2021-2022學年湖南省普通高中高考沖刺模擬數學試題含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知等差數列的公差為-2，前項和為，若，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，則的最大值為（ ）A5B11C

2、20D252已知若（1-ai ）( 3+2i )為純虛數，則a的值為 （ ）ABCD3我國古代數學名著數書九章中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸；臺體的體積公式）.A2寸B3寸C4寸D5寸4若復數滿足（為虛數單位），則其共軛復數的虛部為（ ）ABCD5復數為純虛數，則( )AiB2iC2iDi6已知函數f（x）ebxexb+c（b，c均為常數）的圖象關于點（2，1）對稱，則f（5）+f（1）（ ）A2B1C2D47已知等

3、差數列的前項和為，則（ ）A25B32C35D408記遞增數列的前項和為.若，且對中的任意兩項與（），其和，或其積，或其商仍是該數列中的項，則（ ）ABCD9已知，為兩條不同直線，為三個不同平面，下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確命題序號為( )ABCD10在邊長為2的菱形中，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD11如圖，在中，且，則（ ）A1BCD12設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為若，則的離心率為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在的展開式中，常數項為_.(

4、用數字作答)14已知關于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，則實數的取值范圍是_15某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則抽取學生的人數為_16已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數的值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設函數，其中是自然對數的底數.（）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；（）若，函數與函數的圖象交于，且線段的中點為，證明：.18（12分）如圖，在直三棱柱中，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.19（12分）已知在平面直角坐標系中，曲線的參

5、數方程為(為參數.).以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線與直線其中的一個交點為，且點極徑.極角（1）求曲線的極坐標方程與點的極坐標；（2）已知直線的直角坐標方程為，直線與曲線相交于點(異于原點)，求的面積.20（12分）記為數列的前項和，N.（1）求；（2）令，證明數列是等比數列，并求其前項和.21（12分）已知函數是自然對數的底數.（1）若，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.22（10分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，當時，都有恒成立，求最大的整數.（參考數據：）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小

6、題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】由公差d=-2可知數列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數列的公差為-2，可知數列單調遞減，則，中最大，最小，又，為三角形的三邊長，且最大內角為， 由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.2A【解析】根據復數的乘法運算法則化簡可得，根據純虛數的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為，該復數為純虛數，所以.故選

7、：A【點睛】本題考查復數的運算和復數的分類，屬基礎題.3B【解析】試題分析：根據題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應用問題；2.圓臺的體積.4D【解析】由已知等式求出z，再由共軛復數的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi1i，z ，所以共軛復數=-1+，虛部為1故選D【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算和共軛復數的基本概念，屬于基礎題5B【解析】復數為純虛數，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】為純虛數，解得. .故選：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.6C【解析】根據對稱性即可求出答案【詳解】解：點（5，f（5）與點（1，f（1）滿足（51）22，故它們關于點（2，

8、1）對稱，所以f（5）+f（1）2，故選：C【點睛】本題主要考查函數的對稱性的應用，屬于中檔題7C【解析】設出等差數列的首項和公差，即可根據題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，解得，即有故選：C【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式的求法和應用，涉及等差數列的前項和公式的應用，屬于容易題8D【解析】由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項的值，進而判斷出的范圍【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數列中的項，或者或者是該數列中的項，又數列是遞增數列，只有是該數列中的項，同理可以得到，也是該數列中的項，且有，或（舍，根據，同理易得，故選：D【點睛】本題

9、考查數列的新定義的理解和運用，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題9C【解析】根據直線與平面，平面與平面的位置關系進行判斷即可.【詳解】根據面面平行的性質以及判定定理可得，若，則，故正確；若，平面可能相交，故錯誤；若，則可能平行，故錯誤；由線面垂直的性質可得，正確；故選：C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關系，屬于中檔題.10D【解析】取AC中點N，由題意得即為二面角的平面角，過點B作于O，易得點O為的中心，則三棱錐的外接球球心在直線BO上，設球心為，半徑為，列出方程即可得解.【詳解】如圖，由題意易知與均為正三角形，取AC中點N，連接BN，DN，則，即為二面角的平面角，過點

10、B作于O，則平面ACD，由，可得，即點O為的中心，三棱錐的外接球球心在直線BO上，設球心為，半徑為，,解得，三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.11C【解析】由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關系，再由三點共線，又得到一個關于的關系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識，結合圖形尋找各向量間的關系，屬于中檔題.12B【解析】設過點作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，即，由，列出相應方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程

11、為，由解得，即，由，所以有，化簡得，所以離心率故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數項.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.14【解析】先換元，令，將原方程轉化為，利用參變分離法轉化為研究兩函數的圖像交點，觀察圖像，即可求出【詳解】因為關于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，令，所以方程在 上只有一解，即有 ，直線與 在的圖像有一個交點，由圖可知，實數的取值范圍是，但是

12、當時，還有一個根，所以此時共有3個根.綜上實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學生運用轉化與化歸思想的能力，方程有解問題轉化成兩函數的圖像有交點問題，是常見的轉化方式151【解析】直接根據分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為，抽取學生的人數為6001故答案為：1【點睛】本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.16【解析】求出雙曲線的漸近線方程，右準線方程，得到交點坐標代入拋物線方程求解即可【詳解】解：雙曲線的右準線，漸近線，雙曲線的右準線與漸近線的交點，交點在拋物線上，可得：，解得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質以及拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，屬于基礎

13、題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）；（）詳見解析.【解析】（）依題意在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由參變分類可得，令，利用導數研究的單調性、極值，從而得到參數的取值范圍；（）由題解得，要證成立，只需證：，即：，只需證：，設，即證：，再分別證明，即可；【詳解】解：（）由題意可知，在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由可得，令，則，令，可得，當時，所以在上單調遞減，且當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以是的極大值也是最大值，又當，當大于0趨向與0，要使在有兩個根，則，所以的取值范圍為；（）由題解得，要證成立，只需證：即：，只需證：設，即證

14、：要證，只需證：令，則在上為增函數，即成立；要證，只需證明：令，則在上為減函數，即成立成立，所以成立.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性、極值，利用導數證明不等式，屬于難題;18（1）見解析（2）見解析【解析】（1）取的中點D，連結，.根據線面平行的判定定理即得；（2）先證，和都是平面內的直線且交于點，由（1）得，再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點D，連結，.在中，P，D分別為，中點，且.在直三棱柱中，.Q為棱的中點，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，.又，平面，平面，平面.【點睛】本題考

15、查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.19（1）極坐標方程為，點的極坐標為（2）【解析】（1）利用極坐標方程、普通方程、參數方程間的互化公式即可；（2）只需算出A、B兩點的極坐標，利用計算即可.【詳解】（1）曲線C：(為參數，)，將代入，解得，即曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.（2)由（1），得點的極坐標為，由直線過原點且傾斜角為，知點的極坐標為，.【點睛】本題考查極坐標方程、普通方程、參數方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學生的運算能力，是一道基礎題.20（1）；（2）證明見詳解，【解析】（1）根據，可得，然后作差，可得結果.（2）根據（1）的結論，用取代，得到新

16、的式子，然后作差，可得結果，最后根據等比數列的前項和公式，可得結果.【詳解】（1）由，則-可得：所以（2）由（1）可知：則-可得：則，且令，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列所以【點睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關系的應用，考驗觀察能力以及分析能力，屬中檔題.21（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】（1）當時，求得函數的導函數以及二階導函數，由此求得的單調區(qū)間.（2）令求得，構造函數，利用導數求得的單調區(qū)間、極值和最值，結合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），又，所以在單增， 從而當時，遞減，當時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當時，所以當時，有一個極值點，當時，有兩個極值點，當時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設，得，因為在遞減，且，所以又所以【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區(qū)間，考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.22（1）（2）2【解析】（1）先求得切點坐標，利用導數求得切線的斜率，由此求得切線方程.（2）對分成，兩種情況進行分類討論.當時 ，將不等式轉化為，構造函數，利用導數求得的最小值（設為）的取值范圍，由的得在上恒成立