《概率統(tǒng)計》第二版35切比雪夫不等式與大數(shù)定律

1、第三章 隨機變量的數(shù)字特征3.5 切比雪夫不等式與大數(shù)定律概率論中用來說明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律.定理1設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差存在，則對于任意的正數(shù)或1.切比雪夫不等式這兩個不等式都叫做切比雪夫不等式.證：設(shè) 為連續(xù)隨機變量，的概率密度為那么當為離散隨機變量時，類似可證.所以有注：切比雪夫不等式給出了離差與方差的關(guān)系，來估計的概率.可用它又因為定義對隨機變量序列假設(shè)存在使得對于任意的正數(shù)則稱隨機變量序列按概率收斂于2.大數(shù)定律3.8 切比雪夫不等式與大數(shù)定律定理2切比雪夫定理設(shè)獨立隨機變量序列的數(shù)學(xué)期望與方差并且方差一致有上界，即存在某一常數(shù)使得則對于任意的

2、正數(shù)有證：對隨機變量應(yīng)用切比雪夫不等式得由此得令得到但概率不可能大于故有切比雪夫定理說明：假設(shè)獨立隨機變量序列的數(shù)學(xué)期望與方差存在，且方差一致有上界，按概率收斂于其數(shù)學(xué)期望則隨機變量緊密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望附近.的值將比較即當 充分大時,推論設(shè)隨機變量序列獨立同分則對于任意的正數(shù)有即， 獨立同分布隨機變量序列的算術(shù)平均值按概率收斂于期望注：這一推論是算術(shù)平均值穩(wěn)定性的理論依據(jù).并且數(shù)學(xué)期望與方差存在：布，定理3（伯努利定理）在獨立試驗序列中，設(shè)則事件 在 次試驗中發(fā)生的頻率當試驗的次數(shù)時，按概率收斂于事件的概率即有證：設(shè)隨機變量則獨立同分布，且于是由切比雪夫定理的推論得又易知是事件在次試驗中發(fā)

3、生的次數(shù)由此可知所以有伯努利定理說明：當試驗在相同的條件下重復(fù)進行很屢次時，隨機事的頻率將穩(wěn)定在事件的概率附近.件概率很小的隨機事件在個別試驗中是不可能發(fā)生的.說明：1隨機事件的概率究竟要多么小，才能看作實際上不可能發(fā)生呢？這要根據(jù)隨機事件的本質(zhì)來確定.2此原理僅僅適用于個別的或次數(shù)極少的試驗. 3由此原理可得重要結(jié)論：如果隨機事件的概率很接近于那么可以認為在個別試驗中這一事件一定發(fā)生.3.小概率事件的實際不可能性原理例從某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取件來檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有件次品，是否相信該工廠的產(chǎn)品的次品率解：假設(shè)該工廠的次品率則檢查件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)其中次品數(shù)的概率因為很大且較小，所以在工業(yè)生產(chǎn)中，一般把概率小于的事件認為是小概率事件.由此可知是小概率事件.現(xiàn)在小概率事件在一次試驗中發(fā)生了.根據(jù)小概率事件的實際不可能性原理，不能相信該工廠產(chǎn)品的次品率1. 切比雪夫不等式：2. 大數(shù)定律及其含義. 3. 小