近世代數 子群

1、近世代數課件 子群第1頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三8.1定義與例 討論子對象是一個常用的代數方法.我們看一個群 假如由 里取出一個非空子集 來，那么利用 的乘法可以把 的兩個元相乘對于這個乘法來說， 很可能也作成一個群定義一個群 的一個非空子集 叫做 的一個子群，假如 對于 的乘法來說作成一個群, 用符號 表示例給了一個任意群 ， 至少有兩個子群： ；只包含單位元 的子集第2頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三例 ， ， 那么 是 的一個子群因為： 對于 的乘法來說是閉的， ， ， ；結合律對于所有 的元都對，對于 的元也對； ； ， 更多的

2、例子注1: 的乘法必須是 的乘法注2: 驗證 是子群時有些條件可以省略.第3頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三8.2 等價條件引理:設 , 那么(1)(2) , 對于 中運算定理一個群 的一個不空子集 作成 的一個子群的充分而且必要條件是：（）（）第4頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三證明若是（），（）成立， 作成一個群由于（）， 是閉的；結合律在 中成立， 在中自然成立；因為 至少有一個元 ，由（）， 也有 元 ，所以由（），由（），對于 的任意元 來說， 有 元 ，使得反過來看 ，假如 是一個子群 ，（）顯然成立我們證明，這時（）也一定成立

3、證完（），（）兩個條件也可以用一個條件來代替第5頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三定理一個群 的一個不空子集 作成 的一個子群的充分而且必要條件是：（） 證明 I. 我們先證明，（）和（）成立，（）就也成立 假定 ， 屬于 ，由（）， ，由（）， II.現在我們反過來證明，由（）可以得到（）和（） 假定 由（）， ，于是 （）成立第6頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三假定 ， 由剛證明的， ；由（）， ,即 (i) 成立證完假如所給子集 是一個有限集合，那么 作成子群的條件更要簡單定理一個群 的一個不空有限子集 作成 的一個子群的充分而且必要條件

4、是：證明這個條件是必要的，無須證明我們證明它是充分的因為 是有限集合，我們使用有限的定義證明.第7頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三8.3 生成子群 現在我們要認識一種找一個子群的一般方法 我們在一個群 里任意取出一個非空子集 來，包含元 ， ， ， ，.那么 當然不見得是一個子群, 但是我們可以把 擴大一點，而得到一個包含的子群 利用 的元以及這些元的逆元我們可以作各種乘積，比方說， ， ， ，等等設集合 剛好包含所有這樣的乘積, 可以證明:第8頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三 (1). 作成一個子群因為兩個這樣的乘積乘起來還是一個這樣的乘積

5、， 一個這樣的乘積的逆元也是一個這樣的乘積, 由定理， (2) 對任何一個包含 的子群 , 一定包含 這一點容易看出： 既是一個子群，它又包含所有 的元 ， ， ，兩個條件，因而根據定理1，它必須包含所有的上面所作的那些乘積；這就是說， 由 (1)和(2)， 是包含 的最小的子群 第9頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三 定義如上得到的 叫做由 生成的子群，我們用符號 來表示它 假如我們取一個只包含一個元 的子集 ，那么是一個循環(huán)子群例3 生成子群很復雜,給出一些簡單的例子第10頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三8.4 子群的運算兩個子群的交仍然是

6、子群兩個子群的并不一定是子群群的子集的運算容易證明: , ,設A，B是群G的兩個非空子集,規(guī)定第11頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三等價條件的另外表達 定理1一個群 的一個不空子集 作成 的一個子群的充分而且必要條件是：（）（） 定理一個群 的一個不空子集 作成 的一個子群的充分而且必要條件是：（） 定理3一個群 的一個不空有限子集 作成 的一個子群的充分而且必要條件是：第12頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三證明: 僅證明定理1 設H是G的子群, 那么 , (?)另一方面, , 所以 , 注意: ,所以 . 反過來, 構成 的一個子群.第13頁，共15頁，2022年，5月20日，18點42分，星期三子群的乘積例4 兩個子群的乘積一般不是子群.S3 中，H=(1),(12)N =(1),(13), HN =(1),(13),(12),(132)不是子群定理4 設H,K是G的兩個子群,那么 HK是子群 HK=KH證明: 如果HK是子群, 那么 (HK)-1=HK,同時, (HK)-1=K-1H-1=KH, 所以 HK=KH反過來, 如果HK=KH (HK)(HK)=(HK)(KH)=.=HK (HK)-1=K-1H-1=KH=HK注: