空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律2了解平行（共線）向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.3.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新知夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)久與空間向量a的乘積加仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義久0加與向量a的方向相同久V0加與向量a的方向相反加的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的1刀倍久=0加=0,其方向是任意的運(yùn)算律分配律久(a+b)=Aa+Ab結(jié)合律久(wa)=a)a知識(shí)點(diǎn)二共線向量與共面向量思考1回顧平面向量中關(guān)于向量共線的知

2、識(shí)，給出空間中共線向量的定義答案如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量思考2空間中任何兩個(gè)向量都是共面向量，這個(gè)結(jié)論是否正確？答案正確根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進(jìn)行平移，空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為共面向量梳理平行（共線）向量與共面向量共線（平行）向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b（bM0），若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量pAAA,B,DBA,B,Callb的充要條件是存在實(shí)數(shù)久，使a-Xb與a,b

3、共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使p-xa+yb如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使OP-OA+ta，其中a叫做直線l的方向向量，Q如圖，空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)推論如圖所示.的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使MP-xMA+yMB，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O來說，有OP-OM+xMA+yMB若在l上取AB-a則式可化為OP-OA+tABp-思考辨析判斷正誤1若p二xa+y乃，則p與a,b共面.(d)若p與a,b共面，則p=xa+yb.(X)若MP=xMA+yMB，則P,M,A,B共面.(d)(4)若P,

4、M,A,B共面，則MP二xMA+yMB.(X)題薩探究啟迪惠維探兗董點(diǎn)類型一共線問題例1(1)已知向量a,b,且AB=a2b,BC=5a+6b,CD=7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是()CCB，C，DDA，C，D設(shè)e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知AB=e1+ke2，BC=5e1+4e2,DC=-e2e2,且A,B,D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k=.考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷答案(1)A(2)1解析(1)因?yàn)锳D=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB，故ADAB，又AD與AB有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線(2)yAD=AB+BC+CD=7el+(k+6)e2且AB與AD

5、共線，故AD=xAB,即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又Ve1,e2不共線，7-x07-x0,、k+6-kx0,解得故k的值為1.、k1,反思與感悟(1)判斷向量共線的策略熟記共線向量的充要條件：(i)若allb,bM0，則存在唯一實(shí)數(shù)久使a肋;(ii)若存在唯一實(shí)數(shù)久，使a肋，bHO，則ab.判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù)九(2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線.存在實(shí)數(shù)久，使PAAPB成立.對(duì)空間任一點(diǎn)O，有OPOA+tAB(tWR).對(duì)空間任一點(diǎn)O，有OpxdA+ydB(x+y1).跟蹤

6、訓(xùn)練1如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷向量EF與AD+BC是否共線?考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷解設(shè)AC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G，.jeF=Eg+G;F=1Bc+bC),.jeF=Eg+G;F=1Bc+bC),EF與AD+BC共線.類型二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用QipCiAB例2如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)-Ai=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1，BC,Cp的中點(diǎn)，試用a,b,QipCiAB(1)AAP；(2)A-A1N；(3)MAPN-AC1.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算A-A-A

7、解(1)AP二AD+DP二(AA+AD)+|aB=a+c+*b.(2)AN=AAA+AN=-AAa1+AB+AD=-a+b+2c.A-A-A-A-AA-A(3)MP+NC二(MA+AD1+DP)+(NC+CC)=2aA+AD+*AB+AD+AAa1=|AAi+tAD+2AB=2a+2b+2C.引申探究若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且諾二1”，其他條件不變，如何表示AP?解AP二AA+DAP二AA+AD+|AB二a+c+2b.反思與感悟利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知

8、向量(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E在Ap上，且AAE=2E-Di，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且人了=2走.求證：E,F,B三點(diǎn)共線.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用證明設(shè)AB-a,AD=b,AA1=c.因?yàn)閍a=2edi,A-fFC,所以AE-|人花，AF-IAC,所以Ae-|aD-jb,-A|A-A|AAAF-5（AC-AA1）-5（AB+AD-A-A-A|4|所以EF-A1F-AlE-5a-15b-5c又EB-EA1+A1A+AB-jb-c+a-a-jb-c,所以EF=|EB,又因?yàn)镋F與EB

9、有公共點(diǎn)e，所以e,f,b三點(diǎn)共線.類型三空間向量共面問題例3(1)已知A,B,M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O,確定在下列條件下,點(diǎn)P是否與A，B，M一定共面OM+OB=3oP-OA；Op=4oa-OB-OM.(2)已知A,B,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)M滿足OM=|OA+3OB+|Oc.MAMB,MC三個(gè)向量是否共面？點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)？考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用解TOM+OB-jOP-OA,.OP=OM+(OA-OP)+(OB-OP)=om+Pa+pb:.(Op-(5m=pa+Pb:.mp=pa+pb,:.mp,PA,PB為共面向量，:.P與A,B,M共面.OP

10、=2OA+(OA-(JB)+(dA-OM)=2CpA+IpA+MA根據(jù)空間向量共面的推論，點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是OP=OA+xBA+yMlA,:.P與A，B，M不共面.(2)yOA+OB+OC=3OM.OA-OM=(O)M-OB)+(OM-Oc),ma=ma=bM+cM=-M-AB-M-AC，:.向量MJA,mb,MC共面.由知向量M；A,MB,MC共面，又它們有共同的起點(diǎn)M,且A，B，C三點(diǎn)不共線，.M，A，B，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).反思與感悟向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠

11、逆用它求參數(shù)的值.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)H為PC上的點(diǎn)，且1AG=2，點(diǎn)G在AH上，且麗=血，若G,B,P,D四點(diǎn)共面，求m的值.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用解連接BG.因?yàn)閍b=Pb-Pa,Ajb=DDc,所以DC=PB-PA,因?yàn)镻c=PD+Dc,所以Pc=Pd+PB-PA=-PA+pB+Pd.因?yàn)镠c=2，所以PH=pC,所以PH=3(-Pa+PB+PD)1p1p1p=-3PA+-jPB+-jPD,又因?yàn)锳pH=PpH-PpA，所以AH=+|pb+1pd因?yàn)閍h=m，pp4mpmpmp所以AG=mAH=3PA+3PB+jPD,因

12、為BpG=-ApB+ApG=PpA-PpB+ApG，所以BG=(1-43l)Pa+(3-JpB+PD又因?yàn)镚，B，P，D四點(diǎn)共面，4m小3所以1-丁=0,m=4，3即m的值是3達(dá)標(biāo)檢測(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)檢測(cè)評(píng)價(jià)達(dá)標(biāo)過關(guān)1下列命題中正確的是()若a與b共線，b與c共線，則a與c共線向量a,b,c共面，即它們所在的直線共面C零向量沒有確定的方向D.若ab,則存在唯一的實(shí)數(shù)久，使a=Ab考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)線線平行的判定答案C解析零向量的方向是任意的3112.a,b,c不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若（Op=4（Oa+8（Ob+80c,則p,a,b,c四點(diǎn)（）不共面B.共面不一定共面D.無法判斷是否共面考點(diǎn)

13、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案B解析（OP=4ojA+|（OB+8oc=3OA+8（OA+AB）+8（OA+Ac）=（Oa+8ab+|Ac,由共面的充要條件，知p，A，B，c四點(diǎn)共面3下列條件，能說明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是（）A.AB+BC=ACB.AB-BC=ACc.AB=Bcd.iAbi=iBci考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案C解析由Alb=bc知AB與BC共線，又因有一共同的點(diǎn)b,故a,b,c三點(diǎn)共線.4.若非零空間向量ex，e2不共線，則使2滋e2與ex+2（k+1）e2共線的k的值為考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用1

14、一221一22乙-若,案析2k答解則+(k2+-e與2、總線共21-2-一一k1-2-一一kV、-1=2A(k+1),5.右非零空間向量ex，e2不共線，則使kex+e2與ex+ke2共線的k=考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案1解析由ke+e2與e+ke2共線，k=X,得ke1+e2=X（e1+ke2），即故k=1.1211=Xk,p-規(guī)律與方法1.四點(diǎn)P,A,B,C共面對(duì)空間任意一點(diǎn)O,都有（Op=xOA+y（OB+z（）C，且x+y+z=1.2.OP=OA+xAB+yAC稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.由此可知空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定證明（或判斷

15、）三點(diǎn)A,B,C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)久，使AB=XBC（或AB=XAC）即可，也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)o，有OC二tOA+（1-t）OB”來證明三點(diǎn)a,b,c共線.空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y），使MP=xMA+yMB,滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)都滿足這個(gè)關(guān)系式這個(gè)充要條件常用于證明四點(diǎn)共面.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注董雙基強(qiáng)化落賣一、選擇題1.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量幣，DC,入花是（）A.有相同起點(diǎn)的向量B.等長(zhǎng)向量C.共面向量D.不共面向量考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案C解析因?yàn)閐c-d1

16、A=aC，且Ac=a-c1,所以dc-da=a-c1,即dTC=da+a-c1.又DA與a-C不共線，所以DC,da，A-C三向量共面.2.在平行六面體ABCD-A1B1C12.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn).=a,A1D1=b,A1A=c,則下列向量中與BM相等的向量是（A-|a+|b+cB2a+2b+cC2a-2卅D-a-obc考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案A1解析B1M=B1B+BM=AA+Q（BA+BC）111=c+2（-a+b）=-2+2b+c.如圖所示，在四面體ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記AB=a,AC=b,AD=c,則BE等于

17、（）CD1-_+11_-CD1-_+11_-Ba-2fl+b+2c考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案B解析連接AE，VE是CD的中點(diǎn)，AC=b,AD=c,.aE=1.aE=1(Ac+AD)=2(bc)在aabe中，BE二BA+AE二-AB+AE,又AB=a又AB=a,:.BE=a+c)=L1a+2b+2cB.cbC.b_cB.cbC.b_cD.c_bT設(shè)點(diǎn)M是ABC的重心，記BC=a,CA=b,AB=c,且a+c=0,MAM等于()b_cA,2考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案D解析設(shè)D是BC邊的中點(diǎn)，VM是ABC的重心，.而AD=:.AM.而AD=:.AM=+AC

18、)=b)，*c-b).5.設(shè)空間四點(diǎn)O,A,B,P滿足OP=mOA+nOB，其中m+n=1,貝肚)點(diǎn)P一定在直線AB上點(diǎn)P一定不在直線AB上點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上AB與AP的方向一定相同考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案A解析已知m+n=1，則m=1-n,OP=(1OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+nOB即OP-OA二n(OB-OA)，即AP二nAB.因?yàn)锳BM0，所以AP和AB共線，又AP和AB有公共點(diǎn)A，所以點(diǎn)A,P,B共線，故選A.6.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有-M=xOA+3OB+|OC，則x的值1-1-3D3C0)

19、B1(為A.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案D解析OM二xOA+3亦+3C,且M，A，B，C四點(diǎn)共面，.1.1丄x+3+3=1,/.x=3，故選D.7在下列命題中：若a，b共線，則a，b所在的直線平行；若a,b所在的直線是異面直線，則a,b一定不共面；若a,b,c三向量?jī)蓛晒裁?，則a,b,c三向量一定也共面；已知三向量a,b,c,則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p=xa+yb+zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案A解析根據(jù)空間向量的基本概念知四個(gè)命題都不對(duì)二、填空題8以下命題：兩個(gè)共線向量是指在同一直線上的兩

20、個(gè)向量；共線的兩個(gè)向量互相平行；共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量；共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量其中正確命題的序號(hào)是考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量共面定理及應(yīng)用答案解析根據(jù)共面與共線向量的定義判定，知正確.129.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量Op=5Oa+3Ob+AOc定的點(diǎn)P與A,B,C共面，則2=.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用2答案吉解析VA,B,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O是平面ABC外一點(diǎn)，由向量OP二5鬲+3亦+2OC確122定的點(diǎn)P與A,B,C共面，.丐+亍+久二1，解得A=J5.10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C

21、1D1中，M,N分別為AB,B&的中點(diǎn).用ABAD,A兀表示MN,則MN=考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案*ab+2ad+|aai解析mN=mB+bC+cn1-*-*1-*二2AB+AD+2(CB+BB)1-*-*1-*=2AB+AD+2(-AD+AA1)=2ab+|ad+11設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中的八個(gè)頂點(diǎn)所成的集合為S.向量的集合P=mlm=P*2,P1，P2WS，則P中長(zhǎng)度為冷茲的向量有個(gè).考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案8解析每一條體對(duì)角線對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量，正方體共有4條體對(duì)角線三、解答題設(shè)ex，e2，e3三向量不共面，而AB=ex+2e2+3e3，BC=2e1+Ae2+