新高考一輪復(fù)習(xí)蘇教版 第8章 命題探秘5　第1課時(shí)　定點(diǎn)、定值、定直線問題 學(xué)案

1、 7/7高考中的圓錐曲線問題第1課時(shí)定點(diǎn)、定值、定直線問題 考點(diǎn)一定點(diǎn)問題 eq 典例1(2020全國卷)已知A，B分別為橢圓E：eq f(x2,a2)y21(a1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，eq o(AG,sup8()eq o(GB,sup8()8.P為直線x6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn)四字解題讀想算思eq o(AG,sup8()eq o(GB,sup8()8橢圓eq f(x2,a2)y21(a1)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求a方程思想P為直線x6上的動點(diǎn)，證明：直線CD過定點(diǎn)直線CD方程的設(shè)法直線PB的方程；直線CD的方程；m，

2、n的關(guān)系設(shè)而不求解(1)由題設(shè)得A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)則eq o(AG,sup8()(a,1)，eq o(GB,sup8()(a，1)由eq o(AG,sup8()eq o(GB,sup8()8得a218，即a3.所以橢圓E的方程為eq f(x2,9)y21.(2)證明：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，設(shè)直線CD的方程為xmyn，由題意可知3n0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Peq (avs4alco1(1，y0)在拋物線C上，eq blc|rc|(avs4alco1(PF)eq f(5y0,4).(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l交拋物線C于點(diǎn)A，B，

3、且PAPB，證明：直線l過定點(diǎn)解(1)由拋物線的定義知，|PF|y0eq f(p,2)eq f(5y0,4)，故y02p.又Peq (avs4alco1(1，y0)在拋物線上，所以y0eq f(1,2p)，則2peq f(1,2p)，解得peq f(1,2)，y01.故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.(2)證明：設(shè)Aeq (avs4alco1(x1，xoal(2,1)，Beq (avs4alco1(x2，xoal(2,2)，直線l的方程為ykxm，則kPAeq f(xoal(2,1)1,x11)x11，kPBeq f(xoal(2,2)1,x21)x21.因?yàn)镻APB，所以eq (avs4alco

4、1(x11)eq (avs4alco1(x21)1，即x1x2x1x220，將直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，x2kxm0，則x1x2k，x1x2m，所以km20，直線l的方程為ykxk2keq (avs4alco1(x1)2，則直線l過定點(diǎn)eq (avs4alco1(1，2). 考點(diǎn)二定值問題 eq 典例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq f(x2,4)y21，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個(gè)動點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若meq blc(rc)(avs4alco1(f(x1,2)，y1)，neq blc(rc)(avs4alco1(f(x2,2)

5、，y2)，mn0.(1)求證：k1k2eq f(1,4)；(2)試探求OPQ的面積S是否為定值，并說明理由思維流程解(1)證明：k1，k2均存在，x1x20.又mn0，eq f(x1x2,4)y1y20，即eq f(x1x2,4)y1y2，k1k2eq f(y1y2,x1x2)eq f(1,4).(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2時(shí)，由eq f(y1y2,x1x2)eq f(1,4)，得eq f(xoal(2,1),4)yeq oal(2,1)0.又點(diǎn)P(x1，y1)在橢圓上，eq f(xoal(2,1),4)yeq oal(2,1)1，|x1|eq r(2)，|y1|eq f

6、(r(2),2).SPOQeq f(1,2)|x1|y1y2|1.當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為ykxb.聯(lián)立得方程組eq blcrc (avs4alco1(ykxb，,f(x2,4)y21，) 消去y并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即b20)SPOQeq f(1,2)eq f(|b|,r(1k2)|PQ|eq f(1,2)|b|eq r(x1x224x1x2)2|b|eq f(r(4k21b2),4k21)1.綜合知POQ的面積S為定值1.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值：依

7、題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)2已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦點(diǎn)為eq (avs4alco1(r(2)，0)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)Peq (avs4alco1(0，1)，直線ykx2k1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)(1)求橢圓C的方程；(2)證明：直線PA與直線PB的斜率之和為定值，并求出該定值解(1)由

8、題意得ceq r(2)，b1，則a2b2c23，所以橢圓C的方程為eq f(x2,3)y21.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx2k1，,f(x2,3)y21，) 化簡可得(3k21)x26k(2k1)x12k(k1)0，因?yàn)橹本€ykx2k1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以6k(2k1)24(3k21)12k(k1)0，化簡得k24k0，解得0kb0)過點(diǎn)M(eq r(2)，1)，且左焦點(diǎn)為F1(eq r(2)，0)(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足eq

9、blc|rc|(avs4alco1(o(AP,sup8()eq blc|rc|(avs4alco1(o(QB,sup8()eq blc|rc|(avs4alco1(o(AQ,sup8()eq blc|rc|(avs4alco1(o(PB,sup8()，證明：點(diǎn)Q總在某條定直線上解(1)由題意：eq blcrc (avs4alco1(c22，,f(2,a2)f(1,b2)1，,c2a2b2，)解得a24，b22.所求橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,2)1.(2)設(shè)點(diǎn)Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設(shè)，|eq o(PA,sup8()|、|eq o(PB,sup8()|、|eq o(AQ,sup8()|、|eq o(QB,sup8()|均不為0，且eq blc|rc|(avs4alco1(o(AP,sup8()eq blc|rc|(avs4alco1(o(QB,sup8()eq blc|rc|(avs4alco1(o(AQ,sup8()eq blc|rc|(avs4alco1(o(PB,sup8()，又P，A，Q，B四點(diǎn)共線，可設(shè)eq o(PA,sup8()eq o(AQ,sup8()，eq o(PB,sup8()eq o(BQ,sup8()(0，1)，于是x1eq f(4x,1)，y1eq f(1y,1)，x2eq