(整理)量子力學

1、量子力學復習要求2008. 4. 24一. 基本概念:波粒二象性，德布羅意關系波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，波函數(shù)的標準條件，波函數(shù)的歸一化幾率與幾率流密度與波函數(shù)的關系幾率與幾率密度的區(qū)別;算符, 坐標算符, 動量算符 , 角動量算符及哈密頓算符的 構成.本征值方程, 本征值, 本征函數(shù)氫原子波函數(shù)的構成, 簡并的概念, 4個量子數(shù)態(tài)疊加原理, 波函數(shù)按照本征函數(shù)展開, 展開系數(shù)的意義算符的對易關系與測不準關系表象的概念定態(tài)微擾論: 求能量的一級修正,二級修正,波函數(shù)一級修 正的基本思路含時微擾論: 計算躍遷幾率的基本思路自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利矩陣在某個自旋態(tài)求平均值, 自旋算符的本征值和本

2、征函數(shù)全同性原理的含義與表述玻色子與費米子的定義與區(qū)別,泡利不相容原理的表述 二.計算題與證明題一維薛定諤方程的求解;簡單的本征值方程求解;幾率與幾率密度的計算;力學量在某個態(tài)平均值的計算;有關厄密算符性質的證明 (本征值為實數(shù), 本征函數(shù)正交 等)證明或檢驗算符的對易關系及測不準關系;簡單的定態(tài)微擾論求能量的一級和二級修正;自旋算符的本征值問題.量子力學概念題, 證明題和計算題的具體要求微觀粒子的波粒二象性 ,徳布羅意關系的物理意義 (1.2,1.3);一維無限深勢阱的波函數(shù)的表達式, 習題 2.3 的結果可以 直接用:2.3 一粒子在一維勢場8, x 0,U (x)= 0,0 x a8,

3、xa中運動, 求粒子的能級和對應的波函數(shù).n 2兀2亠2結果：粒子的能級為E廠而惡，2 . n 兀歸一化的波函數(shù)為屮“飛a six.3.利用波函數(shù)的標準條件定解(2.3, 2.7);4.5.6.7.8.9.有關本征值 ,本征函數(shù),本征值方程的概念與證明 （見教材 有關內(nèi)容）;波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 , 幾率密度,幾率,幾率流與波函數(shù)的聯(lián) 系（3.3, 3.4 題）;波函數(shù)按照本征函數(shù)展開 ,所得到展開系數(shù)的物理意義 （3.9 題）;氫原子 4 個量子數(shù)的取值范圍,各個量子數(shù)的取值與對應 的算符的本征值的關系,簡并態(tài)的概念（3.5, 3.9 題）; 氫原子電子的基態(tài)波函數(shù) , 電子幾率分布的最可幾半徑

4、 的計算（3.2 題）;力學量平均值的計算 ,對平均值公式中各個量的理解 （3.1,3.2, 3.6, 3.7）;算符的對易與測不準關系 ; 用測不準關系估計氫原子的 基態(tài)能量（3.13 題）;非簡并定態(tài)微擾論計算能量的一級修正和二級修正 （理 解計算公式中各個量的意義）.（5.2, 5.3題）對電子自旋角動量取值的理解;在自旋態(tài)中計算力學量的 平均值,計算力學量的均方偏差（7.2題）;泡利矩陣與自旋角動量算符矩陣的聯(lián)系 , 利用自旋角動 量算符的本征值方程 （矩陣形式）確定自旋函數(shù),及自旋角 動量的本征值（教材有關內(nèi)容及 7.3題）考試題型:考試由概念題(25%)和計算題與證明題(75%)兩

5、個部分組成. 需要記住 29 個公式第一章 緒論1.德布羅意關系,E = hv =2nh .p = n = , k廠(1)(2)2微觀粒子的波粒二象f性.3.電子被被伏電壓加速，則電子的德布羅意波長為h 12.25九=沁A(3)4.戴維孫和革末的電子衍射實驗(說明電子具有波動性的實驗).作業(yè): 1.1, 1.2, 1.3, 1.5第二章 波函數(shù)和薛定諤方程1.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋:波函數(shù)在空間某一點的強度2和在該處找到粒子的幾率成正比，描寫粒子的波是幾率波.態(tài)疊加原理:如果屮1和屮2是體系的可能狀態(tài),那么它們的線性疊加 =弋+ C22，也是體系的一個可能狀態(tài).薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程d

6、L(4)定態(tài)薛定諤方程H屮（r）二 E屮（r）(5)其中H =方2 V2 + U (r)2(6)為哈密頓算符,又稱為能量算符,幾率流密度和幾率守恒定律與薛定諤方程的聯(lián)系;幾率流密度J三塔G*V屮一屮V*）2(7)幾率守恒定律(8)其中w=屮*屮=屮2代表幾率密度.河（r，t）= H 屮（廠,t） n波函數(shù)的標準條件:有限性，連續(xù)性（包括屮及其一階導數(shù)）和單值性.波函數(shù)的歸一化,I屮*屮么=1（9）注意積分區(qū)域,注意不同坐標系中積分體積元和積分上下限. 7.求解一維薛定諤方程的幾個例子.一維無限深勢阱及其變種, 線性諧振子（不要求）. 注意在勢能分布具有對稱性的情況下應用對稱性簡化定解 過程.波

7、函數(shù)的標準條件是:有限性，連續(xù)性（包括屮及其一階導 數(shù)）和單值性.波函數(shù)的連續(xù)性總是對的；而波函數(shù)的一階導數(shù)的連續(xù)性在個別情況下不成立（例如一 維無限深勢阱的情況）.作業(yè): 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 第三章 量子力學中的力學量動量算符及角動量算符；構成量子力學力學量的法則；本征值方程,本征值,本征函數(shù)的概念(10)(11)FV =九屮厄密算符的定義,性質及與力學量的關系.I 屮 * F dx = I）e dx實數(shù)性: 厄密算符的本征值是實數(shù).正交性: 厄密算符的屬于不同本征值的兩個本征函數(shù) 相互正交.完全性:厄密算符F的本征函數(shù)0 n (x)和(x)組

8、成完全 系，即任一函數(shù)屮(x)可以按0 n (x)和0九(x)展開為級數(shù)： 屮(x)=c 0 (x)+Ic 0 (x)d九n n九九n(12)展開系數(shù):0* (x如(x)dxn, c = I 0*(x如(x)dx 九九(13)(14)2 是在V O態(tài)中測量力學量F得到入的幾率，n2 d幾是在屮(兀)態(tài)中測量力學量F，得到測量結果在入c九到九+ d九范圍內(nèi)的幾率.4. L和LZ算符的本征值方程，本征值和本征函數(shù). 如=l (l +1)才屮,L屮=m冇屮(0,0).本征函數(shù)Ylmlm5.氫原子的哈密頓算符，及其本征值，本征函數(shù)nlm 的數(shù)學結構,屮(r,0,R (r)Y(0, Q)nlmnl lm

9、(15)主量子數(shù),角量子數(shù)和磁量子數(shù)的取值范圍.簡并態(tài)的概念.氫原子的能級公式和能級的簡并度.卩e 4E 匚, n = 1,2,3, n2 mn/(16)給定電子波函數(shù)的表達式，根據(jù)電子在6，)點周圍的體積元內(nèi)的幾率屮(r,0,)2 r2 sin0drdd(17nlm計算電子幾率的徑向分布和角分布.計算在半徑r到r + dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率.F J 屮 * (x)麗(x)dx(18)給定態(tài)函數(shù)，計算力學量平均值，平均值的計算公式.注意(11)式對波函數(shù)所在的空間作積分.算符的對易關系及測不準關系.(i) 如果一組算符相互對易，則這些算符所表示的力學量同時 具有確定值(即對應的本征值)，

10、這些算符有組成完全系的 共同的本征函數(shù).例如氫原子的哈密頓算符 H ，角動量平方算符 L2 和角動量算符L相互對易，則它們有共同的本征函數(shù)nlm ,在態(tài)nim中，它們同時具有確定值：(ii)測不準關系:如果算符F和G不對易側一般來說它們 不能同時有確定值.設F G - G F = ik則算符F和G的均方偏差滿足：加k 2-可(19)其中(AF)2 = F- F2,(AG)2 = G_- G2利用測不準關系估計氫原子的基態(tài)能量,給定態(tài)函數(shù)v，計算兩個力學量F和G的均方偏差的乘積= ? (20)作業(yè)：3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 36, 3.7, 38, 3.9, 3.11,

11、3.12第四章 態(tài)和力學量的表象(定性要求與概念理解) 表象的概念,1 坐標表象的波函數(shù)與動量表象的波函數(shù)及其物理意義屮(x,t)2 dx 和 c(p,t)2 dp2對表象的理解:(1)狀態(tài)屮:態(tài)矢量(2) Q 表象:坐標系 (無限維希耳伯特空間);(3) 本征函數(shù) u(x)，: 坐標系的基矢量1 2 na (t)，a (t)，.a (t)，.是態(tài)矢量屮在Q表象中沿各1 2 n基矢量的分量:屮(x，t)=a (t)u (x)nnn算符的矩陣表示和薛定諤方程的矩陣表示第五章 微擾理論(I) 求解非簡并定態(tài)微擾問題1.確定微擾的哈密頓算符:H = H(o)+ H,及與H(o)對應的零級近似能量eF

12、 )和零級近似波函數(shù)屮(0 ；(1) 計算能量的一級修正:E(i)= I 屮(o)*H W(o)dTnn n(2) 計算波函數(shù)的一級修正:H，mn屮(1)= Y mn屮(0)nE (o) E (o) m，m nmH = I 屮(0 )* 方 W(o )dTmn m n(3) 計算能量的二級修正:H 2nlE(2) = S nE (0) - E (0).(21)(22)(23)(24)l n l 簡并情況下的微擾理論不作要求.含時微擾理論要求理解躍遷幾率的計算思路以及教材(5.7-12) 式中各項的物理意義.作業(yè): 5.2, 5.3第七章 自旋與全同粒子1.電子的自旋角動量S，它在空間任何方向的

13、投影只能取(25)S = 22.電子的自旋磁矩M s，它和自旋角動量S的關系為(SI)(26)M s 在空間任意方向上的投影只能取兩個數(shù)值:sM = = Ms乙2卩B(SI)(27)S =亙 01、S =扎r o iS二力r 10、x 2J0丿,y 2.i 0丿,z2.0 1丿其中M B為玻爾磁子.3. 自旋算符的矩陣形式(28)r01、r0i)r10、GGGx.10丿,yi0丿,z.01丿泡利矩陣4. 自旋算符的對易關系及測不準關系(29)5. 全同性原理 : 在全同粒子組成的體系中 ,兩個全同粒子相互代換不會引起體系物理狀態(tài)的改變.6. 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱或反對稱的 ,

14、 它們的對稱性不隨時間改變.實驗證明,微觀粒子按照其波函數(shù)的對稱性可以分為兩類:(I) 費米子: 波函數(shù)是反對稱的;(II) 玻色子: 波函數(shù)是對稱的.7. 泡利不相容原理:不能有兩個或兩個以上的費米子處于同 一狀態(tài).作業(yè): 7.1, 7.2, 7.3部分作業(yè)題及參考答案第一章1. 2,答:707 A1. 3,答:126 Ae B動能的量子化間隔AEk =備& 9 %10心焦耳，T = 4心 T = 100K”1和 2的熱運動能量分別為3E =_kT 沁 8.38 x 10-23 焦耳1 2 1焦耳,3E2=2 kT2 2.07 %10-21 焦耳，因此 E1 AEk e2_L 沁 2.43

15、x 卩ce1.5.答:九max10-12 米第二章2.1,2.3, 答: Enn2. n兀sin xa a2.4,2.5,答:x = 27,答：tg f 乂 J 2 卩 E 二第三章13.1,答：勢能平均值U冷瀘1，動能平均值T =護co ,動量的幾率分布函數(shù)3e 23.2,答:半徑平均值r = 2 ao,勢能平均值U 一 -,0工2 最可幾半徑r = ao，動能平均值，T = 占,0p a 2028a3亠5動量的幾率分布函數(shù)，舄2 =p兀 2 02 + a2 p2,03.4, 答:周電流的磁矩為dM =兀 r2 sin2 0 J rdrdQe十m.其中4=忒耐M nlm氫原子的磁矩為M =-導2卩3.5,答：(1) E =守,(m = 0, 1,2,.),屮=einm,lm E力2, (1 = 0,1,2,),屮=Y (0,Q).3.6,答:平均動量P = 0,平均動能T =僉 .22 九 3 31答:動量的幾率分布函數(shù)，|cp |2 =卡22 + p2n平均動量，p =0.答:能量的幾率分布2401 - (-1)n兀 6 n 6 L一能量平均值,E = 5力2卩a 5 9600,n = 1,3,5,.n = 2,4,6,.3.12, 答:動量平均值P = P0,3.13,