生物控制論：第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 5.1頻率特性 5.2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 5.4頻域穩(wěn)定裕度 5.5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標頻率特性法 控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時域指標直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準確的優(yōu)點。然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達式是相當(dāng)困難的，需要大量計算，只有在計算機的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。在工程實踐中

2、, 往往并不需要準確地計算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準確性等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。 頻率特性分析法（Frequency Response） ，又稱為頻域分析法是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，而可以

3、間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如： 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能, 得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進系統(tǒng)的方法。 具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。 時域指標和頻域指標之間有對應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。 頻率特性分析法的特點頻率分析法使

4、得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。近來，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。5.1頻率特性的基本概念 5.1.1頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)是時間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數(shù)。 下面用用一個簡單的實例來說明頻率響應(yīng)的概念：示例：如圖5-1

5、所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數(shù)為 RC圖5-1 RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)= 其中T=RC，為電路的時間常數(shù)，單位為s。 在零初始條件下，當(dāng)輸入信號為一正弦信號，即 ui(t)=Uisin t時Ui與分別為輸入為信號的振幅與角頻率，可以運用時域法求電路的輸出。 輸出的拉氏變換為： Uo(s)=對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：輸出由兩項組成，第一項是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰減形式，衰減速度由電路本身的時間常數(shù)T決定。第二項是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)t時，瞬態(tài)分量衰減為0，此時電路的穩(wěn)態(tài)輸出為： 輸入輸出相位差為 = -arctanT輸入

6、輸出幅值比為A= 輸入信號為ui(t)=Uisin t二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)?？梢?，輸出信號與輸入信號是同頻率的正弦函數(shù)，但幅值與相位不同，輸出滯后于輸入。實際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號為正弦信號r（t）=sint時，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為 Css（t）=Asin（t+），如圖所示。線性定常系統(tǒng)sintAsin（t+）tr（t）Css（t） 圖5-2，線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖 5.1.2頻率特性一、基本概念 對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進一步的分析，由于輸入輸出的幅值比A與相位差只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號的頻

7、率有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比A與相位差僅是的函數(shù)，可以分別表示為A（）與（）。 若輸入信號的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差將隨輸入頻率的變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號下的不同性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。 因此，頻率特性可定義為： 線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。 頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。 A（）反映幅值比隨頻

8、率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大（A1）還是衰減（A1）。 而（）反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前（0）還是滯后（0）。 系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強調(diào)頻率是一個變量。對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A（）= （）= -arctanTRC圖5-1 RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)= 二、頻率特性的表示方法 對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個正弦信號 r（t）=Rsint時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為Css（t）= A()Rsin（t+（

9、） 由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，即輸入信號為Rej0，輸出信號為A()Rej。則輸入輸出之比為 可見，輸入輸出的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。 若用一個復(fù)數(shù)G（j）來表示，則有 G（j）=G（j）ejG（j）=A（）ej 指數(shù)表示法 G（j）=A() () 幅角表示法 G（j）就是頻率特性通用的表示形式，是的函數(shù)。 當(dāng)是一個特定的值時，可以在復(fù)平面上用一個向量去表示G（j）。向量的長度為A()，向量與正實軸之間的夾角為 ()，并規(guī)定逆時針方向為正，即相角超前；規(guī)定順時針方向為負，即相角滯后。可由圖5.3

10、表示。另外還可以將向量分解為實數(shù)部分和虛數(shù)部分，即G（j）=R（）+I（） R（）稱為實頻特性，I（）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：圖5-3 頻率特性在 復(fù)平面上的表示 并且A()與R（）為的偶函數(shù)， ()與I（）是的奇函數(shù)。以上函數(shù)都是的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點，應(yīng)用廣泛。三、頻率特性的實驗求取方法 向待求元件或系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號 r（t）=Rsint 在0的范圍內(nèi)不斷改變的取值，并測量與每一個值對應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 Css（t）= A()Rsin（t+（） 測量并記錄相應(yīng)的輸入輸出幅值比與相角差。根據(jù)所得數(shù)據(jù)

11、繪制出幅值比與相角差隨的變化曲線，并據(jù)此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A()與相頻特性（）的表達式，便可求出完整的頻率特性表達式。5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性 實際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，都是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過簡單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。 輸出信號的拉氏變換為C（s）= = 對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負實根。輸入信號為r(t)=Rsint設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)= 系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為指數(shù)瞬態(tài)分量

12、，對應(yīng)特征根為單根時的響應(yīng)；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實部均為負，瞬態(tài)分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號的穩(wěn)態(tài)分量為：css(t) =Kce-jt+K-cejt 系數(shù)Kc和K-c可由留數(shù)定理確定 可以求出Css(t)= A()Rsint+ () 并有 A()= | G（s）| s=j =| G（j）| ()=G（j） 而輸入信號為r(t)=Rsint因此，A()為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達式 ()為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的相頻特性表達式系統(tǒng)的頻率特性為 G（j）= G（s）|s=j= A()

13、ej 由以上可推得一個十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將j代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s =+j。當(dāng)=0時，s = j。所以G（j）就是=0時的G（s）。即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用j代替時，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。可以用圖5-4表示為線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s） G（j）= G（s）|s=j = A()ejRsintA()Rsint+ ()圖5-4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取頻率特性示意圖A()是幅頻特性， 是相頻特性因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性

14、的物理意義簡化求解過程。例5.1已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)輸入信號為r（t）=sin2t時，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的頻率特性為 幅頻特性為 相頻特性為 利用頻率特性的概念，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為 將=2代入得： 輸出表達式說明該系統(tǒng)對此輸入信號在幅值上衰減，同時響應(yīng)在時間上有滯后。5.1.4小結(jié)一、頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性 。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)

15、結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3. 頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。二、頻率特性的數(shù)學(xué)意義頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型,與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖5-5所示。 微分方程（以t為變量） 傳遞函數(shù)（以s為變量） 頻率特性（以為變量） 圖5-5 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達系統(tǒng)的運動本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。三、頻率特

16、性的應(yīng)用 1頻率特性包含了系統(tǒng)或元件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，是系統(tǒng)在頻域中的數(shù)學(xué)模型，運用它分析、研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為頻率特性分析法。2頻率特性為使用實驗法求取未知系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型提供了切實可行的辦法。但有關(guān)頻率特性的推導(dǎo)是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行的，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就不能觀測到系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，因而無法使用實驗法求取系統(tǒng)的頻率特性。 雖然頻率特性的概念是從穩(wěn)定系統(tǒng)推導(dǎo)出來的，但我們知道，系統(tǒng)的輸出總是由兩個分量組成的，其穩(wěn)態(tài)分量并不依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（與系統(tǒng)的穩(wěn)定性無關(guān)），主要取決于輸入信號。因此，從理論上講，穩(wěn)態(tài)分量總是可以從系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)中分離出來。所以頻率特性的定義可以推廣為：

17、線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與正弦輸入信號的復(fù)數(shù)比。也就是說，不論系統(tǒng)穩(wěn)定與否，其頻率特性總是存在的。3由傅立葉變換可知，輸入信號可以分解為一系列不同頻率諧波的迭加。根據(jù)頻率特性的物理意義，系統(tǒng)相當(dāng)于一個廣義的濾波器，控制系統(tǒng)的輸出就是通過這一濾波器的各次諧波分量的迭加。頻率特性不同，則系統(tǒng)對不同的信號具有不同的輸出。使用頻域法校正控制系統(tǒng)，就是將系統(tǒng)設(shè)計成為合理地放大有用信號、衰減無用信號，并按要求進行相移的廣義濾波器。5.1.5常用頻率特性曲線 頻率特性是輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律。在實際應(yīng)用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應(yīng)的坐

18、標系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和其它品質(zhì)以便對系統(tǒng)進行分析與綜合。 系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的頻率響應(yīng)曲線的表示方法很多,其本質(zhì)都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式： 1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標系為極坐標。奈氏圖反映A()與 ()隨變化的規(guī)律。2.對數(shù)頻率特性曲線，包括： 對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。圖形常用名為對數(shù)坐標圖或波德圖，坐標系為半對數(shù)坐標。波德圖反映L()=20lg A()與 ()隨lg變化的規(guī)律。3.對數(shù)幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯爾斯圖或?qū)?shù)幅相圖，坐標系為對數(shù)幅

19、相坐標。尼柯爾斯圖反映L()=20lg A()隨 ()的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。 5.2幅相頻率特性及其繪制 繪制奈氏圖的坐標系是極坐標與直角坐標系的重合。取極點為直角坐標的原點,極坐標軸為直角坐標的實軸。由于系統(tǒng)的頻率特性表達式為G（j）=A（）ej 5.2.1幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念對于某一特定頻率i下的G（ji）總可以用復(fù)平面上的一個向量與之對應(yīng)，該向量的長度為A（i），與正實軸的夾角為（i）。 由于A()和()是頻率的函數(shù)，當(dāng)在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同下的向量的端點在復(fù)平面上掃過的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖

20、5-6所示。 G (j2)Re (1) (2)A (1)A (2)G (j1)圖5-6 極坐標圖的表示方法 Im 在繪制奈氏圖時，常把作為參變量，標在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。 前面已經(jīng)指出，系統(tǒng)的幅頻特性與實頻特性是的偶函數(shù)，而相頻特性與虛頻特性是的奇函數(shù)，即G（j）與G（-j）互為共軛。因此，假定可為負數(shù)，當(dāng)在-0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，相應(yīng)的奈氏圖曲線G（j）必然與G（j）對稱于實軸。取負數(shù)雖然沒有實際的物理意義，但是具有鮮明的數(shù)學(xué)意義，主要用于控制系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判別中。1.求系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)G（s）2.用j代替s，求出頻率

21、特性G（j）3.求出幅頻特性A()與相頻特性（）的表達式，也可求出實頻特性與相頻特性，幫助判斷G（j）所在的象限。4.在0的范圍內(nèi)選取不同的，根據(jù)A()與（）表達式計算出對應(yīng)值，在坐標圖上描出對應(yīng)的向量G（j），將所有G（j）的端點連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。 當(dāng)系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)已知時，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性，再求出系統(tǒng)幅頻特性、相頻特性或者實頻特性、虛頻特性的表達式，再逐點計算描出奈氏曲線。具體步驟如下：5.2.2典型環(huán)節(jié)的奈氏圖 一、比例環(huán)節(jié) 用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達式為 G(j)=K 幅頻特性 A()= | K |= K相頻特性 （）=0

22、ImRe0K0圖5-7 比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=K比例環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖5-7所示。可以看出,比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關(guān)。所以當(dāng)由0變到,G(j)始終為實軸上一點，說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。二、積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為 A()=|1/|=1/ 與角頻率成反比相頻特性為()=-90 積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖5-8所示，在0的范圍內(nèi),幅頻特性與負虛軸重合。 積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高

23、頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90。00Re圖5-8 積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性Im三、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=s頻率特性為 G(j)=j故幅頻特性為A()=|=與成正比。相頻特性為 ()=90。理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖5-9所示，在0的范圍內(nèi),其奈氏圖與正虛軸重合?？梢?，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。四、慣性環(huán)節(jié)相頻特性 ()= -arctan T當(dāng)從0變到時,可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達式描點繪制奈氏圖

24、，例如可以繪出三個點，見表5-1 根據(jù)這些數(shù)據(jù),可以繪出幅相頻率特性,如圖5-10所示,這是一個位于第四象限的半圓,圓心為(1/2,0),直徑為1。 若慣性環(huán)節(jié)的比例系數(shù)變?yōu)镵，則幅頻特性成比例擴大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個半圓，但圓心為(K/2,0),直徑為K。 由慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0-90。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為根據(jù)實頻特性與虛頻特性表達式，可以判斷出實頻特性恒0，而虛頻特性恒0，由此可見慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標系的第四象限。幅頻特性 A()= 五、一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=(s+1)

25、 為環(huán)節(jié)的時間常數(shù)頻率特性為可見一階微分環(huán)節(jié)的實頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率成正比。幅頻特性為與輸入頻率成正比。相頻特性為 ()=arctan() 當(dāng)從0變到時,可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達式描點繪制奈氏圖，可以繪出三個點，見表5-2 根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出幅相頻率特性,如圖5-11所示，是平行于正虛軸向上無窮延伸的直線。 由一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為090，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。 一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性

26、能，但存在放大高頻干擾信號的問題。六、二階振蕩環(huán)節(jié) 二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中 T為時間常數(shù);為阻尼比,01。振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為 可以判斷出虛頻特性恒0，故曲線必位于第三與第四象限。振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性為 相頻特性為以為參變量,計算不同頻率時的幅值和相角, 其中幾個重要的特征點見表5-3。 在極坐標上畫出由0變到時的矢量端點的軌跡,便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性,如圖5-12所示，且12。且振蕩環(huán)節(jié)與負虛軸的交點頻率為=1/T，幅值為1/(2)。 由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0-180；同時的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況 1. 0.707

27、幅頻特性A()隨的增大而單調(diào)減小，如圖5-12中1所對應(yīng)曲線，此刻環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當(dāng)1時，振蕩環(huán)節(jié)有兩個相異負實數(shù)極點，若足夠大，一個極點靠近原點，另一個極點遠離虛軸（對瞬態(tài)響應(yīng)影響很?。?，奈氏曲線與負虛軸的交點的虛部為1/(2)0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖5-13所示。 2.00.707當(dāng)增大時，幅頻特性A()并不是單調(diào)減小，而是先增大，達到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點最遠處所對應(yīng)的頻率為諧振頻率r，所對應(yīng)的向量長度為諧振峰值Mr= A(r) = A(r)/ A(0) 。諧振表明系統(tǒng)對頻率r下的正弦信號的放大作用最強。由幅頻特

28、性A()對頻率求導(dǎo)數(shù),并令其等于零,可求得諧振角頻率r和諧振峰值Mr，如圖5-14所示?？傻谜袷幁h(huán)節(jié)的諧振角頻率諧振峰值為可見隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量%也越大。當(dāng)=0時，rn，Mr，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。 七、延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)又稱時滯環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為 G(s)=e-s，為延遲時間。頻率特性為 G(j)=e- j幅頻特性為A()=1 相頻特性為()=-單位為弧度（rad）。 或者()= =時，()=-，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當(dāng)從0連續(xù)變化至?xí)r

29、，奈氏曲線沿原點作半徑為1的無窮次旋轉(zhuǎn)，越大，轉(zhuǎn)動速度越大。故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個以原點為圓心,半徑為1的圓,如圖5-17所示。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。在低頻區(qū)，頻率特性表達式根據(jù)泰勒公式展開為當(dāng)很小時，有 即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合。 延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結(jié)合不影響幅頻特性，但會使相頻特性的最大滯后為無窮大。如某系統(tǒng)傳遞函數(shù)是慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)相結(jié)合，傳遞函數(shù)為 單位為度（） 可見隨的增大，幅頻特性A()單調(diào)減小，而相位滯后單調(diào)增加，相頻

30、特性()從0一直變化到負無窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)次，最后終止于原點，與實軸、虛軸分別有無數(shù)個交點，如圖5-18所示。5.2.3開環(huán)奈氏圖的繪制 一、定義 系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性（j）與開環(huán)頻率特性Gk（j），分別對應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為對于由多個典型環(huán)節(jié)組合而成的系統(tǒng)，其頻率特性應(yīng)該滿足下面的規(guī)律： 控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，則系統(tǒng)頻率特性的繪制與典型環(huán)

31、節(jié)的頻率特性的繪制方法是基本相同的?？筛鶕?jù)復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)求出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅頻特性A()與相頻特性()的表達式，或由分母有理化求出實頻特性與虛頻特性，再由奈氏圖的基本繪制方法求出系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。 一、基本繪制規(guī)律 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為多個典型環(huán)節(jié)組合時，其開環(huán)奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規(guī)律?？梢韵雀鶕?jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些特征繪制出近似曲線，再利用A()與()等的表達式描點，在曲線的重要部分修正。 1.低頻段（0），Gk（j）的低頻段表達式為根據(jù)向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達式分別為可見低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)傳遞

32、系數(shù)K有關(guān)。1.0型系統(tǒng)，v =0：A（0）=K，(0)=0低頻特性為實軸上的一點(K,0)。2.型系統(tǒng)，v =1：A（0）=，(0)= -903.型系統(tǒng)，v =2：A（0）=，(0)= -180 2. 高頻段（）不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負實數(shù)極點與零點。m為分子多項式的階數(shù)， n為分母多項式的階數(shù)，且一般mn 故A()=0,高頻段終止于坐標原點；而最終相位為()=-(n-m)90， 由n-m確定特性以什么角度進入坐標原點。(n-m)=1,則()=-90,即幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。(n-m)=2,則()=-180,即幅相特性沿負實軸進入坐標原點。(n-m)=3,則()

33、=-270,即幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。3.奈氏圖與實軸、虛軸的交點 將頻率特性表達式按照分母有理化的方法分解為實部與虛部。1）曲線與實軸的交點處的頻率由虛部為0求出 ImG(j)=I()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2）曲線與虛軸的交點處的頻率由實部為0求出 ReG(j)=R()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。4.開環(huán)零點對曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有開環(huán)零點，則在由0增大到過程中,特性的相位單調(diào)連續(xù)減?。筮B續(xù)增加）,特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。 2）如果系統(tǒng)的

34、開環(huán)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點，則在由0增大到過程中,特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點的時間常數(shù)的數(shù)值大小不同,特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內(nèi)呈增加趨勢，此時,特性曲線出現(xiàn)凹部。 根據(jù)以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。 在的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關(guān)，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。三、繪制實例 某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制開環(huán)奈氏圖 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表達式為 此系統(tǒng)為型系統(tǒng),當(dāng)0時，幅值趨于無窮大，而相角位移為-180。在時,A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270。由于沒有開環(huán)零點，所以奈氏曲線從低頻段到

35、高頻段為連續(xù)變化的光滑曲線，幅值連續(xù)減小，最后沿正虛軸終止于原點。該系統(tǒng)奈氏圖如圖5-22所示。若該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，開環(huán)頻率特性表達式為此系統(tǒng)仍為型系統(tǒng)，當(dāng)0時，幅值趨于無窮大,而相角位移為-180，即奈氏圖的起點基本未變。在時，A()=0，()= -(n-m)90= -290= -180，奈氏圖沿負實軸終止于原點。由于增加了開環(huán)零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時，相位先滯后增加，達到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減?。聪辔辉黾樱麠l曲線出現(xiàn)了凹凸。該系統(tǒng)奈氏圖見圖5-23。圖5-24列出了常見系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)概略奈氏圖。 5.3對數(shù)頻率特性及其繪制 5.3.1對

36、數(shù)頻率特性曲線基本概念 對數(shù)頻率特性曲線是頻率法中應(yīng)用最廣泛的曲線，常稱為波德(Bode)圖，分為對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。波德圖是繪制在以10為底的半對數(shù)坐標系中的，它的特點是橫坐標采用對數(shù)刻度，因此刻度不是線性均勻的，而縱坐標則仍采用均勻的線性刻度。 對數(shù)頻率特性的橫坐標如圖6.3所示。圖中橫坐標采用對數(shù)比例尺(或稱對數(shù)標度), 橫坐標即頻率坐標是按的對數(shù)值1g進行線性分度的，如=1,lg1=0；=2,lg2=0.301；=3,lg3=0.477；=4,lg4=0.602；=5,lg5=0.699；=6,lg6=0.778；=7,lg7=0.845；=8,lg8=0.903；=9

37、,lg9=0.954；=10,lg10=1。 標注角頻率的真值,以方便讀數(shù)。每變化十倍,橫坐標1g就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec。這個單位長度代表十倍頻率的距離,故稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。 由于橫坐標按照的對數(shù)來分度，對于是不均勻的，但對1g卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。 若橫軸上有兩點1與2，則該兩點的距離不是2-1，而是lg2-lg1,如2與20、10與100之間的距離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。 對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標是將A()取常用對數(shù)，并乘上20倍，變成對數(shù)幅值L() ，單位為dB（分貝）。 由于直

38、接標注L()的數(shù)值，縱坐標是均勻的普通比例尺。A()每變大十倍,L()增加20dB。 至于對數(shù)相頻特性,其橫坐標與幅頻特性的橫坐標相同,不是均勻的線性刻度；其縱坐標直接表示相角位移,單位為“度”(),采用普通比例尺。 對數(shù)頻率特性曲線坐標系如圖所示，在繪制函數(shù)關(guān)系時，相當(dāng)于lg為自變量。對數(shù)頻率特性曲線反映L()=20lg A()與()隨lg變化的規(guī)律，從而間接反映A()與()隨變化的規(guī)律。如慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-28所示，并分別繪制出精確曲線與漸近線。波德圖采用半對數(shù)坐標具有如下優(yōu)點：1.縮小了比例尺,使橫坐標的低頻段大大展寬，而高頻段壓縮，能夠展示更寬的頻率范圍，便于分析和設(shè)計

39、系統(tǒng)。幅頻特性采用分貝表示幅值后，縱坐標高段也相對縮小，幅頻特性曲線斜率下降，范圍更廣，圖示更清楚。2.大大簡化繪制系統(tǒng)頻率特性的工作。當(dāng)系統(tǒng)由許多環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成時，開環(huán)頻率特性為G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)= A()ej() 式中 A()=A1()A2()An()；() = 1() + 2() + + n()在極坐標中繪制幅相頻率特性,要花較多時間，而在繪制對數(shù)幅頻特性時,有L() =20 lgA()= 20lgA1() + 20lgA2() + + 20lgAn() = L1()+L2()+Ln() 則復(fù)雜的乘除運算變成了簡單的加減運算,這樣,如果先繪出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性,然后

40、進行加減,就能得到串聯(lián)各環(huán)節(jié)所組成系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性，作圖大為簡化。 3.容易看出各環(huán)節(jié)的單獨作用，便于對系統(tǒng)的分析設(shè)計。 4.可以用分段的直線(漸近線)來代替典型環(huán)節(jié)的準確的對數(shù)幅頻特性，而且稍加修正就可得到精確的曲線。 5.可根據(jù)實測數(shù)據(jù)繪制出波德圖，再求出開環(huán)傳遞函數(shù)，便于采用物理實驗的方法求取系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型。5.3.2典型環(huán)節(jié)的波德圖 一般為簡化作圖過程，常用分段直線近似表示對數(shù)幅頻特性曲線，這種處理引起的誤差一般在允許范圍內(nèi)。當(dāng)需要精確曲線時，可以對分段直線進行簡單的修正。 一、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達式為 G(j)=K 幅頻特性A()= K，則比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為L

41、() = 20lg|G(j)| = 20lgK在對數(shù)頻率特性上表現(xiàn)為平行于橫軸的一條直線。若K=100,則L()=20lg100=40分貝，如圖6.5所示。當(dāng)K1時，該平行線位于0dB線之上；當(dāng)0K1時，該平行線位于0dB線之下；當(dāng)K=1時，該平行線與0dB線重合。比例環(huán)節(jié)的相頻特性仍為()=0,與無關(guān)，為相頻特性圖的橫軸,如圖5-29所示。K的變化只影響對數(shù)幅頻特性曲線的升降，不改變其形狀與對數(shù)相頻特性。二、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為A()=1/ 其對數(shù)幅頻特性為 L()=20lgA()=20lg(1/)=-20lg繪出對數(shù)幅頻特性曲線上的幾個點：當(dāng)=0.1時,L(0.1)=+2

42、0dB ； 當(dāng)=1時,L(1)=0dB；當(dāng)=10時, L(10)=-20dB。 頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。實際上由于lg相當(dāng)于自變量，從對數(shù)幅頻特性的表達式可以直接看出，L()跟隨lg變化，二者之間的函數(shù)關(guān)系是均勻線性的，斜率為-20dB/dec。 積分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性為 ()=-90。它與頻率無關(guān),在0的頻率范圍內(nèi),為平行于橫軸的一條直線,如圖5-30所示。 當(dāng)積分環(huán)節(jié)的比例系數(shù)為K時，即頻率特性為則對數(shù)幅頻特性為L()=20lgA()=20lg(K/)=20lg K -20lg相當(dāng)于

43、整體斜線高度上升20lg K ，K的變化只影響對數(shù)幅頻特性曲線的升降，不改變原有形狀與對數(shù)相頻特性。此時L(1)=20lg K，對數(shù)頻率特性曲線在=K這一點穿過0dB線。 與積分環(huán)節(jié)類似，L()跟隨lg變化，二者之間的函數(shù)關(guān)系是均勻線性的，斜率為20dB/dec。頻率每增加10倍，幅頻特性上升20dB。理想微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為一條斜率為+20dB/十倍頻的直線,它在=1處穿過零分貝線,如圖5-31所示。若K值變化將使對數(shù)幅頻特性曲線上升（K1）或下降（0K1）。理想微分環(huán)節(jié)的相頻特性為()=90在0的范圍內(nèi),它是平行于橫軸的一條直線。 積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負

44、號，二者以軸為基準，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象。三、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 G(j)=j幅頻特性為A()=，對數(shù)幅頻特性為 L()=20lgA()=20lg四、慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特為 幅頻特性A()=故對數(shù)幅頻特性為 在時間常數(shù)T已知時，可以在從0變化到的范圍內(nèi)，逐點求出L()值，從而繪制出精確的對數(shù)幅頻特性曲線，但十分費時。在工程中，一般采用漸近線近似的方法，這已經(jīng)滿足大多數(shù)情況下的要求?？梢苑侄斡懻撊缦?。1.低頻段在T1(或1(或1/T)的區(qū)段,可以近似地認為L()為因變量，lg為自變量，因此對數(shù)頻率特性曲線是一條斜線, 斜率為-20dB/dec, 當(dāng)頻率變化

45、10倍頻時,L()變化-20dB，如圖5-32，這稱為高頻漸近線。它與低頻漸近線的交點為T =1/T。高頻漸近線和低頻漸近線的交點頻率T=1/T稱為轉(zhuǎn)折頻率，轉(zhuǎn)折頻率是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時的一個重要參數(shù)。 漸近特性和準確特性相比,存在誤差:越靠近轉(zhuǎn)折頻率,誤差越大，如在轉(zhuǎn)折頻率這一點,誤差最大，精確值為L(=1/T)=-20lg21/2=-3dB這說明,在轉(zhuǎn)折頻率處,精確值應(yīng)為用漸近線繪制的對數(shù)幅值減去3dB。為簡化對數(shù)頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計階段）。同時，如需由漸近對數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個十倍頻程范圍內(nèi)

46、對漸近對數(shù)幅頻特性曲線進行修正就足夠了。對數(shù)相頻特性為() = -arctanT。為了近似繪制相頻特性,選擇確定以下幾個點，見表5-6 。同時，由于慣性環(huán)節(jié)的相位與頻率呈反正切函數(shù)關(guān)系，所以，對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于=1/T及()=-45這一點對稱，如圖所示，可以清楚地看出在整個頻率范圍內(nèi)，()呈滯后持續(xù)增加的趨勢，極限為-90。當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。五、一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為其幅頻特性為對數(shù)幅頻特性為對數(shù)相頻特性為 ()=arcta

47、n()按照與慣性環(huán)節(jié)相似的作圖方法,可以得到圖5-34所示對數(shù)頻率特性。 1. 低頻段 在T1(或1(或1/T)的區(qū)段,可以近似地認為高頻漸近線是一條斜線, 斜率為20dB/dec, 當(dāng)頻率變化10倍頻時,L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/T。可知,一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對應(yīng)的精確值是L（T）=0+3=3dB。六、二階振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為 對數(shù)幅頻特性為1.低頻段T1(或1(或1/T)時,并考慮到（01），有L()-20lg(T)2=-40lg

48、(T)=-40lgT-40lg dB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。 T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線見圖5-35。在T=1/T附近,用漸近線得到的對數(shù)幅頻特性存在較大誤差，近似值為 L(T)=20lg1=0 而準確值為 L(T)=20lg1/(2)只在=0.5時,二者相等。在不同時,精確曲線如圖5-36所示。當(dāng)0.707時，可以明顯地看出振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)了諧振。而且越小，諧振峰值Mr越大，諧振角頻率r越接近于轉(zhuǎn)折頻率T（無阻尼自然振蕩頻率n）。圖5-37 二階系統(tǒng)漸近線的

49、修正曲線由表5-7 可見，當(dāng)0407時，誤差小于3分貝，這時可以不對漸近線進行修正；但當(dāng)0.7，誤差很大，必須對漸近線進行修正。在轉(zhuǎn)折頻率附近的修正曲線見圖5-37。振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性為可知，當(dāng)=0時，()=0；=1/T時，()=-90；時，()-180。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于=1/T及()（）=-90這一點斜對稱。振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性既是的函數(shù)，又是的函數(shù)。隨阻尼比不同，對數(shù)相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度也不同。越小，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的變化速度越大，而在遠離轉(zhuǎn)折頻率處的變化速度越小。當(dāng)振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上

50、向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。八、延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的頻率特性為G(j)=e- j幅頻特性為A()=1對數(shù)幅頻特性為L()=20lgA()=0dB 對數(shù)幅頻特性L()為一條與橫軸重合的直線，如圖所示。對數(shù)相頻特性為()=-，單位為弧度（rad）。又有 考慮到波德圖是以lg為自變量，所以有因此，()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨增加而滯后無限增加，延遲環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性示于圖。相關(guān)相位見表5-8?？梢?，延遲時間越大，在較低頻率處所引起的相位滯后也越大。從后面的分析可以得出，延遲環(huán)節(jié)導(dǎo)致的相位滯后對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。5.3.3開

51、環(huán)波德圖的繪制 繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性可先繪出漸近線，再經(jīng)過簡單的修正得到精確的曲線。 而求漸近線時可先繪出構(gòu)成系統(tǒng)的各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線，再由各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的縱坐標值相加而得到。 繪制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性可根據(jù)其表達式計算、描點而得到，也可以由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得。 實際上，與開環(huán)奈氏圖的繪制相同，當(dāng)系統(tǒng)全由除延遲環(huán)節(jié)以外的典型環(huán)節(jié)構(gòu)成時(開環(huán)傳遞函數(shù)全為左極點與左零點),開環(huán)波德圖的繪制也具有一定的規(guī)律，可以大大簡化曲線的繪制過程。一、基本規(guī)律 1.由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必

52、為由不同斜率的線段組成的折線。2.低頻漸近線（及其延長線）的確定 由前面奈氏圖的分析可知, Gk（j）的低頻段表達式為對數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達式為低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。同時，低頻漸近線（及其延長線）上在=1時,有L(1)=20lgK，如圖5-40所示。并有()=-v90，可見低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。3.轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v及開環(huán)傳遞系K有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)的

53、轉(zhuǎn)折頻率1/處，斜率20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率 40dB/dec4.最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)時,由于nm，所以高頻段的近似表達式為對數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達式為高頻段為一條斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。并有()=-（n-m）90，說明高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。 二、繪制步驟 利用以上規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下： 1開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標準的時間常數(shù)表達式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 2選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的

54、10倍左右。確定坐標比例尺，由小到大標注各轉(zhuǎn)折頻率。 3確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標為=1、縱坐標為20lgK的點，過該點作斜率為-20vdB/dec的斜線。 4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉(zhuǎn)折頻率,斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。 5如有必要，可對分段直線進行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。 對于慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié),在轉(zhuǎn)折頻率處的修正值為3dB;在轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的修正值為1dB。 對于二階振蕩

55、環(huán)節(jié),其幅值示于圖5-37,它們是阻尼比的函數(shù),具體可參考前面的內(nèi)容。 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線,即L(c)=0或A(c)=1 時的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c是分析與設(shè)計時的重要參數(shù)。 6在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線（慣性環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線用模型板畫更方便），將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達式，逐點描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。 7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對

56、數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數(shù)相頻特性曲線。 例5-2：設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下，繪制開環(huán)波德圖 已知，系統(tǒng)由放大、比例微分、積分、兩個慣性環(huán)節(jié)和一個振蕩環(huán)節(jié)組成。1)畫低頻段。由系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性知k=10，v=1。一般將放大和積分環(huán)節(jié)統(tǒng)一考慮，因為v=1，所以起始段的斜率為-20dB/dec。在 =1處，起始段的高度為2)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率由小到大為：經(jīng)過各個轉(zhuǎn)折頻率斜率變化情況：慣性環(huán)節(jié)一階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 分析對數(shù)幅頻特性可見，系統(tǒng)L()由5段折線構(gòu)成，而且在2與3 之間穿過0dB線。 曲線穿過0dB線時所對應(yīng)的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c可以

57、通過坐標系直接讀出，也可根據(jù)簡單的計算求出。1.由低頻漸近線可求得L（1）= L（1.25）=20lgK-20lg1.25=18.1（dB） 2.由于1點與2點位于同一條斜線，斜率為-40dB/dec，則L（2）可如下求得求出L（2.5）=6.1（dB） 3.同理，c可如下求取求出c=5rad/s 由于振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比為=0.1， 因此，漸近線在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有較大的誤差，應(yīng)該加以修正。4)根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)相頻特性的表達式進行計算。（rad/s）00.51.01.524681020()（）-90-105-116-122-126-137-146-154-162-315-360 對于相頻特性

58、曲線，主要了解其大致趨向。 幅值穿越頻率c處的相位十分重要，本例中=c=5時的相位為(c)= -141（） 1.如圖所示，在低頻區(qū)的漸近線斜率為-20dB/dec,相位起點約為-90。 2.在頻率1附近，L()斜率減小到-40dB/dec，則相位呈減小的趨勢；而在頻率2附近，微分環(huán)節(jié)的作用使()相位減小的趨勢比較平緩。 3.在頻率4附近，L()從-40dB/dec斜率減小到-80dB/dec；而()相位也急劇下降，最大滯后為-360 。 5.3.4最小相位系統(tǒng)一、基本概念控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般是關(guān)于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質(zhì)是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點與極點的性質(zhì)決定的。根據(jù)零極點的不同，一般分

59、為以下兩種系統(tǒng)1) 最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的所有極點、零點均位于s左半平面。2) 非最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點或極點位于s右半平面。 “最小相位”這一概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié),其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環(huán)節(jié);反之,其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。有兩個系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)分別為兩者的對數(shù)幅頻特性是相同的， 而相頻特性則有1()= arctan - arctanT2()= - arctan - arctanT根據(jù)繪制規(guī)律繪出兩者的波德圖如圖5-42所示。 從傳遞函數(shù)看,這二者

60、均有相同的儲能元件數(shù),但是由于G2(s)的零點在右半s平面,它產(chǎn)生了附加的相位滯后位移, 因而 G1(s)具有較小的相位變化范圍（0，-90）,為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大（0，-180）。 從波德圖上看,最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小可能值的系統(tǒng)。 可以推出如下結(jié)論：若系統(tǒng)只包含除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)，并且無局部正反饋回路時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母必?zé)o正實根，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。原因為： 由于延遲環(huán)節(jié)按冪級數(shù)分解之后，其各項系數(shù)有正負，因而必定有具有正實部的零點，所以延遲環(huán)節(jié)屬于非最小相位系統(tǒng)。 同樣，若系統(tǒng)有局部正反饋