高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 1. 空間向量基本定理（精講）(含答案)

1、1.2 空間向量基本定理(精講)思維導(dǎo)圖常見考法考點一 基底的判斷【例1】(2021河南)設(shè),，且是空間的一個基底，給出下列向量組：，其中可以作為空間一個基底的向量組有( )A1個B2個C3個D4個【答案】C【解析】如圖所示，令，則，.由于A，B1，C，D1四點不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故選：C.【一隅三反】1(2021上海)設(shè)向量是空間一個基底，則一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個基底的向量是( )ABCD或【答案】C【解析】由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合，得與是共面向量，同理與是共面向量，所以與不能與構(gòu)成空間的一個基底；又與和不共面，所以與構(gòu)成空間的一個基底故選：C

2、2(2021全國高二課時練習)以下四個命題中正確的是( )A基底中可以有零向量B空間任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底CABC為直角三角形的充要條件是D空間向量的基底只能有一組【答案】B【解析】因為零向量與任意兩個非零向量都共面，故A不正確；ABC為直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正確；空間基底可以有無數(shù)多組，故D不正確.故選：B3(2021陜西渭南市)若、為空間的一個基底，則下列選項中，能構(gòu)成基底的是( )A，B， C， D，【答案】C【解析】A中，不可為基底；B中，不可為基底；D中，不可為基底，故選：C考點二 用基底表示向量【例2】(1)(2021江蘇鹽城市)在三棱錐

3、中，若，則( )ABCD(2)(2021福建漳州市)已知三棱錐中，點為棱的中點，點為的重心，設(shè)，則向量( )ABCD(3)(2021湖北十堰市)如圖，在四面體OABC中，G是的重心，D是OG的中點，則( )A BC D【答案】(1)C(2)A(3)B【解析】(1)由題意是中點，又，則，若，則故選：C(2)連接并延長交于點，連接，則為的中點，且，為的中點，.故選：A.(3)如圖，記點E為BC的中點，連接AE，OE，所以，又G是的重心，則，所以.因為，所以.【一隅三反】1(2021山東淄博市高二期末)如圖所示，在正方體中，點是側(cè)面的中心，若，求( )A1BC2D【答案】C【解析】，故，則故選：C.

4、2(2021安徽池州市)已知空間任意一點和不共線的三點A，B，C，若，則“A，B，C，D四點共面”是“，”的( )A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，空間中四點A，B，C，D，若若A，B，C，D四點共面，根據(jù)空間向量的共面定量，只需，又由，可得，所以“，”時，A，B，C，D四點共面，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A，B，C，D四點共面”是“，”的必要不充分條件.故選：A.3(2020山東濟寧市)在空間四邊形中，且，則( )ABCD【答案】C【解析】.故選：C.4(2021廣東廣州市高二期末)(多選)在空間四邊形中，分別

5、是的中點，為線段上一點，且，設(shè)，則下列等式成立的是( )ABCD【答案】ABD【解析】分別是的中點，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.考點三 空間向量在幾何中運用【例3-1】(2021常德市)三棱柱中，分別是，上的點，且，.若，則的長為_.【答案】【解析】如圖設(shè)，所以，因為,所以，故答案為：【例3-2】(2021浙江高二單元測試)如圖，在空間四邊形中，則與所成角的余弦值為( )ABCD【答案】A【解析】設(shè)異面直線與的夾角為則故選A【例3-3】(2021全國高二課時練習)如圖，已知正方體，和相交于點O，連接AO，求證【答案】證明見解析.【解析】因為正方體，所以，平面，又

6、因為平面，所以，又因為，所以平面，又因為平面，所以.【一隅三反】1(2021陜西)如圖，在平行六面體中，求與所成角的余弦值【答案】0【解析】取基底，,所以.設(shè)與的夾角為，則，所以與所成角的余弦值為0.2(2021山西)已知四面體OABC，求證：【答案】證明見解析.【解析】因為,所以,因為，所以，所以，即.3(2021廣西)如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點.(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】設(shè)，根據(jù)題意得，且，.，即.(2)，.異面直線與所成角的余弦值為.4.(2021云南)如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若， (1)用表示；(2)求對角線的長；(3)求【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)連接，如