯卡定理對(duì)橢圓，雙曲線，拋物線都成立1822年，龐斯列（Poncelet）發(fā)表第一部射影幾何論著（由于解析幾何和與微積分的盛行，射影幾何的探討中斷100多年）第十八張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月坐標(biāo)幾何由笛卡爾（Descartes）于1637年建立 （幾何學(xué)作為方法論的附錄發(fā)表,提出物理數(shù)學(xué)代數(shù)方程的科學(xué)方法）（費(fèi)馬（Fermat）也做了重要貢獻(xiàn)）第十九張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月坐標(biāo)幾何（解析幾何）通過(guò)引入坐標(biāo)，使幾何與代

8、數(shù)得以相互轉(zhuǎn)換點(diǎn)有序點(diǎn)對(duì)曲線（面）方程、函數(shù)注：克萊因的古今數(shù)學(xué)思想第二卷第25頁(yè)有對(duì)解析幾何名稱(chēng)的解釋第二十張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月坐標(biāo)幾何意義（擴(kuò)大研究范圍）擴(kuò)大了可研究的圖形（不再限于直線、圓錐曲線）圖形不再局限于2維平面，可推廣到高維空間（描述質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)（位置和速度）需6維）數(shù)學(xué)進(jìn)入變量時(shí)代第二十一張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月微積分微分（求切線）積分（求面積）第二十二張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月微積分由牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leibniz）于1670年左右創(chuàng)立,建立起微分與積分的聯(lián)系第二十三張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月

9、微積分基本定理（Newton-Leibniz公式）第二十四張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月利用解析幾何和微積分，牛頓及其他天文學(xué)家對(duì)天體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了巨細(xì)無(wú)遺的計(jì)算。天體的運(yùn)動(dòng)是透過(guò)歐氏空間的整體坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)描述的，在那里空間是靜止的，而時(shí)間則獨(dú)立于空間之外。牛頓 (Newton) (1642 1727)第二十五張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月微分幾何（曲線、曲面）歐拉（Euler）：內(nèi)在坐標(biāo)蒙日（Monge）：分析在幾何學(xué)中的應(yīng)用，1807年第二十六張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月微分幾何（曲面的彎曲性）曲面既可看成立體的邊界(與外圍空間聯(lián)系)也可看成一個(gè)薄膜(本身

10、就是一個(gè)空間)彎曲可以通過(guò)曲面上的點(diǎn)之間的距離來(lái)刻畫(huà)（高斯絕妙定理）第二十七張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月黎曼幾何（內(nèi)蘊(yùn)幾何，彎曲空間）高斯（Gauss）：關(guān)于曲面的一般研究，1827年黎曼（Riemann）：關(guān)于幾何基礎(chǔ)中的假設(shè)，1854年從弧長(zhǎng)元素出發(fā)得到其他幾何量和性質(zhì)第二十八張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月黎曼幾何(流形，局部與歐氏空間同胚)球面Klein瓶卡拉比-丘流形Mobius帶環(huán)面圓柱面第二十九張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月基本多邊形環(huán)面球面實(shí)射影平面也可以看出圓盤(pán)或球面對(duì)徑點(diǎn)粘合Klein瓶第三十張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月Na

11、sh嵌入定理每個(gè)黎曼流形可以等距嵌入到歐幾里得空間 Rn（全局）電影美麗心靈1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主第三十一張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月黎曼幾何(流形，局部與歐氏空間同胚)歐氏幾何 裸體人坐標(biāo)幾何 原始人黎曼幾何 現(xiàn)代人(流形上有不同的坐標(biāo)系,在局部可用坐標(biāo)刻畫(huà)，但這個(gè)坐標(biāo)是可以任意變換的,通過(guò)控制坐標(biāo)變換，得出與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的幾何性質(zhì),利用外微分形式、張量分析找出局部坐標(biāo)變換下的不變量)第三十二張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月黎曼幾何(聯(lián)絡(luò)，規(guī)范場(chǎng)論)平行移動(dòng)（不同切空間的聯(lián)系）第三十三張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月黎曼幾何（擺脫坐標(biāo)必須有直接的度量意義

12、）愛(ài)因斯坦（Einstein）： （希爾伯特（Hilbert）同時(shí)也做了相應(yīng)工作） 廣義相對(duì)論1915年 (狹義相對(duì)論, 1905年)物理幾何化，引力對(duì)應(yīng)于曲率第三十四張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月整體微分幾何Gauss-Bonnet-Chen公式在剛性的幾何結(jié)構(gòu)與柔性的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間建立起聯(lián)系第三十五張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月拓?fù)鋵W(xué)（橡皮幾何學(xué)）歐拉示性數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)-邊數(shù)+面塊數(shù)三角形外角和Gauss-Bonnet-chen公式Atiyah-Singer指標(biāo)定理正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體第三十六張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月柏拉圖多面體這

13、些多面體和復(fù)奇點(diǎn)的現(xiàn)代理論有關(guān)，也和弦理論中非緊致卡拉比丘成桐流形有關(guān)。 第三十七張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月拓?fù)鋵W(xué)（橡皮幾何學(xué)）龐加萊（Poincare）：位置分析1895年研究拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ缁救海┑谌藦?，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月歐 拉 數(shù)環(huán)柄數(shù)分別為 1, 2, 3第三十九張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月龐加萊猜想(1904年)龐加萊猜想：在一個(gè)封閉的三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)（即無(wú)洞），那么這個(gè)空間一定是一個(gè)三維的球面。1961年，斯梅爾(Smale)證明五維和五維以上空間的龐加萊猜想的,并于1966年獲菲爾茨獎(jiǎng)（視頻：球面

14、翻轉(zhuǎn)）1983年，福里德曼（Freedman）證明了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎(jiǎng)(米爾若（Milnor），唐納森(Donaldson),瑟斯頓（Thruston）作了相關(guān)工作獲菲爾茲獎(jiǎng))2003年,佩雷爾曼(Perelman)證明三維龐加萊猜想(用了漢密爾頓(Hamilton)的Ricci流，丘成桐)（流形的命運(yùn)）第四十張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)歐氏幾何（公元前3世紀(jì)） 射影幾何，畫(huà)法幾何（17世紀(jì)） 坐標(biāo)幾何（17世紀(jì)） 微分幾何（18世紀(jì)） 黎曼幾何（19世紀(jì)） 拓?fù)鋵W(xué)（20世紀(jì)初） 非歐幾何（19世紀(jì)） 第四十一張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月

15、非歐幾何歐氏幾何第五公設(shè) （過(guò)直線外一點(diǎn)可作唯一一條平行線）高斯（Gauss） 波爾約（Bolyai） 羅巴切夫斯基（Lobachevsky） 于1830年左右建立第四十二張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月非歐幾何（雙曲、橢圓非歐幾何）羅巴切夫斯基幾何（過(guò)直線外一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條平行線）黎曼非歐幾何（球面幾何）（過(guò)直線外一點(diǎn)不能作平行線,并且區(qū)分無(wú)限和無(wú)界）(注:李忠，走向數(shù)學(xué)叢書(shū))球面龐加萊圓盤(pán)視頻：mobius變換第四十三張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月非歐幾何意義深刻影響幾何學(xué)觀念，原先認(rèn)為公理即真理，現(xiàn)在認(rèn)為數(shù)學(xué)公理只是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)約定。區(qū)分物理空間和幾何空間（光線走

16、直線，走最短距離）視頻：愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論彎曲時(shí)空第四十四張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月宇宙？廣義相對(duì)論認(rèn)為宇宙時(shí)空是一個(gè)具有特定黎曼度量的四維流形第四十五張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)歐氏幾何（公元前3世紀(jì)） 射影幾何，畫(huà)法幾何（17世紀(jì)） 坐標(biāo)幾何（17世紀(jì)） 微分幾何（18世紀(jì)） 黎曼幾何（19世紀(jì)） 拓?fù)鋵W(xué)（20世紀(jì)初） 非歐幾何（19世紀(jì)） 第四十六張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月曲率角度非歐幾何歐氏幾何：曲率為零雙曲幾何：曲率為負(fù)常數(shù)橢圓幾何：曲率為正常數(shù)（上述幾何為黎曼幾何特例）平面?zhèn)吻蛎媲蛎娴谒氖邚?，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月

17、公理角度非歐幾何希爾伯特（Hilbert）：幾何基礎(chǔ)1899年（從公理角度對(duì)歐氏幾何，非歐幾何做了嚴(yán)謹(jǐn)闡述）歐氏幾何（拋物幾何）（過(guò)直線外一點(diǎn)可作切只可作一條平行線）羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）（過(guò)直線外一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條平行線）黎曼非歐幾何（橢圓幾何）（過(guò)直線外一點(diǎn)不能作平行線）第四十八張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月公理化思想公理化思想影響整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展，如集合論，代數(shù)，概率論，物理的公理化（斯賓若莎倫理學(xué)）布爾巴基(Bourbaki)數(shù)學(xué)觀點(diǎn):代數(shù)結(jié)構(gòu)(運(yùn)算),拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(遠(yuǎn)近),序結(jié)構(gòu)(大小),測(cè)度結(jié)構(gòu)(長(zhǎng)度面積體積)第四十九張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變換群角度非歐

18、幾何克萊因（Klein）：關(guān)于近代幾何研究的比較（Erlangen綱領(lǐng)）1872年用群的觀點(diǎn)對(duì)歐氏幾何，射影幾何，非歐幾何等作了大綜合幾何就是研究幾何對(duì)象在變換群作用下的不變性質(zhì)（運(yùn)動(dòng)群，射影群,連續(xù)變換群）嘉當(dāng)(E.Cartan)于1923年以聯(lián)絡(luò)為工具對(duì)Klein思想和Riemann思想加以融合第五十張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)歐氏幾何（公元前3世紀(jì)） 射影幾何，畫(huà)法幾何（17世紀(jì)） 坐標(biāo)幾何（17世紀(jì)） 微分幾何（18世紀(jì)） 黎曼幾何（19世紀(jì)） 拓?fù)鋵W(xué)（20世紀(jì)初） 非歐幾何（19世紀(jì)） 歐氏幾何，射影幾何，非歐幾何既可從公理化角度研究（綜合法），也可從坐標(biāo)角度研究（解析法），還可從變換群角度理解。第五十一張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月其他幾何分形幾何（圖像壓縮）（Mandelbrot，1962年）辛幾何幾何分析（丘成桐）計(jì)算幾何（計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)）隨機(jī)微分幾何無(wú)限維幾何（泛函分析，量子力學(xué)）扭結(jié)理論第五十二張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月扭結(jié)理論第五十三張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月DNA結(jié)構(gòu)第五十四張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)（人類(lèi)文明若從人類(lèi)出現(xiàn)開(kāi)始 ，有300萬(wàn)年，若從語(yǔ)言文字開(kāi)始，有5000年）第五十五張，PPT共五十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022