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1、模塊質(zhì)量檢測一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1“a3”是“直線ax2y2a0和“直線3x(a1)ya70平行”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2已知平面,的法向量分別為(2,3,5),v(3,1,4),則()A BC、相交但不垂直 D以上都不正確3已知四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形,設(shè)eq o(PA,sup6()a,eq o(PB,sup6()b,eq o(PC,sup6()c,則eq o(PD,sup6()()Aabc BabcCabc Dabc4已知圓C:(x2)2
2、(y3)29,過點M(1,1)的直線l與圓C交于A,B兩點,當弦長AB最短時,直線l的方程為()A2xy10 Bx2y80C2xy10 Dx2y305已知拋物線x22py(p0)的準線與圓C:(x2)2(y1)21相切,則拋物線的方程為()Ax24y Bx28yCx22y Dx24y或x24y6已知O為坐標原點,點F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:eq f(x2,4)eq f(y2,3)1的左、右焦點,A為橢圓C上的一點,且AF2F1F2,AF1與y軸交于點B,則|OB|的值為()A.eq f(3,4)B.eqB. f(3,2)C.eq f(5,4)D.eqD. f(5,2)7在正方體ABCDA1B1C
3、1D1中,E、F分別是AB、B1C1的中點,則異面直線A1E、FC所成角的余弦值為()A.eq f(r(10),5)B.eqB. f(r(10),10)C.eq f(r(10),2)D.eqD. f(4,5)8已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作圓x2y2a2的切線,交雙曲線右支于點M,若F1MF245,則雙曲線的漸近線方程為()Ayeq r(2)x Byeq r(3)xCyx Dy2x二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯
4、的得0分)9已知三個數(shù)1,a,9成等比數(shù)列,則圓錐曲線eq f(x2,a)eq f(y2,2)1的離心率為()A.eq r(5)B.eqB. f(r(3),3)C.eq f(r(10),2)D.eqD. r(3)10下面四個結(jié)論正確的是()A向量a,b(a0,b0),若ab,則ab0B若空間四個點P,A,B,C,eq o(PC,sup6()eq f(1,4)eq o(PA,sup6()eq f(3,4)eq o(PB,sup6(),則A,B,C三點共線C已知向量a(1,1,x),b(3,x,9),若x0,b0)的左、右焦點,過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點P,若點
5、P在以線段F1F2為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值可能是()A2 B3C4 D512如圖,已知圓錐的頂點為S,底面圓O的兩條直徑分別為AB和CD ,且ABCD,若平面SAD平面SBCl.下面結(jié)論正確的是()AAD平面SBCBlADC若E是底面圓周上的動點,則SAE的最大面積等于SAB的面積Dl與平面SCD所成的角為45三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分請把正確答案填在題中橫線上)13已知向量a(1,1,0),b(1,0,2),且kab與a2b互相垂直,則k_.14若直線axby10(a0,b0)把圓(x4)2(y1)216分成面積相等的兩部分,eq f(1,2a)eq f(2,
6、b)的最小值為_15已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1、F2,A為左頂點,過點A且斜率為eq f(r(3),3)的直線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為M,若eq o(MF1,sup6()eq o(MF2,sup6()0,則該雙曲線的離心率是_16在棱長為6的正方體ABCDABCD中,M是BC的中點,點P是正方形DCCD內(nèi)(包括邊界)的動點,且滿足APDMPC,則eq f(PD,PC)_,當三棱錐PBCD的體積取得最大值時,此時PB_.(第一空2分,第2空3分)四、解答題(本大題共6小題,共70分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演
7、算步驟)17(本小題共10分)求滿足下列條件的圓錐曲線的標準方程:(1)短軸長等于2eq r(3),離心率等于eq f(1,2)的橢圓;(2)與橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,25)1共焦點,且過點(4,5)的雙曲線18(本小題滿分12分)如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱BB1和對角線DB1的中點(1)證明:MN平面ABCD;(2)求直線MN與直線CB1所成角的大小19.(本小題滿分12分)已知點P(2,m)在拋物線C:y22px(p0)上,F(xiàn)為其焦點,且|PF|3.(1)求拋物線C的方程;(2)過點T(2,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點,O為坐標原點,
8、求eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()的值20(本小題滿分12分)如圖,已知橢圓E:eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為eq f(1,2)c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x2)2(y1)2eq f(5,2)的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程21.(本小題滿分12分)如圖,在三棱錐PABC中,平面PAC平面ABC,ACB90,PAAC2BC.(1)若PAPB,求證:平面PAB平面PBC;(2)若PA與平面ABC所成的角為60,求二面角CPBA.22(本小
9、題滿分12分)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的四個頂點圍成的菱形的面積為4eq r(3),橢圓的一個焦點為圓x2y22x0的圓心(1)求橢圓的方程(2)若M,N為橢圓上的兩個動點,直線OM,ON的斜率分別為k1,k2,當k1k2eq f(3,4)時,MON的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,請說明理由模塊質(zhì)量檢測1解析:由直線ax2y2a0和直線3x(a1)ya70平行,知a(a1)23且a(7a)32a,解得a3或a2.所以“a3”是“直線ax2y2a0和直線3x(a1)ya70平行”的充分而不必要條件答案:A2解析:eq f(2,3)eq
10、f(3,1)eq f(5,4),與v不是共線向量,又v233(1)(5)4290,與v不垂直,平面與平面相交但不垂直故選C.答案:C3解析:如圖:eq o(PD,sup10()eq o(PA,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(PA,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(PA,sup10()eq o(PC,sup10()eq o(PB,sup10()acb,故選B.答案:B4解析:根據(jù)題意,圓C的圓心C(2,3),半徑r3,當CM與AB垂直時,即M為AB的中點時,弦長AB最短,此時CM的斜率kCMeq f(31,21)2,則AB的斜率kABeq f(1,2),
11、所以直線AB的方程為y1eq f(1,2)(x1),即x2y30,故選D.答案:D5解析:(x2)2(y1)21,拋物線x22py(p0)的準線為yeq f(p,2),拋物線x22py(p0)的準線與圓C:(x2)2(y1)21相切,eq f(p,2)2,解得p4.拋物線方程為:x28y.故選B.答案:B6解析:由AF2F1F2可知:AF2為通徑的一半,|AF2|eq f(b2,a)eq f(3,2)OBAF2且O為F1F2中點,|OB|eq f(1,2)|AF2|eq f(3,4),本題正確選項是A.答案:A7解析:在正方體中,取AD的中點為M,連接ME,設(shè)正方體的邊長為1,因為在正方體中,
12、F點為B1C1的中點,M點為AD的中點,所以A1F與CM平行且相等,所以四邊形A1FCM是平行四邊形,所以A1MFC,所以異面直線A1E、FC所成角也就是A1E、A1M所成的角所以A1MA1Eeq f(r(5),2),MEeq f(r(2),2),所以cos MA1Eeq f(f(5,4)f(5,4)f(1,2),2f(5,4)eq f(4,5),故選D.(也可用空間向量法求解)答案:D8.解析:如圖,作OAF1M于點A,F(xiàn)2BF1M于點B.因為F1M與圓x2y2a2相切,F(xiàn)1MF245,所以|OA|a,|F2B|BM|2a,|F2M|2eq r(2)a,|F1B|2b.又點M在雙曲線上所以|
13、F1M|F2M|2a2b2eq r(2)a2a.整理,得beq r(2)a,所以eq f(b,a)eq r(2),所以雙曲線的漸近線方程為yeq r(2)x.故選A.答案:A9解析:由三個數(shù)1,a,9成等比數(shù)列,得a29,即a3.當a3時,圓錐曲線為eq f(x2,3)eq f(y2,2)1,曲線為橢圓,則eeq f(1,r(3)eq f(r(3),3);當a3時,曲線為eq f(y2,2)eq f(x2,3)1,曲線為雙曲線,eeq f(r(5),r(2)eq f(r(10),2),則離心率為:eq f(r(3),3)或eq f(r(10),2).故選BC.答案:BC10解析:A中,a0,b
14、0abab0,A正確;B中,eq o(PC,sup10()eq f(1,4)eq o(PA,sup10()eq f(3,4)eq o(PB,sup10()且eq f(1,4)eq f(3,4)1A,B,C三點共線,B正確;C中,ab3x9x10 x30,即eq blc(rc)(avs4alco1(f(3c,2),f(bc,2a))eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,2),f(bc,2a))0,eq f(3c2,4)eq f(b2c2,4a2)0,3a2b20,3a2c2a20,e24,e2,故選BCD.答案:BCD12解析:由AB和CD是圓O的直徑及ABCD,得四邊形ABCD為正
15、方形,則ADBC,從而AD平面SBC,則A正確;又因為AD平面SAD,且平面SAD平面SBCl,所以lAD,則B正確;因為SSAEeq f(1,2)SASEsin ASE,當ASB為鈍角時,(SSAE)maxSSAB;當ASB為銳角或直角時,(SSAE)maxSSAB,則C不正確;由lAD,得l與平面SCD所成的角等于AD與平面SCD所成的角,即為ADO,又因為ADO45,故D正確故選ABD.答案:ABD13解析:a(1,1,0),b(1,0,2),kab(k1,k,2)a2b(3,1,4)由(kab)(a2b)(k1,k,2)(3,1,4)0,得keq f(11,4).答案:eq f(11,
16、4)14解析:由題意,圓心(4,1)代入直線l:axby10,可得4ab1,eq f(1,2a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)f(2,b))(4ab)4eq f(b,2a)eq f(8a,b)448,當且僅當eq f(b,2a)eq f(8a,b)時取等號,eq f(1,2a)eq f(2,b)的最小值為8.答案:815解析:雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的漸近線方程為yeq f(b,a)x,設(shè)點Meq blc(rc)(avs4alco1(m,f(b,a)m),因為eq o(MF1,sup10()eq o(MF2,
17、sup10()0,即MF1F2為直角三角形,且F1MF2為直角,所以|OM|eq f(1,2)|F1F2|,則m2eq blc(rc)(avs4alco1(f(bm,a))2c2,解得ma,故M(a,b),又A(a,0),所以直線AM的斜率keq f(b,2a)eq f(r(3),3),所以eq f(b2,a2)eq f(4,3),故該雙曲線的離心率eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)eq f(r(21),3).答案:eq f(r(21),3)16.解析:建立如圖所示坐標系,設(shè)P點坐標為P(0,a,b),因為APDMPC,所以sin APDsin MPC,所以PD2PC,即eq f
18、(PD,PC)2.因為|PD|eq r(a2b2),|PC|eq r(6a2b2),所以eq r(a2b2)2eq r(6a2b2),所以a2b24(6a)2b2,即(a8)2b216;P點的軌跡是以(0,8,0)為圓心,以4為半徑的圓,又因為0a6,0b6,若三棱錐PBCD的體積得最大值,則三棱錐的高最大,即b最大,當a6時,b最大值為bmaxeq r(424)2eq r(3),所以|PB|eq r(PC2BC2)4eq r(3).答案:24eq r(3)17解析:(1)由題意可知,beq r(3),eq f(c,a)eq f(1,2),因為a2b2c2,可得a2,若焦點在x軸上,橢圓的方程
19、為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1,若焦點在y軸上,橢圓的標準方程為eq f(y2,4)eq f(x2,3)1,(2)橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,25)1的焦點為(0,3),可設(shè)雙曲線方程為eq f(y2,m)eq f(x2,9m)1,將點(4,5)代入可得eq f(25,m)eq f(16,9m)1整理可得,m250m2250,解得m5或m45(不合題意),所以雙曲線的標準方程為eq f(y2,5)eq f(x2,4)1.18解析:(1)證明:連接BD,因為M,N分別是棱BB1和DB1的中點,所以MNBD,因為MN平面ABCD,BD平面ABCD,所以MN平面ABCD(
20、用向量法證明酌情給分)(2)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,以D原點,eq o(DA,sup10(),eq o(DC,sup10(),eq o(DD1,sup10()的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),所以Meq blc(rc)(avs4alco1(1,1,f(1,2)),Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2),f(1,2),f(1,2)),eq o(B1C,sup10()(1,0,1),eq o(MN,sup10()eq blc(rc)(
21、avs4alco1(f(1,2),f(1,2),0),所以coseq o(MN,sup10(),eq o(B1C,sup10()eq f(o(MN,sup10()o(B1C,sup10(),|o(MN,sup10()|o(B1C,sup10()|)eq f(f(1,2),r(f(1,2)r(2)eq f(1,2),所以eq o(MN,sup10(),eq o(B1C,sup10()eq f(,3),所以直線MN與直線CB1所成的角為eq f(,3).(用幾何法求解酌情給分)19解析:(1)拋物線C:y22px(p0),焦點Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2),0).由拋物線
22、定義得:|PF|2eq f(p,2)3,解得p2,拋物線C的方程為y24x.(2)當l的斜率不存在時,此時直線方程為:x2,A(2,2eq r(2),B(2,2eq r(2),則eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()222eq r(2)2eq r(2)4.當l的斜率存在時,設(shè)yk(x2),k0,由eq blcrc (avs4alco1(ykx2,y24x),可得k2x2(4k24)x4k20,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x24,(y1y2)2(4x1)(4x2)16x1x264,由題意可得y1y28eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10(
23、)x1x2y1y2484.綜上所述eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()的值為4.20解析:(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bxcybc0,則原點O到該直線的距離deq f(bc,r(b2c2)eq f(bc,a),由deq f(1,2)c得a2b2eq r(a2c2),解得離心率eq f(c,a)eq f(r(3),2).(2)由(1)知橢圓E的方程為x24y24b2,由題意,圓心M(2,1)是線段AB的中點,且|AB|eq r(10),AB與x軸不垂直,設(shè)其AB方程為yk(x2)1,代入橢圓方程得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20,設(shè)A
24、(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2eq f(8k2k1,14k2),x1x2eq f(42k124b2,14k2),由x1x24得eq f(8k2k1,14k2)4,解得keq f(1,2),從而x1x282b2,于是|AB|eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2))2)|x1x2|eq f(r(5),2)eq r(x1x224x1x2)eq r(10b22)eq r(10),解得b23,所以橢圓E的方程為eq f(x2,12)eq f(y2,3)1.21解析:(1)證明:因為平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABCAC,BC平面ABC,BCAC,所以BC平面P
25、AC,由PA平面PAC,所以PABC,又因為PAPB,PBBCB,所以PA平面PBC,因為PA平面PAB,所以平面PAB平面PBC;(2)過P作PHAC,因為平面PAC平面ABC,所以PH平面ABC,所以PAH60,不妨設(shè)PA2,所以PHeq r(3),以C為原點,分別以CA,CB所在的直線為x,y軸,以過C點且平行于PH的直線為z軸,建立空間直角坐標系如圖所示,則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,1,0),P(1,0,eq r(3),eq o(AB,sup10()(2,1,0),eq o(AP,sup10()(1,0,eq r(3),eq o(CB,sup10()(0,1,0),eq o(CP,sup10()(1,0,eq r(3),設(shè)n(x1,y1,z1)為面PAB的一個法向量,則有neq o(AB,sup10()0,neq o(AP,sup10()0,即eq blcrc (avs4alco
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