函數(shù)與方程思想

1、 函數(shù)與方程的思想函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其它內(nèi)容時(shí)，起著重要作用；方程思想是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是培養(yǎng)運(yùn)算能力的基礎(chǔ)，高考把函數(shù)與方程思想作為重要思想方法重點(diǎn)來(lái)考查.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，它用聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)研究、描述客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系，形成變量數(shù)學(xué)的一大重要基礎(chǔ)和分支. 函數(shù)思想以函數(shù)知識(shí)做基石，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析、研究數(shù)學(xué)對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，使函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用得到極大的擴(kuò)展，豐富并優(yōu)化了數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，給數(shù)學(xué)解題帶來(lái)很強(qiáng)的創(chuàng)新能力. 因此，函數(shù)思想是數(shù)學(xué)高考?？嫉臒狳c(diǎn). 函數(shù)思想在高考中的應(yīng)用主要

2、是函數(shù)的概念、性質(zhì)及圖像的應(yīng)用.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中各個(gè)量及其關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言建立方程或方程組、不等式或不等式組或構(gòu)造方程或方程組、不等式或不等式組，通過求方程或方程組、不等式或不等式組的解的情況，使問題得以解決函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切，解方程就是求函數(shù)當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)自變量的值；求綜合方程的根或根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)，正是這些聯(lián)系，促成了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的互化互換，豐富了數(shù)學(xué)解題的思想寶庫(kù).函數(shù)與方程的思想在解題應(yīng)用中主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1) 借助有關(guān)初等函數(shù)的圖象性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)方程(等式)或不等式，討論參數(shù)的取值范圍等問題

3、；(2) 通過建立函數(shù)式或構(gòu)造中間函數(shù)把所要研究的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)模型，由所構(gòu)造的函數(shù)的性質(zhì)、結(jié)論得出問題的解由于函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的舉足輕重的地位，因而函數(shù)與方程的思想一直是高考考查的重點(diǎn)，對(duì)基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)要牢固掌握，另外函數(shù)與方程的思想在解析幾何、立體幾何、數(shù)列等知識(shí)中的廣泛應(yīng)用也要重視一、函數(shù)思想的應(yīng)用1顯化函數(shù)關(guān)系在方程、不等式、數(shù)列、圓錐曲線等數(shù)學(xué)問題中，將原有隱含的函數(shù)關(guān)系凸顯出來(lái)，從而利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)方法解決問題.【例1】已知，若點(diǎn)在線段上，則的最大值為（）A.1 B.3 C.7 D.8 【分析】本題是解析幾何問題，由所在直線方程可得與的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域的

4、問題?！窘馕觥坑深}意得，線段所在直線方程: ，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)最大值為7，故選C 【小結(jié)】本題考查求函數(shù)值域的常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法，對(duì)于二元函數(shù)的值域問題，其解法要針對(duì)具體題目的條件而定，有些題目可以將二元函數(shù)化為一元函數(shù)求值域求函數(shù)的值域是個(gè)較復(fù)雜的問題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調(diào)性法，即根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是較為簡(jiǎn)單且常用的方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題，方程都具有隱含的函數(shù)關(guān)系，都可以看成關(guān)于的函數(shù)，在解決解析幾何問題中，有意識(shí)凸顯其函數(shù)關(guān)系、從而用函數(shù)思想或函數(shù)方法研究、解決問題，不僅能獲得簡(jiǎn)便優(yōu)秀的解法，且能促進(jìn)科學(xué)思維的培養(yǎng)，提高發(fā)散思維

5、的水平.2轉(zhuǎn)換函數(shù)關(guān)系在函數(shù)綜合問題、恒成立問題中逆求參數(shù)的取值范圍，按照原有的函數(shù)關(guān)系很難奏效時(shí)，通常靈活轉(zhuǎn)換思維角度，放棄題設(shè)的主參限制，挑選合適的主變?cè)?，即參變分離，揭示它與其它變?cè)暮瘮?shù)關(guān)系，切入問題本質(zhì)，從而使原問題獲解.【例2】已知函數(shù) ，其中為常數(shù)，若當(dāng) 時(shí)， 有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】參數(shù)隱含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于的不等式（組）非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，進(jìn)行參變分離，設(shè)法從原式中把分離出來(lái)，重新認(rèn)識(shí)與其它變?cè)囊来骊P(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，?？墒乖瓎栴}很容易解決.【解析】由題意得，且，即.當(dāng) 時(shí)， 和 都是減函數(shù)， 在 上是增函數(shù)， ，故的取值范

6、圍為 .【小結(jié)】發(fā)掘、提煉多變?cè)獑栴}中變?cè)g的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解.本題主客換位后，利用新建函數(shù) 的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值，巧妙地求出了實(shí)數(shù)的取值范圍， 此法也叫參變分離法.3建立函數(shù)關(guān)系對(duì)于實(shí)際問題，在正確過好事理關(guān)，文理關(guān)，明白題意后，根據(jù)題目的要求，選擇相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，是函數(shù)思想應(yīng)用的一個(gè)熱點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).【例3】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千

7、米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí). 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【分析】本題是函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，由圖像判斷燃油效率隨著速度的變化該如何變化.【解析】“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，A錯(cuò)誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯(cuò)誤，C中甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km，消耗8

8、升汽油，C錯(cuò)誤，D中某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí). 由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油,選D.【小結(jié)】1.函數(shù)應(yīng)用問題考慮實(shí)際意義；2.對(duì)“燃油效率”新定義的理解；3.對(duì)函數(shù)圖像的理解.二、方程思想的應(yīng)用方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中各個(gè)量及其關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言建立方程或方程組、不等式或不等式組或構(gòu)造方程或方程組、不等式或不等式組，通過求方程或方程組、不等式或不等式組的解的情況，使問題得以解決1.構(gòu)造方程分析題目中的未知量，根據(jù)條件列出關(guān)于未知數(shù)的方程（組），使原問題得到解決，叫構(gòu)造方程法，是應(yīng)用方程思想中最常見的用法. 【例4】.已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，

9、若，則_.【分析】等差數(shù)列中計(jì)算需求出.【解析】是等差數(shù)列，故填：【小結(jié)】1.等差數(shù)列基本性質(zhì)；2.在等差數(shù)列五個(gè)基本量，中，已知其中三個(gè)量，可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來(lái)求余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)須注意整體代換及方程思想的應(yīng)用.2.待定系數(shù)待定系數(shù)法，一種求 HYPERLINK /item/%E6%9C%AA%E7%9F%A5%E6%95%B0 t _blank 未知數(shù)的方法。將一個(gè)表達(dá)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，然后根據(jù)已知得出系數(shù)應(yīng)滿足的 HYPERLINK /item/%E6%96%B9%E7%A8%8B t _blank 方程或

10、HYPERLINK /item/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84 t _blank 方程組，其后通過 HYPERLINK /item/%E8%A7%A3%E6%96%B9%E7%A8%8B t _blank 解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。 【例5】已知雙曲線 （，）的一條漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則_；_.【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線的關(guān)系列方程組求值.【解析】依題意有,結(jié)合,解得.【小結(jié)】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，會(huì)利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).3.整

11、體消元 解析幾何中，面對(duì)復(fù)雜的問題，通?？梢岳迷O(shè)而不求方法、整體消元的思想，這樣可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.【例6】已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn).（）求橢圓的方程及離心率；（）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值.【分析】（）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（II）四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，分別求出對(duì)角線,的值求乘積為定值即可.【解析】（I）由題意得，.所以橢圓C的方程為，又，所以離心率 （）設(shè)，則又，所以，直線的方程為.令，得，從而.直線的方程為.令，得，從而.所以四邊形面積為：.從而

12、四邊形的面積為定值【小結(jié)】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.三函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)用在解綜合題中，解決一個(gè)問題常常不止需要一種數(shù)學(xué)思想，而是兩種數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)用，例如函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)用，它們間的相互轉(zhuǎn)換一步步使問題獲得解決，轉(zhuǎn)換的途徑為函數(shù)方程函數(shù)，或方程函數(shù)方程.【例7】已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（A） （

13、B） （C）（D）【分析】函數(shù) 恰有4個(gè)零點(diǎn)有4個(gè)不同的解函數(shù)與函數(shù)的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)【解析】由得，所以，即,所以恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有4個(gè)不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知.故選 D【小結(jié)】1.求函數(shù)解析式；2.函數(shù)與方程；3.數(shù)形結(jié)合.數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型為方程，或必須使用待定系數(shù)法確定某些字母的值時(shí)，應(yīng)建立相應(yīng)的方程（組），把問題轉(zhuǎn)化為方程求解.函數(shù)和方程的思想簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是學(xué)會(huì)用函數(shù)和變量來(lái)思考，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系，對(duì)函數(shù)和方程思想的考查，主要是考查能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題，一般情況下，凡是涉及未知數(shù)問題都可能用到函數(shù)與方程的思想練習(xí)：一、選擇題1. 已

14、知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,則 （A）100 （B）99 （C）98 （D）972直線與軸、軸都相交，交點(diǎn)分別記為A、B，OAB的面積為，則下面結(jié)論正確的是（ ）A不是 的函數(shù) B是奇函數(shù)C是偶函數(shù) D是 的函數(shù)，但為非奇非偶函數(shù)3設(shè) ，如果 恒成立，那么（ ）A B C D4函數(shù) ， ，使 在 上的值域?yàn)?，則這樣的實(shí)數(shù)對(duì) 共有（ ）A1個(gè)B2個(gè) C3個(gè)D4個(gè)5已知 ，則在數(shù)列 的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是（ ）A B C D 6四面體有五條棱長(zhǎng)為1，一條棱長(zhǎng)為，設(shè)其體積為，那么函數(shù)在其定義域上（ ）A是增函數(shù)但無(wú)最大值 B是增函數(shù)且有最大值 C不是增函數(shù)且無(wú)最大值 D不是增函數(shù)但有最

15、大值二、填空題7若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.8已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .9.設(shè)函數(shù).若，則的最大值為_；若無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.三、解答題10某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖如圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為200平方米的十字形域，計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200元，在四旁四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為每平方米80元.（1）設(shè)總造價(jià)為元，長(zhǎng)為米，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時(shí)最小，并求出這個(gè)最小值. 參考答案：一、選擇題1 C 2C 3D 4 D 5C 6D二、填空題7或8 解析：分析題意可知，問題等價(jià)于方程與方