基于MATLAB算法的可靠度分析

1、結(jié)構(gòu)可靠度基于Matlab算法性能比較 研究生課程考核試卷科 目： 工程結(jié)構(gòu)可靠度 教 師： 范文亮 姓 名： 李亞勇 學 號： 20111602138 專 業(yè)： 巖土工程 類 別： 學術(shù) 上課時間： 2012 年 4 月至2012 年 6 月 考 生 成 績：卷面成績平時成績課程綜合成績閱卷評語： 閱卷教師 (簽名) 重慶大學研究生院目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc334776010 1 緒論 PAGEREF _Toc334776010 h 1 HYPERLINK l _Toc334776011 1.1概述 PAGEREF _Toc334776011 h

2、 1 HYPERLINK l _Toc334776012 1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 PAGEREF _Toc334776012 h 1 HYPERLINK l _Toc334776013 2 結(jié)構(gòu)可靠度基本理論 PAGEREF _Toc334776013 h 2 HYPERLINK l _Toc334776014 2.1 可靠性概念 PAGEREF _Toc334776014 h 2 HYPERLINK l _Toc334776015 2. 2 結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 PAGEREF _Toc334776015 h 4 HYPERLINK l _Toc334776016 3結(jié)構(gòu)可靠度分析方法 PA

3、GEREF _Toc334776016 h 5 HYPERLINK l _Toc334776017 3.1 一次二階矩法 PAGEREF _Toc334776017 h 5 HYPERLINK l _Toc334776018 3.1.1 驗算點法（JC法） PAGEREF _Toc334776018 h 5 HYPERLINK l _Toc334776019 3.2 Monte Carlo 抽樣法 PAGEREF _Toc334776019 h 6 HYPERLINK l _Toc334776020 3.2.1 直接蒙特卡羅法 PAGEREF _Toc334776020 h 6 HYPERLI

4、NK l _Toc334776021 3.2.2 重要抽樣蒙特卡洛法 PAGEREF _Toc334776021 h 7 HYPERLINK l _Toc334776022 3.3 一次漸近積分法 PAGEREF _Toc334776022 h 8 HYPERLINK l _Toc334776023 3.4 Breitung法 PAGEREF _Toc334776023 h 8 HYPERLINK l _Toc334776024 4 可靠度計算在Matlab環(huán)境下的實現(xiàn)與比較 PAGEREF _Toc334776024 h 9 HYPERLINK l _Toc334776025 5 結(jié)論 PA

5、GEREF _Toc334776025 h 15 HYPERLINK l _Toc334776026 參考文獻 PAGEREF _Toc334776026 h 16結(jié)構(gòu)可靠度基于Matlab算法性能比較摘要：本文對只有一個失效模式的構(gòu)件可靠度問題的各類算法進行比較，并對各種算法（JC法、Breitung法、一次漸進法、重要抽樣蒙特卡洛法、蒙特卡洛法）發(fā)展歷史和推導過程做出論述?；诮Y(jié)構(gòu)可靠度分析方法（一次二階矩法，二次二階矩法，蒙特卡洛法）的基本原理, 采取不同的算例利用MATLAB軟件編制了相應計算程序，并對計算結(jié)果進行了比較。本文算例對比主要分為三大類：1.線性功能函數(shù)與非線性功能函數(shù)的對

6、比；2.相同的功能函數(shù)相同的分布不同的參數(shù)；3.相同的功能函數(shù)相同的參數(shù)不同的分布。并通過對算例的比較得出每種方法的適用范圍和精確程度，為以后工程中解決可靠度問題提供了理論和實例依據(jù)。關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)可靠度；Matlab;JC法；Breitung法；一次漸進法；重要抽樣蒙特卡羅法；蒙特卡羅法；1 緒論概述 為了保證結(jié)構(gòu)、構(gòu)件等物體的適用性和耐久性要求，工程人員要對構(gòu)件物體的受力進行可靠度分析?？煽慷确治霾捎萌菰S應力法即對材料強度進行一系列折減（即當材料所能承受的最大力為F,在工程應用中我們將F除以一個大于1的系數(shù)n，采用除數(shù)作為構(gòu)件所能承受的最大的力進行受力分析。但是這種方法有自身的缺陷性，例如對

7、于一個受彎構(gòu)建來講，當力F增大2倍時，彎矩增大量卻大于2倍。因此，用容許應力法做結(jié)構(gòu)可靠度設計有自身的缺陷，現(xiàn)在工程中已經(jīng)較少采用。隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展，分項系數(shù)法逐漸在可靠度分析中采用，分項系數(shù)法不像容許應力法那樣只對應力進行一項折減，而是分別對不同的力不同的材料采取不同的分項系數(shù)進行可靠度計算，分項系數(shù)法現(xiàn)在在工程可靠度分析中廣泛采用。由于材料生產(chǎn)的不均勻性和結(jié)構(gòu)作用荷載的隨機性，導致抗力和荷載都屬于符合某種情形的分布，通過概率論知識并依托Matlab數(shù)學分析軟件我們可以計算出結(jié)構(gòu)的可靠指標和失效概率，確定結(jié)構(gòu)的安全程度。1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀可靠度理論在國外開展的比較早，我國知道2

8、0世紀70年代才開始可靠度方面的研究，雖說我國開展的較晚但也做了大量的研究并提出了一些自己的理論，目前我國從事結(jié)構(gòu)可靠度方面的研究仍然比較多?？煽慷壤碚撛诮Y(jié)構(gòu)工程方面的應用研究開始得較早，目前已廣泛應用于水利、煤炭、通信等多種行業(yè)。早在1947年，前蘇聯(lián)的爾然尼欽【1】通過大量研究就提出了用一次二階矩方法來估計結(jié)構(gòu)的失效概率。但那以后的一段時間里，這種計算失效概率的方法并沒有得到發(fā)展仍然停留在古典可靠性理論，而且只適用于隨機變量符合標準正太分布的情況。其后，美國的C.A.Comell、A.H.s【2】和wH.Tang【3】在總結(jié)了大量的工程實踐經(jīng)驗發(fā)展了工程技術(shù)中應用概率的概念和方法。其中CA

9、.Comell于1969年提出了作為衡量結(jié)構(gòu)安全度的統(tǒng)一標準與結(jié)構(gòu)失效概率相聯(lián)系的可靠度指標，并建立了結(jié)構(gòu)安全度的二階矩模式。Lind【4】在總結(jié)前人經(jīng)驗的基礎上提出了材料和構(gòu)件分項系數(shù)的概念，將可靠度指標表達為設計人員習慣使用的分項系數(shù)形式。隨后美國伊利諾斯大學A.H.S在結(jié)構(gòu)可靠度方面做出了較大的進步，提出了廣義可靠度概率法，并對各種結(jié)構(gòu)的分布情況做了分析。1976年國際“結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合委員會”(Jcss)采用RackwitZ【5】和Fiessler【6】等提出的“當量正態(tài)”法以考慮隨機變量實際分布的二階矩模式，這種方法極大的提高了二階距方法的精度。在此后一段時間可靠度理論越來越完善，在結(jié)

10、構(gòu)設計中的應用也越來越廣泛?？煽慷壤碚撚瓉淼陌l(fā)展的黃金期。 20 世紀 70 年代以來，各個國家都開始了基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論的可靠度分析體制和相應的設計規(guī)范的建立。加拿大【7】、聯(lián)邦德國【8】、北歐五國、美國等國家先后建立了自己的可靠度設計規(guī)范，我國也在90年代建立了自己的可靠度設計規(guī)范。目前我國土木工作者依托大量的工作實踐提出了自己對于可靠度的理解，為世界范圍內(nèi)可靠度理論的發(fā)展做出了自己的貢獻。 從可靠度理論開始應用于結(jié)構(gòu)工程方面，世界范圍內(nèi)的科學家依托自己對于可靠度理論的理解并結(jié)合相應的工程實踐提出了許多根據(jù)可靠度理論計算可靠指標和失效概率的方法，例如：一次二階距法（中心點法、JC法、

11、實用分析法等）、二次二階距法【9】、二次四階矩法【10】、一次漸進法、蒙特卡洛法【11】（直接蒙特卡洛法、重要抽樣蒙特卡洛法、方向抽樣蒙特卡洛法等）等等方法。每種方法都有自身的實用范圍和優(yōu)缺點，要總結(jié)相應方法的適用范圍，在不同的情況下采用不同的計算方法，獲取更加精確的結(jié)果。2 結(jié)構(gòu)可靠度基本理論2.1 可靠性概念從事工程結(jié)構(gòu)設計的基本目的，是在一定的經(jīng)濟條件下，賦予結(jié)構(gòu)以適當?shù)目煽慷?，使結(jié)構(gòu)在預定的使用期限內(nèi)，能滿足設計所預期的各種功能要求。無論是房屋、橋梁、隧洞等結(jié)構(gòu)，都必須滿足以下四項基本功能要求【12】：1.能承受在正常施工和正常使用時可能出現(xiàn)的各種作用；2.在正常使用時具有良好的工作性

12、能；3.在正常維護下具有足夠的耐久性能；4.在偶然事件發(fā)生時（如地震、火災等）及發(fā)生后，仍能保持必需的整體穩(wěn)定性。上述第1，4項為結(jié)構(gòu)的安全性要求，第2項為結(jié)構(gòu)的適用性要求，第3項是結(jié)構(gòu)的耐久性要求。結(jié)構(gòu)若同時滿足安全性，適用性和耐久性要求，則稱該結(jié)構(gòu)可靠，即結(jié)構(gòu)的可靠性是結(jié)構(gòu)安全性、適用性和耐久性的統(tǒng)稱。所謂結(jié)構(gòu)的耐久性能，是指在一定的期限內(nèi)結(jié)構(gòu)材料和主體結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生過大的老化或者變形影響適用者的舒適度和房屋失效概率增加。所謂結(jié)構(gòu)的安全性，是指結(jié)構(gòu)在遇到偶然荷載（例如50年一遇的地震、大風等），結(jié)構(gòu)不至于倒塌對人的生命財產(chǎn)造成一些損失?？煽慷鹊亩x【13】：結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下

13、，完成預定功能的能力，稱為結(jié)構(gòu)可靠性。對于特定情況而言，可具體解釋成在規(guī)定的參照時期內(nèi)，結(jié)構(gòu)將不會達到某一特定極限狀態(tài)的概率，即所謂的結(jié)構(gòu)可靠度。結(jié)構(gòu)可靠度是結(jié)構(gòu)可靠性的概率量度。上述“規(guī)定的時間”，一般指結(jié)構(gòu)設計基準期，目前世界上大多數(shù)國家普通結(jié)構(gòu)的設計基準期均為50年。由于荷載效應一般隨設計基準期增長而增大（假如一個地區(qū)遇到7級地震的概率是20年一遇，那么設計基準期選為50年結(jié)構(gòu)遇到7級地震的概率和次數(shù)就要比基準期為30年的結(jié)構(gòu)要大，對結(jié)構(gòu)造成的破壞也就更大），抵抗能力隨著基準期增長降低，而影響結(jié)構(gòu)抗力的材料性能指標則隨設計基準期的增大而減小，因此結(jié)構(gòu)可靠度與“規(guī)定的時間”有關(guān)，“規(guī)定的時

14、間”越長，結(jié)構(gòu)的可靠度越低。一般情況下，總可以將影響結(jié)構(gòu)可靠度的因素歸納為兩個綜合量，即結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件的荷載效應S和抗力R。令Z=g（R，S）=RS 由于R和S都是隨機變量，因此Z是一個隨機變量，Z可能出現(xiàn)下列三種情況：Z0,結(jié)構(gòu)可靠 Z0),在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中先求出極限狀態(tài)方程的聯(lián)合分布密度再求出極限狀態(tài)方程的Z0的區(qū)域，對聯(lián)合分布密度函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)積分求出極限狀態(tài)方程的概率。對于Z0即對聯(lián)合分布密度在Z0為聯(lián)合分布函數(shù)的積分區(qū)域 （4） 相反，如果結(jié)構(gòu)不能完成預定的功能，則稱相應的概率為結(jié)構(gòu)失效的概率，表示為Pf，即： （5） 結(jié)構(gòu)的可靠與失效為兩個互不相容事件，因此，由概率論可知，結(jié)構(gòu)

15、的可靠概率 Pr與失效概率 Pf是互補的，即： Pr+ Pf=1 （6） 根據(jù)概率論的只是我們知道對于比較復雜的分布情況直接求出功能函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)的難度較大，因此為了簡化可靠度計算的復雜程度提出了許多種近似計算方法。下面章節(jié)將對本文所涉及的可靠度計算方法做出詳細的介紹和對比。3結(jié)構(gòu)可靠度分析方法3.1 一次二階矩法 利用高等數(shù)學中的泰勒公式將功能函數(shù)做泰勒展開并只保留展開后的一次項和二次項這種方法稱為可靠度計算的一次二階距法。一次二階距法早在1947年前蘇聯(lián)學者尼捏而然就提出了這種方法，后面有許多學者對這種方法做出了改進，這種方法精確度不是很高但是計算編程比較方便，在計算機不是很發(fā)達的時代采

16、用較多，在這里只介紹本文用到的驗算點法（JC法）。3.1.1 驗算點法（JC法） 哈索弗爾（Hasofer）【14】和林德（Lind）、拉克維茨（Rackwitz）和菲斯萊（Fiessler）、帕洛赫摩（Paloheimo）和漢拉斯（Hannus【15】）等人提出了結(jié)構(gòu)可靠度計算的驗算點法。驗算點法對于非正態(tài)隨機變量需將其近似為正態(tài)分布的線性隨機變量，正態(tài)化的方法目前有三種：（1）當量正態(tài)化，這是我國建筑結(jié)構(gòu)設計統(tǒng)一標準和國際結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合會(JCSS) 推薦的方法（JC法）（2）映射變換法，即采用數(shù)學變換的方法將非正態(tài)隨機變量變換為正態(tài)隨機變量。（3）實用分析法，是近年山趙國藩【18】等提出

17、的一種新的當量正態(tài)化方法 ，該方法是對JC法的改進。驗算點法是近十來年提出并在不斷發(fā)展的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法，其基本思路與中心點法相仿，將非線性功能函數(shù)在驗算點(在失效邊界上)處作泰勒級數(shù)展開并保留至一次項，然后近似計算功能函數(shù)的平均值和標準差，再求可靠指標。其特點是可以考慮非正態(tài)的隨機變量，在計算量增加不多的情況下，可獲得比中心點法更高的精度 ，且求得滿足極限狀態(tài)方程的“驗算點”設計值，便于根據(jù)規(guī)范給出的標準值計算分項系數(shù)，以利于設計人員采用慣用的多系數(shù)設計表達式。 設x*=（x*1x*2.，x*n）為極限狀態(tài)面上一點，即滿足 Z =g( x*)=0，在x*處將極限狀態(tài)方程 Taylor 展開

18、并取至一次項得到 ZL，并計算出 ZL的均值LZ 和標準差ZL ，結(jié)構(gòu)的可靠度的表達式: （7） 可以根據(jù)上式建立迭代公式，求解可靠度。 當基本變量 X 中含有非正態(tài)隨機變量時，運用驗算點法須事先處理非正態(tài)變量，這里用當量正態(tài)化法。當量正態(tài)化條件要求在驗算點x*i 處 Xi和 Xi的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別對應相等，即： （8） （9） 驗算點法的優(yōu)點在于： （1）它適用于隨機變量為任意分布下結(jié)構(gòu)可靠指標的求解，而且通俗易懂，計算速度快，計算精度又能滿足工程的實際需要。 （2）它能給出一套固定的解題步驟，適合于編制計算程序和便于一般工程技術(shù)人員的應用。 但其局限性在于： （1）將極限狀態(tài)方程

19、在驗算點處展為泰勒級數(shù)線性化極限狀態(tài)方程，可能會帶來顯著性誤差。 （2）由于將非正態(tài)變量等價正態(tài)化，也使計算帶來誤差。 （3）當在標準正態(tài)空間中的極限狀態(tài)方程中有幾個點到原點的距離取極值時，則問題的解將與初始迭代點有關(guān)，很可能得到的解是局部最優(yōu)，而不是總體最優(yōu)解。3.2 Monte Carlo 抽樣法3.2.1 直接蒙特卡羅法Monte-Carlo 法又稱隨機抽樣技巧、概率模擬方法和統(tǒng)計試驗法15。其理論基礎是概率論中的大數(shù)定律，具有模擬的收斂速度與基本隨機向量的維數(shù)無關(guān)、極限狀態(tài)函數(shù)的復雜程度與模擬過程無關(guān)、無需將狀態(tài)函數(shù)線性化和隨機變量當量正態(tài)化、能直接解決問題、數(shù)值模擬的誤差可由模擬次數(shù)

20、和精度較容易地加以確定的特點，因此其應用范圍幾乎沒有什么限制。利用電腦進行隨機n（n比較大）次抽樣的方法，將每次所抽取得結(jié)果帶入到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)中，如果Z0，g（x）=1，否則g（x）=0， 這樣就完成了一次計算，再產(chǎn)生下一隨機數(shù)，重復上面的計算，直到完成預定的試驗次數(shù)為止。此時，失效概率為Pf=P(z0)=，式中，n是試驗的總次數(shù)，k是試驗中g(shù)(x)0的次數(shù)，比值k/n是統(tǒng)計變量，對于低的失效概率或者n較小時，估算Pf值容易發(fā)生相當大的不確定性。但是當模擬次數(shù)很大時，直至趨近于無窮大時，能夠得出精確的Pf值；但是，當實際工程的結(jié)構(gòu)破壞概率在10 -8以下時，該法的模擬數(shù)日就會相當大，進而占用大

21、量時間。若基本隨機變量相關(guān)時，利用條件概率密度，把多維問題化為一維問題來解決，其缺點就是它的計算中需耗費大量時間，獲得的信息有限，只能得到失效概率或可靠指標，無法得到靈敏性系數(shù)，驗算點信息。因而在實際工程計算中較少采用，一般多用于檢驗一些新提出的計算方法的精度，或?qū)讉€方法進行比較。3.2.2 重要抽樣蒙特卡洛法蒙特卡洛法的模擬次數(shù)一般來說很可觀，對于功能函數(shù)為隱式的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，要進行成千上萬次的有限元分析計算，效率很低。重要抽樣蒙特卡洛法其實于直接抽樣額蒙特卡洛法沒有本質(zhì)上的區(qū)別，只是重要抽樣蒙特卡洛法改變了抽樣的“重心”，即將抽樣的“重心”轉(zhuǎn)移到對結(jié)構(gòu)失效概率貢獻最大的區(qū)域。運用重要抽樣蒙特

22、卡洛法對隨機變量進行抽樣，在滿足精度的條件下工作量減少提高了運算的效率。設結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的基本變量矢量為X，其概率密度函數(shù)為，則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率： 其中，表示第i個失效模式的安全裕量方程，m為系統(tǒng)所含失效模式的總數(shù)。定義指示函數(shù)： （10） 并引入重要抽樣概率密度函數(shù)，V為重要抽樣概率空間。則可以被寫成 （11）根據(jù)蒙特卡洛法的基本原理，失效概率的近似估計： （12）式中，N為仿真次數(shù)，由重要抽樣概率密度函數(shù)抽樣產(chǎn)生。失效概率的方差： （13）由上式可見，失效概率估計值的方差主要依賴于重要抽樣分布函數(shù)，也就是說，選擇了合適的重要抽樣密度函數(shù)，便可以有效減小方差，大大提高蒙特卡洛法的效率。試驗表明：

23、當結(jié)構(gòu)精度為0.01時，重要抽樣蒙特卡洛法要比直接抽樣蒙特卡洛法抽樣次數(shù)大大降低。3.3 一次漸近積分法在一次二階矩方法和二次二階矩方法中，需要對基本隨機變量進行當量正態(tài)化轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布的函數(shù)，而且對于非正態(tài)基本隨機變量當量正態(tài)化造成一些誤差，而且這種誤差隨著基本隨機變量非線性程度的增加而提高。因此學者們就提出了一種規(guī)避將基本隨機變量當量正態(tài)化，直接計算結(jié)構(gòu)可靠指標的方法，從而提高結(jié)構(gòu)可靠指標的計算精度。對失效概率的貢獻主要是在結(jié)構(gòu)失效最大可能點附近的積分，因此只要將積分局部化，集中在該點附近的失效區(qū)域內(nèi)進行，就能夠得到失效概率積分得近似結(jié)果。失效概率的漸近積分是在失效最大可能點處，將基本變量

24、概率密度函數(shù)的對數(shù)展開成Taylor級數(shù)并取至二次項，將功能函數(shù)也作Taylor級數(shù)展開，用所得超切平面或二次超曲面來逼近實際失效面，再利用一次二階矩方法和二次二階矩方法的成果即可完成失效概率的漸進積分。在基本隨機變量空間中用漸進積分方法計算結(jié)構(gòu)的失效概率，無須變量空間的變換也不用到變量的累計分布函數(shù)，但要計算基本隨機變量概率密度函數(shù)對數(shù)的一階和二階倒數(shù)，使處理問題的繁瑣程度有所增加。（1）求解x*，根據(jù)解最優(yōu)化問題的拉格朗日乘子法，求解x*。（2）計算。（3）計算。（4）計算。一次漸進法避免將基本隨機變量當量正態(tài)化，減小了由于基本隨機變量當量正態(tài)化所帶來的誤差，使得計算精度有所提高，但是這導

25、致的結(jié)果就是計算的復雜程度有所增加，目前用此方法進行結(jié)構(gòu)可靠度計算還應用的較少。3.4 Breitung法結(jié)構(gòu)隨機可靠度分析的一次二階矩方法，概念比較簡單，編程比較方便，因此在工程中有較廣泛的應用，但是這種方法有因為只考慮到了功能函數(shù)的一階倒數(shù)，因此，取得的關(guān)于功能函數(shù)的信息較少，得到的結(jié)果普遍差別較大，特別是當功能函數(shù)非線性程度較高時產(chǎn)生的誤差更大。功能函數(shù)的二階倒數(shù)不僅考慮到了一階倒數(shù)的信息，功能函數(shù)的二階倒數(shù)還考可以運用功能函數(shù)在驗算點附近的凹向、曲率等非線性性質(zhì)，從而提高結(jié)構(gòu)可靠度分析的精度。目前在工程中應用較為廣泛。在功能函數(shù)極限狀態(tài)曲面驗算點附近計算結(jié)構(gòu)可靠度，結(jié)構(gòu)的非線性程度對于

26、結(jié)構(gòu)可靠度分析的影響很大，因此breitung法采用在驗算點處將功能函數(shù)展開成泰勒級數(shù)并取至二次項，并以此二次函數(shù)代替原來的結(jié)構(gòu)失效面；breitung法是以一次二階距為方法為基礎，先用一次二階矩的方法取得可靠指標和失效概率，之后采用二次二階矩方法對一次二階矩方法取得的結(jié)構(gòu)做出修正，取得的結(jié)果要比一次二階矩方法取得的結(jié)果更精確一些。Breitung法計算結(jié)構(gòu)可靠指標分為兩部分進行即：首先采用一次二階矩方法計算得到結(jié)構(gòu)的可靠指標如本文上述的JC法的計算過程，之后運用二次二階距方法計算結(jié)構(gòu)的二階倒數(shù)并計算功能函數(shù)的Hesse矩陣，并計算基本變量概率密度函數(shù)的導數(shù)。本文給出breitung方法的計算

27、步驟為： = 1 * GB3 計算，采用一次二階矩法； = 2 * GB3 計算各變量的偏導； = 3 * GB3 確定Hesse矩陣，采用正交規(guī)范化處理技術(shù)； = 4 * GB3 計算，及失效概率；Breitung法具有比一次二階距方法更高的精度，在掌握了一次二階距的編程方法之后，Breitung法先將一次二階距方法程序?qū)懗鰜碛嬎阋淮味A距方法的可靠指標，再對Breitung方法的二次二階倒數(shù)部分進行計算，從而獲得二次二階距方法的可靠指標。4 可靠度計算在Matlab環(huán)境下的實現(xiàn)與比較算例1.1【16】 一承載力為R的軸壓短柱，承受荷載S作用。已知R服從正態(tài)分布,；S服從對數(shù)正態(tài)分布,。 R

28、,S相互獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標。柱的功能函數(shù)為Z=R-S。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表1。表1項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例1.1可靠指標（）1.80421.78721.68061.66661.81611.79951.8043失效概率0.03580.03590.04640.04780.03640.03590.0356可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差-0.94%6.85%7.63%-0.6

29、6%0.26%0算例1.2【16】 一承載力為R的軸壓短柱，承受荷載S作用。已知R服從正態(tài)分布,；S服從對數(shù)正態(tài)分布,。 R,S相互獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標。柱的功能函數(shù)為Z=R-S。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表2。表2項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例1.2可靠指標（）3.63503.64303.63073.40573.71053.64553.6669失效概率().39001.30691.4

30、1353.30011.03431.33411.2276可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差00.12%6.31%-2.08%-0.29%-0.88%算例1.3 【16】 一承載力為R的軸壓短柱，承受荷載S作用。已知R服從正態(tài)分布,；S服從對數(shù)正態(tài)分布,。 R,S相互獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標。柱的功能函數(shù)為Z=R-S。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表3。表3項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例1.3可靠指

31、標（）1.76691.75721.65041.68391.74031.76751.7663失效概率0.03860.03880.04940.04610.04090.03860.0387可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差0.55%6.59%4,.70%1.51%-0.03%0.03%算例1.4【15】 一承載力為R的軸壓短柱，承受荷載S作用。已知R服從正態(tài)分布,；S服從對數(shù)正態(tài)分布,。 R,S相互獨立。試確定柱的受壓承載能力的可靠指標。柱的功能函數(shù)為Z=R-S。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算

32、結(jié)果如表4：表4項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例1.4可靠指標（）3.55783.55943.54393.41443.45623.57043.5519失效概率()1.87001.82641.97123.19592.73901.78201.9124可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差-0.04%0.39%4.03%2.86%-0.35%-0.35% 例題1設計為線性功能函數(shù)，設計方法采用功能函數(shù)和分布情況不發(fā)生變化，而參數(shù)發(fā)生變化。分別通過均值不變標準差減小例1.2，均值增大標準差不變例1.3，均值增大標準差減小例1.4。對四個

33、例題分別進行對比討論參數(shù)變化對于可靠指標精度的影響。從四道例題總的來看JC法計算誤差最大且結(jié)果偏大，重要抽樣蒙特卡洛法相對誤差最小同時重要抽樣法抽樣次數(shù)越多結(jié)果越精確，一次漸進法計算誤差也較大，breitung法計算誤差較小。將例1.1同例1.2對比發(fā)現(xiàn)當均值不變標準差減小時breitung法和一次漸進法趨于精確，而重要抽樣蒙特卡洛法精確度降低。例1.2與1.3對比發(fā)現(xiàn)均值不變標準差減小與均值增大標準差不變所得結(jié)論相同。將例1.1同例1.4對比發(fā)現(xiàn)當均值增大標準差減小時breitung法和一次漸進法精度較例1.1高。由此可以得出結(jié)論，當功能函數(shù)和分布情況相同時，均值較大標準差較小的情況下采用b

34、reitung法和一次漸進法可以采用，重要抽樣蒙特卡洛法可以采用抽樣次數(shù)需大于1e6。同時可以得到，重要抽樣法所得結(jié)果隨著抽樣次數(shù)增加而精確。算例 2.1 【16】 已知結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為，其中X1服從對數(shù)正態(tài)分布，X2服從極值1型分布，X3服從Weibull分布；其均值和標準差分別為;。試計算結(jié)構(gòu)的可靠指標和失效概率。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表5：表5項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例3.1可靠指標（）2

35、.91123.08452.91663.08452.96552.94512.9241失效概率0.00180.00190.00180.00100.00150.00160.0017可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差-5.92%-0.19%-5.95%-1.87%-1.16%-0.44% 從例1.1屬于線性情況下極限狀態(tài)方程，例2.1屬于非線性程度較高的極限狀態(tài)方程。從例1.1與例2.1計算結(jié)果相對比可以看出非線性程度較高的情況下breitung法計算誤差增大且計算結(jié)果偏小，一次漸進法精度提高，同樣JC法對于線性極限狀態(tài)方程和非線性極限狀態(tài)方程誤差都較大。同時相同抽樣次數(shù)情況下線性極限狀態(tài)方程采用重要抽

36、樣蒙特卡洛法精度比非線性極限狀態(tài)方程采用重要抽樣蒙特卡洛法精度要高。算例 3.1 已知非線性極限狀態(tài)方程，f、r服從正態(tài)分布，H服從對數(shù)正態(tài)分布，他們的參數(shù)分別為=0.6，;=2.18，;=32.8，。試求可靠指標及失效概率。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表6。表6項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例1可靠指標（）1.95471.96451.88701.96451.95301.95181.9515失效概率0.02

37、530.02540.02960.02470.02540.02550.0255可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差-0.50%3.46%-0.50%0.09%0.15%0.16%算例 3.2【18】 已知非線性極限狀態(tài)方程，f、r服從正態(tài)分布，H服從極值1型分布，他們的參數(shù)分別為=0.6，;=2.18，;=32.8，。試求可靠指標及失效概率。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表7。表7項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例3

38、.2可靠指標（）1.56541.63841.55831.63841.55491.57021.5668失效概率0.05870.05730.05960.05070.06000.05820.0586可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差-4.66%0.45%-4.66%0.67%-0.31%-0.09% 例3.1與例3.2采用功能函數(shù)相同參數(shù)相同但函數(shù)分布情況不同。例3.1同例3.2均屬于非線性極限狀態(tài)方程，例3.2較例3.1非線性程度高一些。從兩個例子對比可以得出例3.1breitung法計算精度較高，例3.2一次漸進法計算精度較高，例3.1JC法計算精度較高，重要抽樣蒙特卡羅法所得結(jié)果精度趨平。算例

39、4.1 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為,其中X1服從正太分布,X2服從對數(shù)正態(tài)分布。他們的參數(shù)分別為;。試求可靠指標和失效概率。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表8。表8項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例4.1可靠指標（）3.72673.75113.75023.75113.72133.72433.7236失效概率（9.70009.75248.83478.80279.90909.79139.8215可靠指標相對于直接蒙特

40、卡羅法誤差-0.65%-0.63%-0.65%0.14%0.06%0.08%算例 4.2 【17】 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為,其中X1服從正態(tài)分布,X2服從極值1型分布。他們的參數(shù)分別為;。試求可靠指標和失效概率。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表9。表9項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例4.2可靠指標（）4.17354.21074.23534.21074.23484.22474.2222失效概率（1.50001

41、.21361.14121.27291.14361.19621.2096可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差-0.89%-1.48%-0.89%-1.46%-1.22%-1.17%算例 4.3【18】 已知結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為,其中X1服從對數(shù)分布,X2服從極值1型分布。他們的參數(shù)分別為;。試求可靠指標和失效概率。利用MATLAB軟件編寫了JC法，一次漸進法，二次二階矩法（Breitung），蒙特卡洛直接抽樣法和蒙特卡洛重要法，具體程序在程序包中，計算結(jié)果如表10。表10項目直接蒙特卡洛法Breitung法一次漸進法JC法重要抽樣蒙特卡洛法N=1e4N=1e5N=1e6算例4.3可靠指標（）4.75

42、344.77694.79044.77694.80264.79514.8000失效概率（100007.99827.98788.90127.83038.12817.9333可靠指標相對于直接蒙特卡羅法誤差-0.49%-0.78%-0.49%-1.04%-0.88%-0.98%例4.1,4.2,4.3采用非線性極限狀態(tài)方程，功能函數(shù)相同參數(shù)相同但分布情況不同進行對比。從三個例題所得結(jié)論來看對于一個正態(tài)一個對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的情況比一個正態(tài)一個極值1型分布函數(shù)情況下，breitung法和一次漸進法JC法及重要抽樣蒙特卡羅法精確度要高一些。例4.1同例4.3相比較計算記過精度大致平行。例4.2同例4.3相

43、比，例4.3，所得結(jié)果精度要高一些，可以得出例4.2一個正態(tài)分布一個極值1型分布相乘的情況下所得結(jié)果計算精度較低，建議采用breitung法。從上面這些例題可以看出重要抽樣蒙特卡洛法哪種情況下計算精度都較高但運行時間也較長，直接抽樣蒙特卡洛法運行時間最長，計算效率較低但精度很高，但是不能求出驗算點的位置，這是蒙特卡洛法的缺點。5 結(jié)論1從上述例題可以看出JC法誤差較大，對于線性方程JC法計算結(jié)果通常偏大，對于非線性方程JC法所得結(jié)果通常偏小，在可靠度要求較高的工程中不適合采用，但其程序相對簡單明了易于初學者學習，可以將JC法作為快速演算別的復雜算法所得結(jié)果是否正確的的一種方法。2.蒙特卡洛法蒙

44、特卡羅(Monte-Carlo)法是結(jié)構(gòu)可度析的基本方法之一, 它具有模擬的收斂速度與基本隨機向量的維數(shù)無關(guān)、極限狀態(tài)函數(shù)的復雜程度與模擬過程無關(guān)、無需將狀態(tài)函數(shù)線性化和隨機變量當量正態(tài)化數(shù)值模擬的誤差可由模擬次數(shù)和精度較容易地加以確定的特點。但是,當實際工程的結(jié)構(gòu)破壞概率在以下時,該法的模擬數(shù)目就會相當大, 進而占用大量時間.。該法既可用來分析確定性問題,也可用來分析不確定問題.由于具有相對精確的特點, 除用于一些復雜情況的可靠度分析外, 也常用于各種近似分析方法的計算結(jié)果校核。3.重要抽樣蒙特卡洛法與直接抽樣蒙特卡洛法成千上萬的仿真次數(shù)相比較，重要抽樣的蒙特卡洛法用很少的仿真次數(shù)就可以得到

45、較為精確的結(jié)果，上述算例都有體現(xiàn)，在資源消耗上，重要抽樣法有著明顯的優(yōu)勢。4.breitung法作為二次二階距法比一次一階距（JC）法相比有明顯的優(yōu)勢，breitung方法對于線性方程和非線性程度不高的方程計算精度較高，對于非線性程度比較高的方程計算精度較低，在上述算例又算體現(xiàn)。因此可以考慮在線性方程情況下采用該方法。5.在上述算例中可以看出一次漸進法用于非線性方程比用于線性方程所得結(jié)果精度要高，因此可以再非線性方程計算中采用一次漸進方程。6.在線性方程中，當均值不變標準差減小時breitung法和一次漸進法趨于精確，而重要抽樣蒙特卡洛法精確度降低。均值不變標準差減小與均值增大標準差不變所得結(jié)

46、論相同。7.在條件允許的情況下盡量采用蒙特卡洛法這種高精度的算法，其次可以考慮重要抽樣蒙特卡羅法，再次考慮Breitung法和一次漸進算法。參考文獻1 Freudentha LA.M.， “ The safety structures” ， Transation,ASCE,V112,1947.2Evans DH. An application of numerical integration techniques to statistical tolerancing J. Technometrics,1967, 9(3):441-4563Miller AC, Rice TR. Discrete

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50、bility design unified S.11 ZhaoGuoFan, JinWeiLiang, gong xinhui. Structure reliability theory M. Beijing: Chinas construction industry press, 2000:21 64.12 ZhangJianRen, XuFuYou. Two solution reliable indicator of practical algorithm J. Mechanical engineering science, 2002, 12 (3) : 159 165.13 YangW

51、eiJun, ZhaoChuanZhi. Civil engineering structure reliability theory and design M. Beijing: peoples traffic press, 1999 14Zhou JH, Nowak AS. Integration formulas to evaluate functions of random variables J. Structural Safety,1988, 5(4): 267-28415 Rosenblueth E. Two-point estimates in probabilities J.

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53、fense industry press, 1997.15-3118 ZhangXinPei, building structure reliability analysis and design M. Science press, 2000附錄資料：MATLAB的30個方法1 內(nèi)部常數(shù)pi 圓周率 exp(1)自然對數(shù)的底數(shù)ei 或j 虛數(shù)單位Inf或 inf 無窮大 2 數(shù)學運算符a+b 加法a-b減法a*b矩陣乘法a.*b數(shù)組乘法a/b矩陣右除ab矩陣左除a./b數(shù)組右除a.b數(shù)組左除ab 矩陣乘方a.b數(shù)組乘方-a負號 共軛轉(zhuǎn)置.一般轉(zhuǎn)置3 關(guān)系運算符=等于大于=大于或等于=不等于4

54、常用內(nèi)部數(shù)學函數(shù) 指數(shù)函數(shù)exp(x)以e為底數(shù)對數(shù)函數(shù)log(x)自然對數(shù)，即以e為底數(shù)的對數(shù)log10(x)常用對數(shù)，即以10為底數(shù)的對數(shù)log2(x)以2為底數(shù)的x的對數(shù)開方函數(shù)sqrt(x)表示x的算術(shù)平方根絕對值函數(shù)abs(x)表示實數(shù)的絕對值以及復數(shù)的模三角函數(shù)（自變量的單位為弧度）sin(x)正弦函數(shù)cos(x)余弦函數(shù)tan(x)正切函數(shù)cot(x)余切函數(shù)sec(x)正割函數(shù)csc(x)余割函數(shù)反三角函數(shù) asin(x)反正弦函數(shù)acos(x)反余弦函數(shù)atan(x)反正切函數(shù)acot(x)反余切函數(shù)asec(x)反正割函數(shù)acsc(x)反余割函數(shù)雙曲函數(shù) sinh(x)雙曲

55、正弦函數(shù)cosh(x)雙曲余弦函數(shù)tanh(x)雙曲正切函數(shù)coth(x)雙曲余切函數(shù)sech(x)雙曲正割函數(shù)csch(x)雙曲余割函數(shù)反雙曲函數(shù) asinh(x)反雙曲正弦函數(shù)acosh(x)反雙曲余弦函數(shù)atanh(x)反雙曲正切函數(shù)acoth(x)反雙曲余切函數(shù)asech(x)反雙曲正割函數(shù)acsch(x)反雙曲余割函數(shù)求角度函數(shù)atan2(y,x)以坐標原點為頂點，x軸正半軸為始邊，從原點到點（x，y）的射線為終邊的角，其單位為弧度，范圍為（ ， 數(shù)論函數(shù)gcd(a,b)兩個整數(shù)的最大公約數(shù)lcm(a,b)兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)排列組合函數(shù)factorial(n)階乘函數(shù)，表示n的階乘

56、 復數(shù)函數(shù) real(z)實部函數(shù)imag(z)虛部函數(shù)abs(z)求復數(shù)z的模angle(z)求復數(shù)z的輻角，其范圍是（ ， conj(z)求復數(shù)z的共軛復數(shù)求整函數(shù)與截尾函數(shù)ceil(x)表示大于或等于實數(shù)x的最小整數(shù)floor(x)表示小于或等于實數(shù)x的最大整數(shù)round(x)最接近x的整數(shù)最大、最小函數(shù)max(a，b，c，)求最大數(shù)min(a，b，c，)求最小數(shù)符號函數(shù) sign(x)5 自定義函數(shù)-調(diào)用時：“返回值列=M文件名（參數(shù)列）”function 返回變量=函數(shù)名（輸入變量） 注釋說明語句段（此部分可有可無）函數(shù)體語句 6進行函數(shù)的復合運算compose(f,g) 返回值為f

57、(g(y)compose(f,g,z) 返回值為f(g(z)compose(f,g,x,.z) 返回值為f(g(z)compose(f,g,x,y,z) 返回值為f(g(z)7 因式分解syms 表達式中包含的變量 factor(表達式) 8 代數(shù)式展開syms 表達式中包含的變量 expand(表達式)9 合并同類項syms 表達式中包含的變量 collect(表達式，指定的變量)10 進行數(shù)學式化簡syms 表達式中包含的變量 simplify(表達式)11 進行變量替換syms 表達式和代換式中包含的所有變量 subs(表達式，要替換的變量或式子，代換式)12 進行數(shù)學式的轉(zhuǎn)換調(diào)用Maple中數(shù)學式的轉(zhuǎn)換命令，調(diào)用格式如下：maple(Maple的數(shù)學式轉(zhuǎn)換命令) 即：maple(convert(表達式，form)將表達式轉(zhuǎn)換成form的表示方式 maple(convert(表達式，form, x) 指定變量為x，將依賴于變量x的函數(shù)轉(zhuǎn)換成form的表示方式（此指令僅對form為exp與sincos的轉(zhuǎn)換式有用） 13 解方程solve(方程，變元) 注：方程的等號用普通的等號： = 14 解不等式調(diào)用maple中解不等式的命令