20192020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解三角形3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例教案北師大版必修5

1、2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解三角形3解三角形的實(shí)質(zhì)應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版必修52019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解三角形3解三角形的實(shí)質(zhì)應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版必修510/102019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章解三角形3解三角形的實(shí)質(zhì)應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版必修53解三角形的實(shí)質(zhì)應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)掌握丈量距離、高度、角度等問題中正、1.經(jīng)過實(shí)質(zhì)問題應(yīng)用舉例提高數(shù)學(xué)建余弦定理的應(yīng)用(要點(diǎn))模修養(yǎng)2認(rèn)識丈量的方法和意義(難點(diǎn))2經(jīng)過解三角形的實(shí)質(zhì)應(yīng)用培育數(shù)學(xué)3提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)質(zhì)問題的能運(yùn)算修養(yǎng).力(難點(diǎn))實(shí)質(zhì)問題中的有關(guān)術(shù)語閱讀教材P58P61“練習(xí)名稱2”以上部分達(dá)成

2、以下問題定義圖示仰角在視野和水平線所成角中，視野在水平線上方與俯角的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角，如圖從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角，方向角如圖，B點(diǎn)的方向角為從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向?yàn)槭歼叄较蚪琼槙r(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60.如圖，ABC為北偏東60或東偏北30思慮：(1)方向角的范圍是什么？提示0，360)若點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東60，那么點(diǎn)A在點(diǎn)B的哪個方向？提示南偏西60.1在某丈量中，設(shè)A在B的南偏東3427，則B在A的()A北偏西3427B北偏東5533C北偏西5533D南偏西3427答案A2如下圖，已知兩座燈塔A和B與大海察看站

3、C的距離相等，燈塔A在察看站C的北偏東40，燈塔B在察看站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東5B北偏西10C南偏東5D南偏西10答案B3如下圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一丈量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，ACB45，CAB105后，就能夠計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A502mB503mC252mD2522mA由正弦定理得ABAC，sinACBsinB又B30，2ABACsinACB5022(m)sinB15024在A點(diǎn)察看一塔吊頂?shù)难鼋菫?5，又A點(diǎn)距塔吊底部距離為45米，則塔吊的高是_米45如下圖，設(shè)塔吊為BC，由題意可知ABC為等腰直角三角形，所以B

4、CAB45(米)測距離問題【例1】海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則，C間的距離是_B6海里如圖，在ABC中，C180(BA)45，BCAB由正弦定理，可得sin60sin45，3所以BC1056(海里)2求距離問題時(shí)應(yīng)注意的三點(diǎn)選定或確立所求量所在的三角形若其余量已知，則直接解；如有未知量，則把未知量放在另一確立三角形中求解確立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理(3)丈量兩個不行抵達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題第一把求不行抵達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題，而后在有關(guān)三角形中利用正弦定理

5、計(jì)算其余邊1(1)為了丈量水田雙側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離(如下圖)，某觀察者在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測得AC8m，BAC30，BCA45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_m.如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸(不行抵達(dá))，若在河岸選用相距20米的C、D兩點(diǎn)，測得60，30，45，60，那么此時(shí)，B兩點(diǎn)間的距離是BCAACDCDBBDAA多少？(1)8(31)依據(jù)正弦定理得ABACsinACBsin，ABCACsinACB所以ABsinABC8sin45sin180304528(31)(m)，624即A，B間的距離為8(31)m.(2)解由正弦定理得20sin4560ACsiin10520

6、sin75sin45sin4510(13)(米)，20sin45BCsiin45sin4520(米)在ABC中，由余弦定理得22ABACBC2ACBCcosBCA106(米)所以A，B兩點(diǎn)間的距離為106米丈量高度問題【例2】如下圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600m后抵達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.6在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得BCABBC600，所以BC3002(m)，即sin30sin45sinBACsinACB在

7、RtBCD中，CBD30，CDBCtanCBD3002tan301006(m)求解高度問題應(yīng)注意的三個問題(1)在辦理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是要點(diǎn)在實(shí)質(zhì)問題中，可能會碰到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣辦理起來既清楚又不簡單搞錯注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎲栴}2如下圖，、B是水平面上的兩個點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45，ABAD120，又在B點(diǎn)測得ABD45，此中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD解因?yàn)镃D平面ABD，CAD4

8、5，所以CDAD所以只要在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，8002ABAD，得ADABsin452由31)(m)6800(sin15sin45sin1524即山的高度為800(31)m.與角度有關(guān)的實(shí)質(zhì)問題研究問題1方向角是如何規(guī)定的？其范圍是多少？提示方向角是從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，其范圍是0,2)2方向角是如何規(guī)定的？其范圍是多少？提示正北或正南方向線與目標(biāo)線所成的銳角，往常表達(dá)為北(南)偏東(西)度，其范圍是0，90)3若P在Q的北偏東60，則Q在P的南偏西多少度？提示60.【例3】如下圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A

9、處(31)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船受命以103海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度，從B處向北偏東30方向逃跑問：緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間思路研究：聯(lián)合圖形將實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻馊切螁栴}，應(yīng)用正、余弦定理求解解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD103t海里，BD10t海里在中，由余弦定理，得2222cos(31)2222(3ABCBCABACABACBAC1)2cos1206，BC6海里又BCAC，sinBACsinABCsinBAC2sin1202ACsin

10、ABCBC62，ABC45，B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD9030120.在BCD中，由正弦定理，得BDCD，sinBCDsinCBDsinBCDBDsinCBD10tsin1201CD103t2，BCD30，緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t6，6t10小時(shí)15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大概需要15分鐘1(變結(jié)論)假定在例3中，緝私船以最快的速度截獲走私船(在D點(diǎn))，把走私船帶到海岸A處進(jìn)行辦理，求ADB的正弦值解由例3解答可知CD32，CBBD6，CBD120，所以BCDBDC30，又ACB15，則

11、ACD45，在ACD中，由余弦定理得2222ADACCD2ACCDcos454182232210，故AD10，在ABD中，由正弦定理得ADAB，sinABDsinADB即1031，解得sinADB3130.sin120sinADB202(變條件)把例3中條件“走私船正以10海里/時(shí)的速度，從B處向北偏東30方向逃竄”改為“走私船正以15海里/時(shí)的速度，從B處向正北方向逃跑”，則例3的結(jié)果應(yīng)是什么？解由例3的解答可知BC6，設(shè)緝私船沿CD方向，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船(如圖所示)，由題意知CBD是直角三角形，且CD103t，BD15t，所以sinBD15t310，BCDCD3t2故BCD60

12、，103tcos606，2所以t(小時(shí))530的方向行駛，才能最快截獲走私船，需要2所以緝私船應(yīng)沿北偏東5小時(shí)求解實(shí)質(zhì)應(yīng)用中的角度問題時(shí)，一般把求角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻馊切蔚膯栴}，基本方法是：明確各個角的含義；剖析題意，剖析已知與所求，畫出正確的表示圖；將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚倪吪c角的關(guān)系，運(yùn)用正弦定理求解1丈量距離問題：這種問題的情境一般屬于“丈量有阻礙物相隔的兩點(diǎn)間的距離”在丈量過程中，要依據(jù)實(shí)質(zhì)需要選用適合的基線長度，丈量工具要有較高的精準(zhǔn)度2丈量底部不行抵達(dá)的建筑物的高度問題因?yàn)榈撞坎恍械诌_(dá)，這種問題不可以直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算

13、出建筑物頂部到一個可抵達(dá)的點(diǎn)之間的距離，而后轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切蔚膯栴}1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)0，(1)俯角是鉛垂線與視野所成角，其范圍是2.()(2)在O點(diǎn)測得點(diǎn)A在其北偏西30，則在O點(diǎn)測得點(diǎn)A的方向角是30.()(3)方向角與方向角的實(shí)質(zhì)同樣，均是確立察看點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的地點(diǎn)關(guān)系()答案(1)(2)(3)提示(1)錯誤，俯角是視野與水平線所成的角；錯誤，在O點(diǎn)測得點(diǎn)A的方向角應(yīng)為330.正確2如下圖，為了丈量某阻礙物雙側(cè)A、B間的距離，給定以下四組數(shù)據(jù)，不可以確立A、B間距離的是()A，a，bB，aCa，b，D，bA選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確立AB選項(xiàng)C中可由余弦定理確立AB選項(xiàng)D同B近似3我艦在島A南偏西50相距12海里的B處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度為_海里/小時(shí)14由題可得右圖不如設(shè)我艦追上敵艦時(shí)在C點(diǎn)則AC20，BAC120，AB12，21