多媒體技術(shù)之變換編碼

1、多媒體技術(shù)之變換編碼第1頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二6.1變換編碼的基本思想 預(yù)測編碼希望通過對信源建模盡可能精確地預(yù)測數(shù)據(jù)。變換編碼的思路：將原始數(shù)據(jù)“變換”到一個更為緊湊的表示空間，從而得到比預(yù)測編碼更高效率的數(shù)據(jù)表示（壓縮）。預(yù)測編碼消除相關(guān)性的能力有限，變換編碼是一種更高效的壓縮編碼。變換編碼的思想：將初始數(shù)據(jù)從時間域或者空間域變換到另一個更適合于壓縮的抽象域，通常為頻域。第2頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二變換編碼的通用模型如下圖：變換編碼：利用映射變換來實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的建模表達(dá)。變換：將原始信號的個樣本值從一個表示域變換到另一個表

2、示域。映射變換量化編碼解碼反量化反映射變換原始數(shù)據(jù)信道恢復(fù)數(shù)據(jù)第3頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二輸入圖像G經(jīng)正交變換T變換到頻域空間,象素之間相關(guān)性下降，能量集中在變換域中少數(shù)變換系數(shù)上。對變換系數(shù)A中那些幅度大元素予以保留，對幅度小的變換系數(shù)，全部當(dāng)作零處理，不予編碼，再輔以非線性量化，進(jìn)一步壓縮圖像數(shù)據(jù)。由于量化器存在，量化后變換系數(shù)A和A間必然存在量化誤差，從而引起輸入圖像G和輸出圖像G間存在誤差。第4頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二變換編碼數(shù)據(jù)壓縮主要是去除信源的相關(guān)性設(shè)信源序列為協(xié)方差矩陣就是用來表征相關(guān)性的統(tǒng)計特性的表示關(guān)于xi

3、 的數(shù)學(xué)期望概率平均值。方差就表示xi偏離行均值的程度及xj偏離列均值的程度。因此協(xié)方差矩陣描述了矩陣元素間的相關(guān)性， ，即表達(dá)了在行列兩個方向上偏離均值的情況第5頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二為了有效壓縮，希望變換后的協(xié)方差矩陣為對角矩陣，并且主對角線元素隨i, j增加盡快衰減。已知X的條件下，可以根據(jù)協(xié)方差矩陣去尋找一種正交變換T，使變換后的協(xié)方差矩陣滿足或接近為一對角陣。K-L變換 (Karhunen-Loeve變換)即是這樣一種變換，又稱為最佳變換。它能使變換后協(xié)方差矩陣為對角陣，并且有最小均方誤差。第6頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星

4、期二映射變換的方法很多，一般指函數(shù)變換，常用的有正交變換。比如，傅立葉變換：利用復(fù)數(shù)域的正交變換（酉變換），將一個函數(shù)從時域描述變?yōu)轭l域的頻譜展開使得函數(shù)的某些特性變得很明顯，使問題得到簡化。例如，在理想情況下，為表示單一頻率的正弦波，電工學(xué)上只需要知道振幅、頻率和初相角。當(dāng)在頻域展開是，若不考慮相位特性，譜線只有一條。而在時域描述中往往需要兩倍以上的頻率的奈奎斯特速率采樣。 造成這個特例的條件是傅立葉變換的特性和信號的特性相吻合。（適合于如語音信號中的濁音，心電圖、腦電圖等具有周期性的信號）第7頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二預(yù)測編碼消除相關(guān)性的能力有限，變換編碼是

5、一種更高效的壓縮編碼。變換編碼的思想：將初始數(shù)據(jù)從時間域或者空間域變換到另一個更適合于壓縮的抽象域，通常為頻域。第8頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二變換編碼示意圖第9頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二變換編碼的分類 KL變換離散傅立葉變換（DFT）沃爾什-哈達(dá)瑪變換（WHT）哈爾變換（HRT）離散余弦變換（DCT）離散正弦變換（DST）離散小波變換（DWT）等等。第10頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二背 景 任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式.甚至非周期函數(shù)(曲線有限)也可以用正弦和/或余弦乘以不

6、同的系數(shù).第11頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。 傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個連續(xù)的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。第12頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進(jìn)行分

7、割，每一部分只是一個時間點(diǎn)對應(yīng)一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區(qū)間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區(qū)間上的分信號，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對應(yīng)的曲線，就像給出時域上每一點(diǎn)的信號值一樣，不過如果信號是周期的話 ，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點(diǎn)都映射出一個函數(shù)值。 第13頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二6.2 傅立葉理論基礎(chǔ)傅立葉級數(shù)三角級數(shù)定義由周期為2的正弦

8、和余弦函數(shù)的線性組合而成的無窮級數(shù)基本函數(shù)族組成：1，cos(nx)，sin(nx)性質(zhì)：任意兩個在一個周期上的積分等于0，稱為正交性；第14頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二傅立葉展開傅立葉展開定理：周期為2的函數(shù)f(x) 可以展開為三角級數(shù)，展開式系數(shù)為狄利克雷收斂定理 收斂條件在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)； 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點(diǎn)。 收斂結(jié)果當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時，級數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值； 當(dāng)x是間斷點(diǎn)時，級數(shù)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。 第15頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二展開舉例對稱函數(shù)對奇函數(shù)： 對偶函數(shù)： 函數(shù)展開

9、式sgn(x)(4/) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +) x 2 (sin x sin2x/2 + sin3x/3 sin4x/4 + sin5x/5 +) |x| /2 (4/)(cos x + cos3x/32 + cos5x/52 + ) 典型周期函數(shù)(周期為2)第16頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二傅立葉展開的意義：理論意義：把復(fù)雜的周期函數(shù)用簡單的三角級數(shù)表示；應(yīng)用意義：用三角函數(shù)之和近似表示復(fù)雜的周期函數(shù)。例如：對稱方波的傅立葉展開第17頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二第18頁，共56頁，2022年，5月

10、20日，13點(diǎn)50分，星期二第19頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二重要推廣推廣1：問題：把周期為T=2L的函數(shù)f(t)的展開： 方法：對基本公式作變換xt/L，第20頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二推廣2問題：把定義在 -L, L 上的函數(shù) f(t)展開；方法：先把它延拓為周期函數(shù)(即把它當(dāng)成是一個周期 為2L的函數(shù)的一部分)， 再按推廣1展開；注意：所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(t)一致。延拓前 延拓后第21頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二推廣3問題：把定義在 0, L 上的函數(shù) f(x)展開；方法：先把它延拓

11、為-L, L上的奇函數(shù)或偶函數(shù)， 再按推廣2把它延拓為周期函數(shù)， 最后按推廣1展開；注意：所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(x)一致。公式：第22頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二傅立葉級數(shù)展開的復(fù)數(shù)形式展開公式：基本函數(shù)族：正交性：展開系數(shù)：第23頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二傅立葉變換非周期函數(shù)的傅立葉展開問題：把定義在（，）中的非周期函數(shù) f (x)展開；思路：把該函數(shù)定義在（L，L）中的部分展開，再令L；實施：展開公式展開系數(shù)：困難展開系數(shù) cn 為無窮?。粌缰笖?shù) nx/L 不確定。第24頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)5

12、0分，星期二傅立葉變換解決方法：把 n/L 作為新變量，即定義n = n/L ；把 cnL/作為新的展開系數(shù)，即定義F(n)=cnL/.公式的新形式：展開公式：展開系數(shù)：取極限：傅立葉變換：傅立葉積分：第25頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二 從歐拉公式中得到:(4.2.7)其中:第26頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二例題1矩形函數(shù)的定義為求矩形脈沖 x (t) = rect(t/2T1)的傅立葉變換。解：第27頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二例題2將矩形脈沖 f (t) = h rect(t/2T)展開為傅立葉積分。

13、解：先求出 f (t) 的傅立葉變換代入傅立葉積分公式，得第28頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二一維離散傅里葉變換及其反變換 單變量離散函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(u)定義為:反變換為:(4.2.5)(4.2.6)第29頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二二維變換和反變換為:第30頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二二維DFT及其反變換 一個圖像尺寸為M*N的函數(shù)f(x,y)的離散傅里葉變換由下列等式給出: 反變換由下列等式給出:傅里葉譜,相角和頻率譜:(4.2.16)(4.2.17)第31頁，共56頁，2022年，5月20

14、日，13點(diǎn)50分，星期二離散傅立葉變換的計算舉例xf(x0)=f(x0+x)01231234第32頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二F(0) = 1/4f(x)exp0= 1/4f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)= 1/4(2 + 3 + 4 + 4)= 3.25F(1) = 1/4f(x)exp-j2x/4)= 1/4(2e0 + 3e j21/4 + 4e j22/4 + 4e j23/4)= 1/4(-2 + j)F(2) = -1/4(1 + j0)F(3) = -1/4(2 + j)第33頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星

15、期二 離散傅立葉變換的計算舉例因為，函數(shù)f(x,y)的傅立葉變換是f(x,y)積分的函數(shù)因此，計算每一個傅立葉變換值，原函數(shù)f(x,y)的每一個點(diǎn)都需要參與第34頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二二維DFT及其反變換第35頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二二維DFT及其反變換 Lena的傅里葉變換:第36頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二 快速傅立葉變換FFT算法思想遞推公式推導(dǎo)逆向FFT算法算法實現(xiàn)第37頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二FFT算法基本思想 FFT算法基于一個叫做遞推加倍的方法。通

16、過推導(dǎo)將DFT轉(zhuǎn)換成兩個遞推公式 N-1F(u)=1/N f(x) exp(-j2ux/N) x=0 F(u) = 1/2(Feven(u)+Fodd(u)W2Mu) F(u+M)= 1/2(Feven(u)-Fodd(u)W2Mu) 第38頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二FFT算法基本思想 F(u) = 1/2(Feven(u)+Fodd(u)W2Mu) F(u+M)= 1/2(Feven(u)-Fodd(u)W2Mu)其中： N = 2MFeven(u)、Fodd(u) 是1/2N個點(diǎn)的傅立葉值 第39頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二FF

17、T算法基本思想通過一個實例來體會一下FFT算法：設(shè)：有函數(shù)f(x)，其 N = 23 = 8 有： f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), f(7) 計算： F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), F(5), F(6),F(7) 第40頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二FFT算法基本思想首先分成奇偶兩組：有： f(0), f(2), f(4), f(6) f(1), f(3), f(5), f(7) 為了利用遞推特性，再分成兩組：有： f(0), f(4) ， f(2), f(6) f(1), f(5) ，

18、 f(3), f(7) 第41頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二 f(0), f(4) f(2), f(6) f(1), f(5) f(3), f(7) F2(0),F2(4) F2(2),F2(6) F2(1),F2(5) F2(3),F2(7) F4(0), F4(4), F4(2), F4(6) F4(1), F4(5), F4(3),F4(7) F8(0), F8(1), F8(2), F8(3), F8(4), F8(5), F8(6), F8(7) 第42頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二分析這些表達(dá)式得到如下一些有趣的特性：（1）一

19、個N個點(diǎn)的變換，能夠通過將原始 表達(dá) 式分成兩個部分來計算（2）通過計算兩個（N/2）個點(diǎn)的變換。得到 Feven(u)和 Fodd(u)（3）奇部與偶部之和得到F(u)的前(N/2)個值。（4）奇部與偶部之差得到F(u)的后(N/2)個值。 且不需要額外的變換計算。第43頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二歸納快速傅立葉變換的思想：1）通過計算兩個單點(diǎn)的DFT，來計算兩個點(diǎn)的DFT，2）通過計算兩個雙點(diǎn)的DFT，來計算四個點(diǎn)的DFT，以此類推3）對于任何N=2m的DFT的計算，通過計算兩個N/2點(diǎn)的DFT，來計算N個點(diǎn)的DFT第44頁，共56頁，2022年，5月20日，

20、13點(diǎn)50分，星期二傅立葉變換的幅值和相角f（t）的傅立葉變換結(jié)果常常是虛數(shù)，可用復(fù)數(shù)形式表示為：則其幅值為：其相位為：第45頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二幅值和相角的應(yīng)用f（t）的能量譜:用幅值和相位來表示傅立葉變換:幅 值相 位第46頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析

21、，根據(jù)各級齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。 第47頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二離散傅立葉變換的 Matlab實現(xiàn) Matlab 函數(shù) fft、fft2 和 fftn 分別可以實現(xiàn)一維、二維和 N 維 DFT 算法；而函數(shù) ifft、ifft2 和 ifftn 則用來計算反 DFT 。這些函數(shù)的調(diào)用格式如下：Afft(X,N,DIM)其中，X 表示輸入圖像；N 表示采樣間隔點(diǎn)，如果 X 小于該數(shù)值，那么 Matlab 將會對 X 進(jìn)行零填充，否則將進(jìn)行截取，使之長度為 N ；DIM 表示要進(jìn)行離散傅立葉變換。例對聲音的分析 第48頁，共56頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期二Afft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS 和 NCOLS 指定對 X 進(jìn)行零填充后的 X 大小。別可以實現(xiàn)一維、二維和 N 維 DFTAfftn(X,SIZE)