網(wǎng)上找的一些邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、1.1 邏 輯 函 數(shù) 1.1.1 邏輯變量與邏輯函數(shù) 一件事物的因果關(guān)系一定具有某種內(nèi)在的邏輯規(guī)律，即存在著邏輯關(guān)系。 事物的原因即為這種邏輯關(guān)系的自變量，稱為邏輯變量。 而由原因所引起的結(jié)果則是這種邏輯關(guān)系的因變量， 稱為邏輯函數(shù)。 19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家喬治布爾首先提出了用代數(shù)的方法來研究、證明、推理邏輯問題，自此產(chǎn)生了邏輯代數(shù)。和普通代數(shù)一樣，邏輯代數(shù)也用A、B等字母表示變量及函數(shù)，所不同的是， 在普通代數(shù)中，變量的取值可以是任意實數(shù)，而在邏輯代數(shù)中， 每一個變量只有0、1兩種取值，因而邏輯函數(shù)也只能有0和1兩種取值。 在邏輯代數(shù)中，0和1不再具有數(shù)量的概念，僅是代表兩種對立邏輯狀態(tài)的符號

2、。 任何事物的因果關(guān)系均可用邏輯代數(shù)中的邏輯關(guān)系表示， 這些邏輯關(guān)系也稱邏輯運算。 1.1.2 基本邏輯關(guān)系 1. 與邏輯 與邏輯的邏輯關(guān)系為所有原因均滿足條件時結(jié)果成立。在邏輯代數(shù)中，與邏輯又稱邏輯乘。如圖1-1所示用2個串聯(lián)開關(guān)控制一盞燈電路，很顯然， 若要燈亮，則2個開關(guān)必須全都閉合。 如有一個開關(guān)斷開，燈就不亮。如用A和B分別代表2個開關(guān)， 并假定閉合時記為1，斷開時記為0，F(xiàn)代表燈，亮為1，滅為0， 則這一邏輯關(guān)系可用表1-1表示。此表是將A、 B兩個變量的所有變化組合的值及對應(yīng)的F值依次列出，稱為真值表。由表1-5可見， 與邏輯可表述為：輸入全1，輸出為1；輸入有0，輸出為0。與邏

3、輯的函數(shù)表達(dá)式為 F=AB (1-1) 其中， “”為邏輯乘符號， 也可省略。 圖1-1 與電路圖 表1-1 與 真 值 表 邏輯乘的運算規(guī)則是 00=0 01=0 10=0 11=1 2. 或邏輯 或邏輯的邏輯關(guān)系為當(dāng)所有原因中的一個原因滿足條件時結(jié)果就成立。在邏輯代數(shù)中，或邏輯又稱邏輯加。圖1-2所示的是用2個并聯(lián)開關(guān)控制一盞燈電路，為或邏輯電路。可看出， 2個開關(guān)中只要有一個閉合，燈就亮；如果想要燈滅，則2個開關(guān)必須全斷開。或邏輯關(guān)系的真值表見表1-2， 由表可得，或邏輯為：輸入有1， 輸出為1；輸入全0，輸出為0。或邏輯的函數(shù)表達(dá)式為 F=A+B (1-2) 其中， “+”為邏輯加符號

4、。 圖1-2 或電路圖 表1-2 與真值表 邏輯加的運算規(guī)則是 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 3. 非邏輯 非邏輯的邏輯關(guān)系是結(jié)果總是與原因相反， 即只要某一原因滿足條件，則結(jié)果就不成立。例如圖1-3所示的控制燈電路， 圖中開關(guān)與燈的狀態(tài)是相反的，開關(guān)閉合，燈就滅，如果想要燈亮，則開關(guān)需斷開。非邏輯真值表見表1-3，由表可得，非邏輯為：輸入為0，輸出為1；輸入為1，輸出為0。非邏輯的代數(shù)表達(dá)式為 (1-3) 圖1-3 非電路 邏輯非的運算規(guī)則是 1.1.3 邏輯代數(shù)基本定律 根據(jù)邏輯變量和邏輯運算的基本定義， 可得出邏輯代數(shù)的基本定律。 1. 0-1律 0+A=A (1-4)

5、0A=0 (1-5)1+A=1 (1-6)1A=A (1-7) 2. 重疊律 A+A=A AA=A (1-8) (1-9) 3. 互補(bǔ)律 (1-10) (1-11) 4. 交換律 A+B=B+A (1-12)AB=BA (1-13) 5. 結(jié)合律 A+(B+C)=(A+B)+C (1-14)A(BC)=(AB)C (1-15) 6. 分配律 A(B+C)=AB+AC (1-16)A+BC=(A+B) (A+C) (1-17) 7. 否定律 (1-18) 8. 反演律(摩根定律) (1-19) (1-20) 9. 吸收律 A+AB=A (1-21)A(A+B)=A (1-22) 吸收律是經(jīng)前面基

6、本公式推導(dǎo)而得的， 除以上介紹的兩個之外，還有如下幾個也是常用的基本公式。 證明上述各定律可用列真值表的方法，即分別列出等式兩邊邏輯表達(dá)式的真值表，若兩個真值表完全一致，則表明兩個表達(dá)式相等，定律得證。當(dāng)然，也可以利用基本關(guān)系式進(jìn)行代數(shù)證明。 例1 證明反演律 。 證 利用真值表證明。 將等式兩端列出真值表，如表1-8所示，由表可知， 在邏輯變量A、B所有的可能取值中，的函數(shù)值均相等，所以等式成立。 和 例2證明 證 例3 證明 證 1.2.1 邏輯函數(shù)的化簡 1. 邏輯函數(shù)的變換 由前面討論可知，一個邏輯函數(shù)確定以后， 其表示邏輯關(guān)系的真值表是惟一的，但我們可以利用邏輯代數(shù)的基本規(guī)則和定律對

7、其進(jìn)行變換。 例如： 與或式 或與式 與非與非式 或非或非式 與或非式 2. 邏輯函數(shù)的化簡 邏輯函數(shù)不僅可以利用邏輯代數(shù)的基本規(guī)則和定律對其進(jìn)行變換，而且還可以簡化表達(dá)式的形式，使其成為最簡式。 表達(dá)式越簡單，形成的電路也越簡單。 邏輯函數(shù)的最簡式對不同形式的表達(dá)式有不同的標(biāo)準(zhǔn)和含義。因為與或式易于從真值表直接寫出，且又比較容易轉(zhuǎn)換為其他表達(dá)形式，故在此主要介紹與或式的最簡表達(dá)式及化簡方法。 1) 最簡與或式 在與或式中， 不改變其邏輯功能的情況下， 如果滿足： （1） 含的乘積項個數(shù)最少； （2） 每個乘積項中含的變量個數(shù)最少，則這個與或式是最簡與或式。如何才能得到一個邏輯函數(shù)的最簡與或式

8、呢？這就需要對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。 2) 代數(shù)法化簡 代數(shù)法化簡就是利用學(xué)過的公式和定理消除與或式中的多余項和多余因子，常見的方法如下： （1） 并項法：利用公式A+A=1 ，將兩乘積項合并為一項， 并消去一個互補(bǔ)（相反）的變量。 如 （2） 吸收法：利用公式A+AB=A吸收多余的乘積項。 如 （3） 消去法：利用公式 消去多余因子A；利用公式消去多余項BC。 如 又如 （4） 配項法：利用公式A+A=A， 及等， 給某函數(shù)配上適當(dāng)?shù)捻棧?進(jìn)而可以消去原函數(shù)式中的某些項。 例4 化簡函數(shù) 。 分析 表面看來似乎無從下手，好像F不能化簡，已是最簡式。但如果采用配項法，則可以消去一項。 解1 解2

9、若前2項配項，后2項不動，則 由本例可見，公式法化簡的結(jié)果并不是惟一的。如果兩個結(jié)果形式（項數(shù)、 每項中變量數(shù)）相同，則二者均正確，可以驗證二者邏輯相等。 本 章 小 結(jié) 二進(jìn)制是數(shù)字電路中最常用的計數(shù)體制，和還可用來表示電平的高與低、開關(guān)的閉合與斷開、 事件的是與非等。 二進(jìn)制還可進(jìn)行許多形式的編碼。 基本的邏輯關(guān)系有與、或、非3種，與其對應(yīng)的邏輯運算是邏輯乘、 邏輯加和邏輯非。任何復(fù)雜的邏輯關(guān)系都由基本的邏輯關(guān)系組合而成的。 邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計邏輯電路的工具，邏輯代數(shù)中的基本定律及基本公式是邏輯代數(shù)運算的基礎(chǔ)，熟練掌握這些定律及公式可提高運算速度。 邏輯函數(shù)可用真值表、邏輯函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖表示，它們之間可以隨意互