復(fù)變函數(shù)論講稿

1、復(fù)變函數(shù)論第一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義6.1 設(shè)f(z)以有限點a為孤立奇點，即 f(z)在點a的某去心鄰域0|z-a|R內(nèi)解析，則稱積分為f(z)在點a的留(殘)數(shù)(residue),記為：1. 留數(shù)的定義及留數(shù)定理將f(z)在點a去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，有：即2第二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 定理6.1 (柯西留數(shù)定理) f(z)在圍線或復(fù)圍線C所圍區(qū)域D內(nèi),除a1,a2,an外解析,在閉域=D+C上除a1,a2,an外連續(xù),則證 作圓周 使其全含于內(nèi)且兩兩不相交，取逆時針方向，則由復(fù)合閉路定理有注 留數(shù)定理的重要意義在于把復(fù)變函數(shù)的閉合曲線積分轉(zhuǎn)化為

2、計算被積函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)。由于一般被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域中只有少數(shù)幾個孤立奇點，求這些孤立奇點的留數(shù)相對較容易，因此留數(shù)定理是計算復(fù)變函數(shù)閉合曲線積分的非常有效的方法。3第三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 留數(shù)的求法(1) 常規(guī)方法:不過，有時洛朗級數(shù)可能不容易求出或太復(fù)雜，但如果知道奇點的類型，對求留數(shù)更有指導(dǎo)作用。(1) 常規(guī)方法:將f(z)在a點的某去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，利用洛朗系數(shù)公式和留數(shù)定義可得計算留數(shù)的公式 ，即負冪項 的系數(shù)。 (3) a為本性奇點時，將f(z)在a點的某去心鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)來求(2) a為有限可去奇點時:運用留數(shù)定理計算復(fù)變函數(shù)閉合曲線

3、積分，首先必須求出被積函數(shù)在相應(yīng)區(qū)域中的孤立奇點及其留數(shù)。 (4) a為極點時，有如下結(jié)論.4第四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月其中(z)在點a解析, (a)0，則:定理6.2 設(shè)a為f(z)的n級極點,即推論6.3 設(shè)a為f(z)的一級極點,則推論6.4 設(shè)a為f(z)的二級極點, 則定理6.5 設(shè)a為的一級極點5第五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 求在的留數(shù).解6第六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 求在的留數(shù).分析是的三級零點由定理6.2得計算較麻煩.7第七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月如果利用洛朗展開式求較方便:解8第八張，PPT共

4、五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月說明: 如 為 n 級極點，當 n 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時, 可直接展開洛朗級數(shù)求來計算留數(shù) .2. 在應(yīng)用定理6.2時, 取得比實際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便. 1. 在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則. 為了計算方便一般不要將n但有時把n取得比實際的如上例取9第九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 計算積分C為正向圓周:解為一級極點,為二級極點,10第十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月11第十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè) , 求留數(shù) 計算積分 逆時針方向。 計算積分 逆時針方向。 練習(xí) 求 在 的留數(shù), 其中a,b是實

5、常數(shù). 12第十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)定義6.2 設(shè)為f(z)的一個孤立奇點，即f(z)在去心鄰域N-：0r|z|+內(nèi)解析，則稱為f(z)在點的留數(shù),記為,其中-是順時針方向.設(shè)f(z)在0r|z|0.(*)定理6.8 設(shè) ，其中P(z)及Q(z)是互質(zhì)多項式且滿足條件(1) Q(z) 的次數(shù)比P(z)的次數(shù)高；定理的證明類似于定理6.7.32第三十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 計算積分解 在上半平面只有二級極點又33第三十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月注意 以上兩型積分中被積函數(shù)中的Q(x)在實軸上無孤立奇點.

6、34第三十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月4. 計算上連續(xù),且型積分Sr引理6.3 設(shè)f(z)在圓弧于Sr上一致成立,則有證 因 ,于是有分析類似于引理6.1.（小圓弧引理）35第三十五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 計算積分分析 因在實軸上有一級極點應(yīng)使封閉路線不經(jīng)過奇點, 所以可取圖示路線:36第三十六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月解 封閉曲線C:由柯西-古薩定理得:由37第三十七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月38第三十八張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月當 充分小時, 總有 39第三十九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月

7、即40第四十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例7證 如圖路徑，41第四十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月42第四十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月令兩端實部與虛部分別相等，得菲涅耳(fresnel)積分43第四十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5. 多值函數(shù)的積分其中s為實數(shù),Q(x)為單值函數(shù).取被積函數(shù)為輔助路徑 上的積分用大圓弧引理， 上的積分當然需要滿足如下條件： 在中，有CRR圍道如圖所示.用小圓弧引理，44第四十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié) 輻角原理及其應(yīng)用6.3.1 對數(shù)留數(shù)6.3.2 輻角原理6.3.3 儒歇定

8、理45第四十五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：形如的積分稱為f(z)的對數(shù)留數(shù)。注:函數(shù)f(z)的零點和奇點都可能是 的奇點.6.3.1 對數(shù)留數(shù)引理6.4 (1)設(shè)a為f(z)的n級零點(極點）, (2)設(shè)b為f(z)的m級極點，則b則a必為函數(shù)的一級極點,且必為函數(shù) 的一級極點,且46第四十六張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 定理6.9 設(shè)C是一條圍線，f(z)滿足條件:(1)f(z)在C的內(nèi)部是亞純的;(2)f(z)在C上解析且不為零；則有式中N(f,C)與P(f,C)分別表示f(z)在C內(nèi)部的零點與極點的個數(shù).例1 計算積分47第四十七張，PPT共五十九頁，創(chuàng)

9、作于2022年6月.不一定為簡單閉曲線, 其可按正向或負向繞原點若干圈.1. 對數(shù)留數(shù)的幾何意義6.3.2 輻角原理48第四十八張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月單值函數(shù)等于零49第四十九張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論:(k總為整數(shù))對數(shù)留數(shù)的幾何意義是 繞原點的回轉(zhuǎn)次數(shù)k50第五十張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由定理一及對數(shù)留數(shù)的幾何意義得可計算f(z)在C內(nèi)零點的個數(shù)此結(jié)果稱為輻角原理51第五十一張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月如f(z)在圍線C上及C內(nèi)部均解析,且f(z)在C上不為零,則輻角原理(2) f(z)在C內(nèi)是亞純的(3) f(z)在C上連續(xù)且不為零,則設(shè)(1) C是一條圍線52第五十二張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理6.10 (儒歇(Rouche)定理) 6.3.3 儒歇(Rouche)定理設(shè)C是一條圍線,函數(shù)f(z)及g(z)滿足條件: (1)它們在C的內(nèi)部均解析,且連續(xù)到C;(2)在C上, |f(z)|g(z)|則f(z)與 f(z)+g(z) 在C內(nèi)部有同樣多的零點,即53第五十三張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月證在C內(nèi)部解析54第五十四張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2022年6月55第五十五張，PPT共五十九頁，創(chuàng)作于2