和差公式及倍角公式的運用

1、 和差公式及倍角公式的運用一、和差公式sin(a土B)=sinacosB土cosasinB,cos(a土B)=cosacosB卩sinasinB,tan(a土B)=tana土tanB1卩tanatanB倍角公式sin2a=2sinacosa,cos2a=cos2a-sin2a=1一2sin2a=2cos2a-1,2tanatan2a=1-tan2a三、應用類型題型一）給角求值例】、求sin1OOosin(-16Oo)+cos2OOocos(-28Oo)的值解析】原式=-(cos100sin200+cos200sinlOo)=-sin30o=-2或原式=一(sin8Oosin2Oo+cos2Oo

2、cos8Oo)=-cos6Oo=-1）例2、計算1-2sin222.5o的結果等于（D【解析】I-2sin222.5o=cos45o=-2答案：B例3、已知sinaI，則cos-2a）的值為）D【解析】cos0-2a)=-cos2a=-(1-2sima)=2sin2a-1=2x9-1=-9答案：B例4、已知a為第三象限角，cosa=-3，則tan2a二3【解析】a為第三象限角，cosa=-5,sina=一1一cos2a=45sina4于是tana=cosa3:.tan2a=2tana241一tan2a1-例5、求sin10osin30osin50osin70o的值.解析】法一：利用二倍角公式的

3、變形公式解：sin2a=2sinacosa，sin2asina=2cosa原式_sin2Oo.1.sinlOOo.sin14Oo2cos1Oo22cos50o2cos70osin2oo1sin8oosin4oo_1_2sin80o22sin40o2sin20o16法二：先將正弦變成為余弦，再逆用二倍角公式解：原式_cos8o240。cos2O0_|cos2O0cos4O0cos8O02sin2oocos2oocos4oocos8oo_sin4oocos4oocos8oox2sin2oo4sin20osin8oocos8oo_sin160o_18sin2oo16sin20o16或原式_cos8o

4、ocos4oocos2oo_cos20ocos40ocos80o22sin4oo_2sin200cos4oocos8oo1sin8oocos8oo_8sin2001sin16oo1=16sin20016提示：sin2a=2sinacosa，sin2acosa=2sina因此cos2oo=sin4002sin200法三：構造對偶式，列方程求解令兀=sinlOosin50osin70o,y=coslOocos50ocos70o.貝Uxy=sin10ocoslOosin50ocos50osin70ocos70o=sin200sin1000sin1400222=1sin2Oosin8Oosin4Oo=

5、1sin8Oosin4Oosin2Oo88=1cos1Oocos5Oocos7Oo=y88sin1osin3oosin5oosin7oo=存y豐0，:X=，從而有8例6、求下列各式的值ntan-12【解析】原式=|2sin28-）=-2（-2皿8）=-打廠TOC o 1-5 h z-n亠n1一tan21一tan2(2)原式=旦=2x昱=2x=2、月nnntan2tantan12126題后感悟】對二倍角公式的理解應注意以下幾點：對“二倍角應該有廣義的理解，如：4是是2的二倍角“是2的二倍角，32是32的二倍角等；2（2）公式逆用：主要形式有2sin2cos2-sinla，sin2cos2=sin

6、2a,2sin22sin222tan2sin2=,cos2=,cos22一sin22=cos22,=tan22.2cos22sin21-tan22變式訓練】n/、tan8_-n1一tan28同步練習、求下列各式的值(1)cos2Oocos4Oocos6Oocos8Oo;(2)(cos一sin)(cos+sin)；8888題型二）給值求值例、已知叫-x）=5xe（噲求工的值4點撥】求少-x的范圍=求cos(-x)的值=利用cos2x=sin(冬-2x)求值442TOC o 1-5 h znnnnnnn而sin(_-2x)=2sin(_-x)cos(_x)；cos(+x)=sin_-(_+x)=s

7、in(-x).2444244【解析】.xe(0扌|-x$(04),依題意，sin(4-x)=5，:cos(_-x)-sin2(_-x)二竽,又costan匸一0)sin2(+0)_x二sin(f-2x)二2sin(_-x)cos(_-x)-2乂1乂呼二毎, HYPERLINK l bookmark20 o Current Document nnnn1cOs(4+x)=sin2-(4+x)=sin(4-x)=5W6_原式二亙=竺6155題后感悟】1）從角的關系尋找突破口這類三角函數求值問題常有兩種解題途徑：一是對題設條件變形，將題設條件中的角、函數名向結論中的角、函數名靠攏；另一種是對結論變形，

8、將結論中的角、函數名向題設條件中的角、函數名靠攏，以便將題設條件代入結論當遇到n土x這樣的角時，可利用互余角的關系和誘導公式，將nnn條件與結論溝通.cos2x=sin(-2x)=2sin(_-x)cos(-x).類似這樣的變換還有：cos2x-sin(2+2x)-2sin(4+x)cos(4+x),.nnnsin2x-cos(一2x)-2cos2(_一x)一1-1一2sin2(_一x),sin2x=一cos(-+2x)=1一2cos2(4+x)=2sin2(4+x)一1等等.例2、已知叫-x）=3,xe聽,求工的值4解析】0sin2x二cos(一2x)=1一2sin2(?x)二1x()2二1

9、,2439又.xe(O.-x*(0,-),依題意，叫一x）=，:cos（_-力打-血町-x）哼而sin(冬+x)=sin冬一(冬一x)=cos(一x)=5,_2_3題型三）化簡例、化簡下列各式：2cOS20-1(cos1Oo(1+寸3tan1Oo)；cos7Oo、：1+cos4Oo點撥】切化弦，并逆用二倍角公式cos10o(1+cos1OO、:3sin1Oo)【解析】(1)原式二_cos1Oo)=cos100+、3sin1osin2Oo邁cos2Oo3cos100+sin100)2sin400sin400=2j2(sin300cos100+cos300sin100)=22sin400=?迂2(

10、cos10o+*3sin1Oo)_22(2sin400sin400提示：1、1+cos40o=2cos22Oo；分子變?yōu)閏os500.【解析】(2)原式=竺20n2sin(0)42、還可以將2變?yōu)閏os600,將#變?yōu)閟in600,因此,cos20cos204=1.ncos20sm(20)cos2(二一0)2cos(-0)4題后感悟】被化簡的式子中有切函數與弦函數時，常首先“切化弦”，然后分析角的內部關系，看是否有互余或互補的，若有，應用誘導公式轉化；若沒有，再分析角間是否存在線性關系，并利用兩角和與差的三角函數展開（或重新組合），經過這樣的處理后，一般都會化簡完畢變式訓練】化簡：(Dv3tan120-3sin120(4cos212。一2)(2)1+sina一cosa+1+sina+cosa1+sina+cosa1+sina一cosa3sin120一3【解析】原式=*3sinl2o3cosl2o2sinl2o(2cos212o-1)2sin12ocos12ocos24o1.0.【錯解】Jsinx+cosx1,兩邊平方，得(sinx+cosx)21,1+2sinxcosx1,sin2x0,2kn2x2kn+n(keZ),因此，knx1,兩邊平方，得sinxcosx0,必有sinx0且c