清華大學(xué)2016自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃試題解析版

1、.2016 年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃試題1.已知函數(shù) f (x)(x2a)ex 有最小值，則函數(shù)g( x)x 22xa的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D.取決于 a 的值答案： 注意 f / (x)ex g( x) ，答案 C.2. 已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊為 a, b, c .下列條件中，能使得ABC 的形狀唯一確定的有（）A. a1,b 2, cZB. A1500 , asin Ac sin C2a sin Cb sin BC. cos Asin B cosCcos( BC ) cos B sin C 0, C600D. a3, b 1, A600答案：

2、 對(duì)于選項(xiàng) A，由于 | ab |cab ，于是 c 有唯一取值2，符合題意；對(duì)于選項(xiàng) B ，由正弦定理，有a 2c22ac b2 ，可得 cos B2 ,B 1350 ，無解；2對(duì)于選項(xiàng) C，條件即 cos A sin( BC )0，于是 (, ,C)(900,300 ,600 ), (600 ,600,600 )，A B不符合題意；對(duì)于選項(xiàng) D ，由正弦定理，有sin B1，又 A600，于是 B300 ,C900 ，符合題意 .答案： AD .23.已知函數(shù) f (x)x21, g( x)ln x ，下列說法中正確的有（）f ( x), g( x) 在點(diǎn) (1,0) 處有公切線B.存在

3、f (x) 的某條切線與g( x) 的某條切線平行f ( x), g( x) 有且只有一個(gè)交點(diǎn)f ( x), g( x) 有且只有兩個(gè)交點(diǎn)答案： 注意到 yx1為函數(shù) g( x) 在 (1,0) 處的切線，如圖，因此答案BD .4. 過拋物線y24x 的焦點(diǎn) F 作直線交拋物線于A, B 兩點(diǎn)， M 為線段 AB 的中點(diǎn) .下列說法中正確的有（）.A. 以線段 AB 為直徑的圓與直線x3 一定相離2B. | AB |的最小值為 4C. | AB |的最小值為2D.以線段 BM 為直徑的圓與y 軸一定相切答案： 對(duì)于選項(xiàng) A，點(diǎn) M 到準(zhǔn)線 x1 的距離為1(| AF| |BF|)1 | AB

4、| ，于是以線段 AB 為直徑的圓與直線x1 一定相切，進(jìn)而與232直線 x一定相離；2111對(duì)于選項(xiàng) B,C ，設(shè)( 42 ,4) ，于是 | AB | 4a22 2 ，最小值為 4.a4a4a也可將 | AB | 轉(zhuǎn)化為 AB 中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的2 倍去得到最小值；對(duì)于選項(xiàng) D ，顯然 BD 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與1 | BM |不一定相等，因此命題錯(cuò)誤 .答案： AB .2x2y2b0) 的左、右焦點(diǎn)，P 是橢圓 C 上一點(diǎn) .下列說5. 已知 F1, F2 是橢圓 C :2b2 1(aa法中正確的有（）A. a2b 時(shí)，滿足F1 PF2900 的點(diǎn) P 有兩個(gè)B. a2b 時(shí)，滿足F1PF29

5、00 的點(diǎn) P 有四個(gè)C.PF1F2 的周長小于4aa2D. PF1 F2 的面積小于等于2答案： 對(duì)于選項(xiàng) A,B ，橢圓中使得F1 PF2 最大的點(diǎn) P 位于短軸的兩個(gè)端點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng) C，F(xiàn)1PF2 的周長為 2a2c 4a ；1 | PF1 | | PF2 | sin F1 PF22對(duì)于選項(xiàng) D ，F(xiàn)1PF2 的面積為1|PF1| |PF2|1 a 2.2222答案： ABCD .6.甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加比賽，有兩花獲獎(jiǎng).比賽結(jié)果揭曉之前，四個(gè)人作了如下猜測：甲：兩名獲獎(jiǎng)?wù)咴谝?、丙、丁中；乙：我沒有獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)了；.丙：甲、丁中有且只有一個(gè)獲獎(jiǎng)；?。阂艺f得對(duì) .已知四個(gè)人中有且只有兩

6、個(gè)人的猜測是正確的，那么兩個(gè)獲獎(jiǎng)?wù)呤牵ǎ〢. 甲B.乙C.丙D. 丁答案： 乙和丁同時(shí)正確或者同時(shí)錯(cuò)誤，分類即可，答案：BD .7. 已知 AB 為圓 O 的一條弦（非直徑） ， OCAB 于 C ， P 為圓 O 上任意一點(diǎn)，直線PA與直線 OC 相交于點(diǎn) M ，直線 PB 與直線 OC 相交于點(diǎn)N .以下說法正確的有（）A. O,M , B,P 四點(diǎn)共圓B. A,M ,B,N 四點(diǎn)共圓C. A,O, P, N 四點(diǎn)共圓D.以上三個(gè)說法均不對(duì)答案： 7.對(duì)于選項(xiàng) A，OBMOAMOPM 即得；對(duì)于選項(xiàng) B ，若命題成立，則 MN 為直徑，必然有MAN 為直角，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng) C，MBN

7、MOPMAN 即得 .答案： AC.8. sin A sin Bsin Ccos AcosB cosC 是ABC 為銳角三角形的（）A. 充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D. 既不充分也不必要條件答案： 必要性：由于 sin BsinCsin Bsin(2B)sin B cosB 1 ,類似地，有 sin Csin A 1, sin Bsin A1，于是 sin A sin Bsin CcosAcosBcosC .不充分性：當(dāng) A, BC時(shí)，不等式成立，但ABC 不是銳角三角形 .答案： B.249.已知 x, y, z 為正整數(shù)，且 xyz ，那么方程1111 的解的組數(shù)為（

8、）xyz2A. 8B. 10C.11D. 12答案： 由于 11113，故 3 x6 .2xyzx若 x3，則 ( y6)( z6)36 ，可得 ( y, z)(7,42), (8,24),(9,18), (10,15), (12,12) ；若 x4，則 ( y4)( z4)16 ，可得 ( y, z)(5,20), (6,12),(8,8)；若 x5，則 3112 , y20 , y5,6 ，進(jìn)而解得 (x, y, z)(5,5,10) ；10yzy3.若 x6，則 ( y 3)( z 3)9 ，可得 ( y, z)(6,6) .答案： B.10.集合 A a1, a2 , , an ，任取

9、1 ij kn, ai a jA, a j akA, akaiA 這三個(gè)式子中至少有一個(gè)成立，則n 的最大值為（）A. 6B. 7C.8D. 9答案： 不妨假設(shè) a1 a2an，若集合 A 中的正數(shù)的個(gè)數(shù)大于等于4，由于 a2a3 和a2a4 均大于 a2 ，于是有 a2a3a2a4a1 ，從而 a3a4 ，矛盾！所以集合A 中至多有 3 個(gè)正數(shù) .同理可知集合A 中最多有 3 個(gè)負(fù)數(shù) .取 A 3, 2, 1,0,1,2,3 ，滿足題意，所以 n 的最大值為 7.答案 B .11.已知10 ,610 ,1210 ，則下列各式中成立的有（）A. tantantantantantan3B. ta

10、ntantantantantan3tantantan3C.tantantantantantan3D.tantantan答案： 令 xtan, ytan, ztan，則 yxzyxz3 ，1xy1yz1 zx所以 yz3(1xy), zy3(1yz), xz3(1zx) ，以上三式相加，即有xyyzzx3.類似地，有 113( 11), 113( 11), 113( 11) ，xyxyyzyzzxzx以上三式相加，即有111xy z3 .xyyzzxxyz答案 BD.12.已知實(shí)數(shù) a, b, c滿足abc114b14c1 的最大值也最小值乘，則 4a積屬于區(qū)間（）A. (11,12)B. (1

11、2,13)C. (13,14)D.(14,15).答案：設(shè)函數(shù) f ( x)4x1 ，則其導(dǎo)函數(shù) f / ( x)2，作出 f ( x) 的圖象， 函數(shù) f (x)4x1的圖象在 x1 處的切線 y221 ( x1)21，以及函數(shù)f ( x) 的圖象過點(diǎn) (1,0)和37334( 3 , 7 ) 的割線 y4 x1，如圖，277于是可得4x14x 1221(x1)217773，3左側(cè)等號(hào)當(dāng) x1或 x3時(shí)取得； 右側(cè)等號(hào)當(dāng) x1時(shí)取得 .因此原式的最大值為21 ，423當(dāng) abc1時(shí)取得；最小值為7 ，當(dāng) ab1 , c3時(shí)取得，從而原式的最大值342與最小值的乘積為73(144,169) .

12、答案 B.13.已知 x, y, zR, xyz1, x2y 2z21，則下列結(jié)論正確的有（）A. xyz的最大值為 0B.xyz的最大值為42721C. z 的最大值為D.z 的最小值為33答案： 由 xyz1, x2y2z21 可得 xyyzzx0 .設(shè) xyz c ，則 x, y, z 是關(guān)于t 的 方 程 t 3t 2c0的三 個(gè) 根 . 令 f (t)t 3t 2c ， 則 利 用 導(dǎo) 數(shù) 可 得f (0)c040 ，等號(hào)顯然可以取到 .故選項(xiàng) A,B 都對(duì) .f ( 2)4，所以cxyzc270327因?yàn)?(xy)2(1z)22( x2y2 )2(1z2 ) ，所以1z 1 ，等號(hào)

13、顯然可以取到，3故選項(xiàng) C錯(cuò)誤.答案 ABD .14.數(shù)列 an 滿足 a11, a22,an26an 1an (nN * ) ，對(duì)任意正整數(shù)n ，以下說法中正確的有（）A. an21an2 an 為定值B. an1(mod 9) 或 an2(mod 9)C. 4an 1an7為完全平方數(shù)D. 8an 1 an7為完全平方數(shù)答案： 因?yàn)?an22an3an1an22(6an2an1 )an1an226an 2an 1an21.an 2 ( an 2 6an 1 ) an21an21an 2 an .所以 A 選項(xiàng)正確；由于 a3 11 ，故 an21an 2anan2 1(6an 1an )a

14、nan216an 1anan27 ，又對(duì)任意正整數(shù)恒成立，所以4an 1an7(an1an ) 2,8an1an7(an1an ) 2 ，故選項(xiàng) C,D 正確 .計(jì)算前幾個(gè)數(shù)可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤.答案： ACD .說明：若數(shù)列 an 滿足an 2pan 1an，則 a2aa為定值.n 1n 2 n15. 若復(fù)數(shù) z 滿足 z11，則 z 可以取到的值有（）z1B.1C.51D.51A.2222答案： 因?yàn)?| z |111 ，故51| z |51，等號(hào)分別當(dāng)z51| z |z222i 和z5 1i 時(shí)取得 .答案 CD .216. 從正 2016 邊形的頂點(diǎn)中任取若干個(gè)，順次相連構(gòu)成多邊形， 若正

15、多邊形的個(gè)數(shù)為 （）A. 6552B. 4536C. 3528D. 2016答案： 從 2016 的約數(shù)中去掉1， 2，其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù).設(shè)從 2016 個(gè)頂點(diǎn)中選出 k 個(gè)構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有2016 個(gè)，因此所求的正多邊形的個(gè)數(shù)就是k2016 的所有約數(shù)之和減去2016 和 1008.考慮到 201625327 ，因此所求正多邊形的個(gè)數(shù)為(12481632)(139)(1 7)201610083528 .答案 C.x2y21(ab0) 與直線 l 1 : y1 x,l2 : y1 x ，過橢圓上一點(diǎn)P 作17.已知橢圓2b2a22l1, l2 的平行線，分別交l1

16、 , l 2 于 M , N 兩點(diǎn) .若 | MN |為定值，則a（）bA. 2B. 3C. 2D. 511111x01答案： 設(shè)點(diǎn) P( x0 , y0 ) ，可得 M ( x0 y0,x0y0 ), N ( x0y0 ,y0 ) ，242242.故意 |MN |1 x024 y02 為定值，所以 a2416,a2 ，答案： C.4b21b4說明：（ 1）若將兩條直線的方程改為ykx ，則a1bk；（2）兩條相交直線上各取一點(diǎn)M , N ，使得 | MN |為定值，則線段MN 中點(diǎn) Q 的軌跡為圓或橢圓 .18.關(guān)于 x, y 的不定方程 x 21652 y 的正整數(shù)解的組數(shù)為（）A. 0B

17、. 1C. 2D. 3答案： 方程兩邊同時(shí)模 3，可得 x22y (mod 3) ，因 2 y 不能被3 整除，故 x2不能被 3 整除，所以 x21(mod 3) ，故 2y1(mod 3)，所以 y 為偶數(shù)，可設(shè) y2m(m N * ) ，則有(2mx)(2mx)615 35 41 ，解得2mx5,x59,2mx123,即y答案： B.12.19.因?yàn)閷?shí)數(shù)的乘法滿足交換律與結(jié)合律，所以若干個(gè)實(shí)數(shù)相乘的時(shí)候，可以有不同的次序.例如，三個(gè)實(shí)數(shù)a, b, c 相乘的時(shí)候，可以有(ab)c, (ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序 .記 n 個(gè)實(shí)數(shù)相乘時(shí)不同的次序有I n 種，則（）A

18、. I22B. I3 12C. I496D. I5120答案： 根據(jù)卡特蘭數(shù)的定義，可得I nCn1Ann1C2nn12n!(n1)!C2nn11 .答案： AB .n關(guān)于卡特蘭數(shù)的相關(guān)知識(shí)見卡特蘭數(shù)計(jì)數(shù)映射方法的偉大勝利.20.甲乙丙丁 4 個(gè)人進(jìn)行網(wǎng)球淘汰賽，規(guī)定首先甲乙一組、丙丁一組進(jìn)行比賽，兩組的勝者爭奪冠軍 .4 個(gè)人相互比賽的勝率如表所示：表中的每個(gè)數(shù)字表示其所在的選手擊敗其所在列的選手的概率，例如甲擊敗乙的概率是0.3，乙擊敗丁的概率是0.4.那么甲刻冠軍的概率是.答案： 根據(jù)概率的乘法公式，所示概率為0.3(0.50.30.50.8)0.165 .21.在正三棱錐P ABC中，

19、ABC的邊長為1.P到平面ABC的距離為x ，異面直線設(shè)點(diǎn)AB, CP 的距離為 y .則 lim y.x.答案：當(dāng) xCP趨于與平面ABC垂直，所求極限為ABC中AB邊上的高，為.時(shí)，3222.如圖，正方體ABCDA1 B1C1D1 的棱長為1，中心為 O, BF1 BC, A1E1 A1A ，則四面體 OEBF 的體積為24.答案： 如圖，VOEBFVOEBF1 VGEBF21 VE GBF11 VEBCC1B11.22 169623.2)2 n 1 (1 sin 2nx)dx.( x02(x)2n1 (1sin 2n x)dxx2n1 (1sin 2n x)dx0 .答案： 根據(jù)題意，有

20、024.實(shí)數(shù) x, y 滿足 ( x2y2 )34x2 y 2 ，則 x 2y2 的最大值為.答案：根據(jù)題意，有 ( x2y2 )34x2 y2(x2y2 ) 2 ，于是 x2y21，等號(hào)當(dāng) x2y212時(shí)取得，因此所求最大值為1.25.x, y, z 均為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足( x12(t1)2( z3227y z 的最大值)，則 x.224與最小值分別為答案： 由柯西不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)( x, y, z)(1, 1 ,0) 時(shí)， xyz 取到最大值3.1322根據(jù)題意，有 x2y 2z2x 2 y 3z，4于是 13() 23(),解得 x y z2234x y zx y z y2.于是 xy

21、z 的最小值當(dāng) ( x, yz)(0,0,223) 時(shí)取得，為223.2226.若 O 為ABC 內(nèi)一點(diǎn)， 滿足 S AOB : S BOC : S COA4:3:2，設(shè) AOABAC，則.答案： 根據(jù)奔馳定理，有24299.327.已知復(fù)數(shù) z cos 2i sin 2，則 z3z2z22.33z答案： 根據(jù)題意，有 z3z2z21z2zcos 5i sin 513 i .z2332228.已知 z 為非零復(fù)數(shù)，z , 40 的實(shí)部與虛部均為不小于1 的正數(shù)，則在復(fù)平面中，z 所對(duì)10z應(yīng)的向量 OP 的端點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為.x1, y1,答案： 設(shè) zxyi ( x, yR) ，由于 4040 z ，于是101040yz| z |240 xx2y 21, x2y 21,如圖，弓形面積為1202(sin)100100 ，2663四邊形 ABCD 的面積為21 (10310)101003100 .2100200于是所示求面積為2(100)(1003100)1003300.3329.若 tan 4x3sin 4xsin 2xsin xsin x.3，則cos8x cos4xcos4x cos2