上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬上外高中2022年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1記為虛數(shù)集，設(shè)，則下列類比所得的結(jié)論正確的是（ ）A由，類比得B由，類比得C由，類比得D由，類比得2已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則（ ）A1B-1C2D-23函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（ ）ABCD4已知命題，命題，若為假命題，則實(shí)數(shù)的取

2、值范圍是（ ）AB或CD5變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)等于（ ）A2B1C1D26利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+an+1=，（a 1，nN）”時(shí)，在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（ ）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a37由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為（ ）ABCD8已知函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD9已知（是實(shí)常數(shù)）是二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的一項(xiàng)，其中，那么的值為ABCD10已知ab，則下列不等式一定正確的是（）Aac2bc2Ba2b2Ca3b3D11直線的斜率為（ ）ABCD12的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（ ）A30B40C-10D-20二、填空題：本

3、題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)14已知函數(shù)的對(duì)稱軸方程為_(kāi)15已知隨機(jī)變量，若，則_16若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是_；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）設(shè) （）求的單調(diào)區(qū)間.（）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說(shuō)明理由.18（12分）已知19（12分）已知函數(shù). （1）證明：函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，且（為與無(wú)關(guān)的常數(shù)），證明：.20（12分）已知復(fù)數(shù)z滿足|3+4i|+z=1+3i.(1)求；(2)求的值.2

4、1（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.22（10分）老況、老王、老顧、小周、小郭和兩位王女士共7人要排成一排拍散伙紀(jì)念照.（1）若兩位王女士必須相鄰，則共有多少種排隊(duì)種數(shù)？（2）若老王與老況不能相鄰，則共有多少種排隊(duì)種數(shù)？（3）若兩位王女士必須相鄰，若老王與老況不能相鄰，小郭與小周不能相鄰，則共有多少種排隊(duì)種數(shù)？參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】選項(xiàng)A沒(méi)有進(jìn)行類比，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中取 不大于 ，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中取 ，但是 均為虛

5、數(shù)沒(méi)辦法比較大小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，綜上正確答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)及其性質(zhì)、合情推理，涉及類比思想、從特殊到一般思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，屬于中等難題.本題可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取 不大于，排除B,再取 ，但是 均為虛數(shù)沒(méi)辦法比較大小，排除D，可得正確選項(xiàng)為C.2、B【解析】根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x0，1時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）

6、=-1【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，且；的周期為4；時(shí)，；由奇函數(shù)性質(zhì)可得；時(shí)，；.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問(wèn)題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來(lái)求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.3、D【解析】分析：由題意，求得，得到，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解切線的方程；詳解：由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，又，所以切線過(guò)點(diǎn)，所以切線的方程為，即，故選D點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程問(wèn)題，其中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力4、D【解析】試題分析：由，可得，由，可得，解得.因?yàn)闉榧倜}，所

7、以與都是假命題，若是假命題，則有，若是假命題，則由或，所以符合條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D.考點(diǎn)：命題真假的判定及應(yīng)用.5、C【解析】將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取最大值，則直線縱截距最小，故當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，畫出可行域，如圖所示， 其中顯然不是最優(yōu)解，故只能是最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得，解得，故選C考點(diǎn)：線性規(guī)劃6、C【解析】考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法分析：首先分析題目已知用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a1+an+1=（a1）”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)把n=1代入等式左邊即可得到答案解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a1+an+1=（a1）”在驗(yàn)證n=1時(shí)，把當(dāng)n=1代入，左端=1+a+a1故選C7、

8、C【解析】由，解得，解得，解得，所圍成的平面圖形的面積為，則，故選C.8、B【解析】本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，可確定的圖象特征，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，可知在恰有兩個(gè)解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)可得，故時(shí)，；時(shí)，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.9、A

9、【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出m，n的值，即可求出k的值【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tt+1x5t（2y）t2tx5tyt，kxmyn（k是實(shí)常數(shù)）是二項(xiàng)式（x2y）5的展開(kāi)式中的一項(xiàng)，m+n5，又mn+1，得m3，n2，則tn2，則k2t2241040，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，結(jié)合通項(xiàng)公式建立方程求出m，n的值是解決本題的關(guān)鍵10、C【解析】分別找到特例，說(shuō)明A，B，D三個(gè)選項(xiàng)不成立，從而得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，得到，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，得到，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，滿足，但，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；所以正確答案為C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，通過(guò)列舉反例，排除法得

10、到答案，屬于簡(jiǎn)單題.11、A【解析】將直線方程化為斜截式，可得出直線的斜率【詳解】將直線方程化為斜截式可得，因此，該直線的斜率為，故選A【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的計(jì)算，計(jì)算直線斜率有如下幾種方法：（1）若直線的傾斜角為且不是直角，則直線的斜率；（2）已知直線上兩點(diǎn)、，則該直線的斜率為；（3）直線的斜率為；（4）直線的斜率為.12、B【解析】通過(guò)對(duì)括號(hào)展開(kāi)，找到含有的項(xiàng)即可得到的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)為：，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的計(jì)算，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】為純虛數(shù)，則14、【解析】分析：令，解出即可.詳解：函數(shù)，對(duì)

11、稱軸方程為， 故答案為：.點(diǎn)睛：考查了余弦函數(shù)的圖像的性質(zhì)15、0.8【解析】直接根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得到答案.【詳解】隨機(jī)變量，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對(duì)于正態(tài)分布對(duì)稱性的靈活運(yùn)用.16、；【解析】令，可將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域可求得結(jié)果.【詳解】 可令， 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用三角換元的方式求解取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域的求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（）詳見(jiàn)解析；（）0.【解析】（）對(duì)分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；（）先求出函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求

12、出，即得解.【詳解】解：（I）時(shí)，令令故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；01時(shí)，恒成立，故在單調(diào)遞增.時(shí)，令令故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)在單調(diào)遞增.時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（II）當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞增且故唯一存在使得即故h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故又且在上單調(diào)遞增，故即依題意：有解，故又故【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式存在性問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、【解析】把z1、z2代入關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可【詳解】， 【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)，則，.19、（1）證明見(jiàn)解析；

13、（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論，（2）先求，再結(jié)合恒成立轉(zhuǎn)化證明，即需證，根據(jù)條件消，令，轉(zhuǎn)化證，即需證， 這個(gè)不等式利用導(dǎo)數(shù)易證.【詳解】（1），令，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞減， ，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，所以在存在唯一零點(diǎn)；（2）因?yàn)?，所以?不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，而要求滿足的b的最大值，所以只需證明.所以（*）令，則，所以（*），令，則， 所以在上單調(diào)遞增，即綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析論證能力，屬難題.20、（1）；（2）2【解析】（1）先求出為

14、,即可求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)閨3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)=2.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.21、（1）見(jiàn)證明；（2）【解析】（1）先由平面得到面PDC平面，可得平面，則有，再利用勾股數(shù)及等腰三角形可得，可證得平面，即證得結(jié)論.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立

15、如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，利用向量法能求出二面角PAED的余弦值【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則.由題知平面，面PDC，所以面PDC平面，又底面為矩形，故平面，所以， 在中，則.因?yàn)?，所以，即CDP為等腰三角形，又F為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以平面，即平?（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.由題知，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得.因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直、面面垂直的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題22、（1）；（2）；（3）；【解析】（1）利用捆