建模了解1課件穩(wěn)態(tài)模型

1、穩(wěn)態(tài)模型穩(wěn)定性模型 對(duì)象是動(dòng)態(tài)過(guò)程，建模目的是研究時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì) 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲 資源分為可再生資源(漁業(yè)、林業(yè)等)非再生資源(礦業(yè)等) 可再生資源應(yīng)適度開(kāi)發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問(wèn)題及 分析背景一個(gè)漁場(chǎng)的魚(yú)量在天然環(huán)境下按一定的規(guī)律增長(zhǎng)。如果捕撈量恰好等于增長(zhǎng)量，則漁場(chǎng)的魚(yú)量將保持不變，這 是一種可持續(xù) 發(fā)展的捕撈。 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 捕撈強(qiáng)度為E時(shí)漁場(chǎng)魚(yú)量滿足 無(wú)捕撈時(shí)魚(yú)的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律產(chǎn)量模型模型假設(shè) 單位時(shí)間捕

2、撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比模型建立 不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r固有增長(zhǎng)率, N最大魚(yú)量h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度x(t) 漁場(chǎng)魚(yú)量記 F(x)=f(x)-h(x)產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判斷x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定, 漁場(chǎng)魚(yú)資源枯竭E捕撈強(qiáng)度r固有增長(zhǎng)率x0穩(wěn)定，x1不穩(wěn)定x1穩(wěn)定，x0不穩(wěn)定產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo) x0平衡點(diǎn)y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo) h產(chǎn)量產(chǎn)量最大f 與h交點(diǎn)Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場(chǎng)魚(yú)量為最大魚(yú)量的一半y=rxE 0R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度) Es=

3、2ER臨界強(qiáng)度下的漁場(chǎng)魚(yú)量捕撈過(guò)度ER令=0E*Es種群的相互競(jìng)爭(zhēng) 一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來(lái)源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見(jiàn)的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過(guò)程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。種群競(jìng)爭(zhēng)模型假設(shè) 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律; 兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比; 甲對(duì)乙有同樣的作用。對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1) 的 1 倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力

4、強(qiáng)模型建立種群競(jìng)爭(zhēng)模型分析t時(shí)x1(t),x2(t)的變化趨勢(shì)(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10, x20) 代數(shù)方程 的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ， 稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。模型建立判斷P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法直接法近似線性方程平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定p 0 且 q 0平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定p 0 或 q 0僅當(dāng)1, 2 1時(shí)，P3才有意義模型分析種群競(jìng)爭(zhēng)平衡點(diǎn)： P1(N1,0), P2(0,N2)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0種群競(jìng)爭(zhēng)種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性不穩(wěn)定21,11, P1, P

5、2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn)11, 21P1穩(wěn)定的條件 11 ?1121, 11P1, P2都不(局部)穩(wěn)定0(3) 11, 21, 21, 21加上與(4)相區(qū)別的 11 P2 穩(wěn)定 P3 穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定種群競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果解釋對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1 倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙小于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱 P1穩(wěn)定的條件：1121 甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 P2穩(wěn)定的條件：11, 21 P3穩(wěn)定的條件：11, 21通常1 1/2，P3穩(wěn)定條件不滿足種群競(jìng)爭(zhēng) 種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不

6、能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存 時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。種群依存模型假設(shè)甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。模型建立乙為甲提供食物是甲消耗的1 倍甲為乙提供食物是乙消耗的2 倍種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0 11, 121 P2

7、穩(wěn)定121 前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋21 甲必須為乙提供足夠的食物甲為乙提供的食物是乙消耗的 2 倍11, 121條件下使121 成立 P2穩(wěn)定條件：11, 12 0P: 臨界狀態(tài) q 0P 不穩(wěn)定 tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x

8、y 平面上的相軌線計(jì)算結(jié)果(數(shù)值，圖形)x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測(cè)x(t), y(t)的周期約為9.6xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25, y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra) 消去dt用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性c 由初始條件確定取指數(shù)x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時(shí)無(wú)相軌線以下設(shè)y2y1xQ3Q4x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)

9、Q3(x,y1), Q4(x,y2)相軌線退化為P點(diǎn) 存在x1x0 x2, 使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P中心相軌線是封閉曲線x(t), y(t)是周期函數(shù)(周期記 T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的“相位”領(lǐng)先 y(t)模型解釋初值相軌線的方向模型解釋r 食餌增長(zhǎng)率d 捕食者死亡率b 食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者 數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba 捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比, 與a成反比食餌數(shù)量與d成正比, 與b成反比模型解釋rr-1, dd+1捕撈戰(zhàn)時(shí)捕撈rr-2, dd+2 , 2 1xy食餌(魚(yú))減少，捕食者(鯊魚(yú))增加自然環(huán)境 還表明：對(duì)害蟲(chóng)(食餌)益蟲(chóng)(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲(chóng)的殺蟲(chóng)劑, 會(huì)使害蟲(chóng)增加，益蟲(chóng)減少。一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚(yú)的比例卻在增加，為什么？食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn)Volterra模型改寫(xiě)多數(shù)食餌捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個(gè)平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn)加Logistic項(xiàng)有穩(wěn)定平衡點(diǎn) 相軌線是封閉曲