概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大版第四五章課件

1、1幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望 例：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑X進(jìn) 行測量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截 面面積S的數(shù)學(xué)期望。例：例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為： X=1例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為： X=1例數(shù)學(xué)期望的特性： 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量線性組合的情況證明：下面僅對連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：12例12：一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場出發(fā)，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求 （設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立) 本題是將X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，然后利用隨

2、機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。 解：引入隨機(jī)變量：例：2 方差 設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時，另一半約1050小時平均壽命為1000小時；另一批燈泡壽命為一半約1300小時，另一半約700小時平均壽命為1000小時； 問題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？(質(zhì)量更穩(wěn)定) 單從平均壽命這一指標(biāo)無法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度。16我們需要引進(jìn)一個量來描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值與E(X)的偏離程度偏離的度量：平均偏離：絕對值（不好研究）17但是，絕對值（大 ） 平方（大)所以我們研究方差 定義 設(shè)X是一隨

3、機(jī)變量， 為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。存在，則稱之為X的方差。記為D(X)或Var(X)，即方差實際上是一個特殊的函數(shù) g(X) =(X-E(X)2 的期望對于離散型隨機(jī)變量X，對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計算公式(常用)：例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：例3 解：例4：解：X的概率密度為：例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為即對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)方差的性質(zhì) 證明： 例6：Xkpk011-pp 例7： 解：例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞，任取一只

4、汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 對于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。 定義： 32協(xié)方差的計算證(2):注: X,Y相互獨(dú)立 協(xié)方差的性質(zhì)：思考題：34證明4)：利用35例、設(shè)(X,Y)的分布律為：0101-p010p求COV(X,Y).0101-p010p360101-p010p37易知:X01Y01E(X)=P E(Y)=P38例：設(shè)(X,Y)的概率密度為：39XY11D04041相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)線性關(guān)系42證明（1）4344相關(guān)系數(shù)的意義 相關(guān)系數(shù)是描述了X與Y線性相關(guān)程度X,Y不相

5、關(guān)(弱)X,Y相互獨(dú)立(強(qiáng))(沒有線性關(guān)系）(沒有任何關(guān)系）可能會有別的關(guān)系，如二次關(guān)系。45復(fù)習(xí)公式例：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(|X|=|Y| )=0,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否 不獨(dú)立？ 續(xù)例 2續(xù)4 矩、協(xié)方差矩陣 顯然，數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩，方差是二階中心矩，協(xié)方差是二階混合中心矩。 53n維正態(tài)變量具有以下四條重要性質(zhì)：54第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞：大數(shù)定律中心極限定理 概率統(tǒng)計是研究隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科, 而隨機(jī)變量的規(guī)律只有在對大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來.研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律,常常

6、采用極限定理的形式去刻畫,由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理.561 大數(shù)定律背景 本章的大數(shù)定律，對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證弱大數(shù)定理(辛欽大數(shù)定理)說明60 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 辛欽大數(shù)定理（弱大數(shù)定理）依概率收斂于弱大數(shù)定理可敘述為下面介紹辛欽大數(shù)定理的一個重要推論貝努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定律說明了當(dāng)重復(fù)獨(dú)立試驗次數(shù) n 很大時，頻率與其概率之差可為任意小， 即說明了其頻率的穩(wěn)定性。從而在實際推斷中，當(dāng)試驗次數(shù)較大時，可以用事件發(fā)生的頻率來近似代替概率。642 中心極限定理背景： 有許多隨機(jī)變量，它們是

7、由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的，而其中每個個別的因素作用都很小，這種隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極限分布是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù)學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它在長達(dá)兩個世紀(jì)的時期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 本節(jié)只介紹三個常用的中心極限定理 若X1，X2，Xn，為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, ，若存在正數(shù)，使當(dāng) 時， 則隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化量Zn的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足定理二.李雅普諾夫定理 說明：無論各隨機(jī)變量Xk(k=1,2,)服從什么分布，只要滿足定理的條件，那么他們的和當(dāng)n很大時，就近似服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量在概率論中占有非常重要地位的一

8、個基本原因.69二項分布和正態(tài)分布的關(guān)系例1: 一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk(k=1,2,20),它們相互獨(dú)立且都在區(qū)間0,10上服從均勻分布,噪聲電壓總和V=V1+V2+V20,求PV105的近似值. 解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由獨(dú)立同分布的中心極限定理知近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),于是71 例2 設(shè)一貨輪在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角度大于 的概率為 。若貨輪在航行中遭受了90000 次波浪沖擊，問其中有 29500 至 30500 次縱搖角度大于 的概率是多少？ 解 可將貨輪每遭受一次波浪沖擊看作是一次試驗，并認(rèn)為實驗是獨(dú)立的。在 90

9、000次波浪沖擊中，縱搖角度大于3的次數(shù)記為X 72的二項分布，其分布律為則 X 為一隨機(jī)變量，它服從所求概率為顯然，要直接計算是困難的?？梢岳玫履鹄绽苟ɡ韥砬笏慕浦怠＜从?3將 代入有74例2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取得16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的,求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率。例: 在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費(fèi)。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問： (1)保險公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于600

10、00元，賠償金至多可設(shè)為多少？解 設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%，設(shè)Y表示 保險公司一年的利潤，Y=1000012-1000X于是由中心極限定理 (1)PY0=P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000=PX60000/a0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價于78例設(shè)某工廠有400臺同類機(jī)器，各臺機(jī)器發(fā)生故障的概率都是0.02，各臺機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，試求機(jī)器出故障的臺數(shù)不小于2的概率。最后，我們指出大數(shù)定律與中心極限定理的區(qū)別： 因此，在所給條件下，中心極限定理不僅給出了概率的近似表達(dá)式，而且也能保證了其極限是1，可見中心極限定理的結(jié)論更