線性方程組市公開課獲獎?wù)n件

1、第三章 線性方程組一、基本概念和主要結(jié)果普通線性方程組形式是：其中 x1, x2 , , xn 是 n 個未知量，aij 稱為方程組系數(shù)， bi 稱為常數(shù)項，i = 1, 2, , m，j = 1, 2, , n.第1頁第1頁則上述方程組可簡記為AX=b.令：1.解結(jié)構(gòu)(1)設(shè)A秩r(A)=r，則AX=0只有零解當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=r=n.第2頁第2頁2.向量組線性無關(guān)鑒定：(3)AX=b有解當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=r(A,b).當(dāng)r=n時AX=b有唯一解，當(dāng)rn時有無窮解。(2)AX=0有非零解當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=rn.設(shè)X1,X2,Xn-r是AX=0一個基礎(chǔ)解系，則AX=0通解為k1X1+k2X2+

2、kn-rXn-r，其中k1,k2,kn-r為任意數(shù)。 AX=b通解為X0+k1X1+k2X2+kn-rXn-r，其中X0是AX=b一個特解， X1,X2,Xn-r是導(dǎo)出方程組AX=0一個基礎(chǔ)解系, k1,k2,kn-r為任意數(shù)。(1)向量組 線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)若 ，則必有ki=0,i=1,2,n.第3頁第3頁(2)設(shè) 為n維列向量，A是以 為列作成矩陣，則線性方程組AX=0只有零解當(dāng)且僅當(dāng) 線性無關(guān)。線性無關(guān)向量組延長向量組線性無關(guān)。(3)設(shè)向量組 =(ai1,ai2,air)，i=1,2,n，則向量組 =(ai1,ai2,air,air+1,aim)， i=1,2,n，稱為向量組 延長向量組。

3、而 稱為向量組 縮短向量組。(4)線性無關(guān)向量組部分向量組線性無關(guān)。(5)若 線性無關(guān)，且 可由 線性表出，則 線性無關(guān)。第4頁第4頁(8)一個行列式不等于零當(dāng)且僅當(dāng)它列（行）構(gòu)成向量組線性無關(guān)。(7)一個矩陣（線性變換）屬于不同特性根特性向量線性無關(guān)。(6)互相正交向量組線性無關(guān)。3.向量組線性相關(guān)鑒定：(1)向量組 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零數(shù)k1,k2,kn，使 .(2)向量組 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)該向量組中有一個向量是其余向量線性組合。第5頁第5頁(3)設(shè) 為n維列向量，A是以 為列作成矩陣，則 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A秩r(A)n，則m個由n維向量構(gòu)成向量組必定線性相關(guān)。(5)若若向量組

4、 可由 線性表出，且rs，則 線性相關(guān)。(6) 線性無關(guān)向量組 滿足對任意i1,2,m都有 線性相關(guān)，則向量組 也線性相關(guān)。(7)線性相關(guān)向量組縮短向量組線性相關(guān)。(8) ，A是n階滿秩矩陣，則 (i=1,2,n)與 線性相關(guān)。第6頁第6頁二、基本辦法3.我們稱階梯形矩陣中每行第一個不為零元素為主元，我們稱滿足下列兩個條件階梯形矩陣為行最簡形：(1)主元都等于1。1. ，i=1,2,s,令 , 假如只有零解，則 線性無關(guān)。假如有非零解，則 線性相關(guān)，這是證實 線性無關(guān)（或線性相關(guān)）一個基本辦法。2.將線性方程組用矩陣表成AX=b，或用向量表成 ，將線性方程組有解與向量線性表示互相轉(zhuǎn)化，會給解題

5、帶來一些以便。 第7頁第7頁(2)主元所在列除主元以外全為零。4. 矩陣行初等變換不改變列向量之間線性關(guān)系。 將齊次線性方程組AX=0系數(shù)矩陣A用行初等變換化成行最簡形，將主元所在未知量保留在左邊，其它未知量移到右邊，容易求出基礎(chǔ)解系。 將非齊次線性方程組AX=b增廣矩陣用行初等變換化成行最簡形，也容易求它通解。 令A(yù)=(aij)Pns,假如 , ,j=1,2,s.設(shè)Q是n階可逆矩陣，用Q左乘上式兩邊,有: 第8頁第8頁 假如 ,求向量組 一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組表示，可將 作列構(gòu)成矩陣A，然后用行初等變換將A化成行最簡形，則主元所在列為 一個極大無關(guān)組，其余列也容易用主元所在

6、列線性表示。三、例題考點1：向量空間及線性相關(guān)性考點點撥：主要對如何證實向量空間向量組之間線性相關(guān)性或無關(guān)性考察。例3.1.1(清華大學(xué),) 設(shè) 是一組線性無關(guān)向量.那么 是否線性無關(guān)？證實之。分析：對向量線性相關(guān)或無關(guān)考察，只需依據(jù)定義證實即可。第9頁第9頁令其系數(shù)矩陣為A，顯然有|A|=1+(-1)s+1 證實：若將它展開并利用 線性無關(guān)性，可得關(guān)于k1,k2,ks線性方程組為：當(dāng)s為偶數(shù)時，|A|=0，則方程組有非零解，這時 線性相關(guān)。當(dāng)s為奇數(shù)時，|A|0，則方程組僅有零解，這時 線性無關(guān)。(中科院，2)第10頁第10頁注：做這類題目一般環(huán)節(jié)是：(1)作需要證實向量組線性組合并令其為零

7、；(2)依據(jù)已知線性無關(guān)條件得到關(guān)于線性組合系數(shù)方程組；(3)依據(jù)方程組系數(shù)矩陣秩與線性組合系數(shù)個數(shù)關(guān)系判斷方程組是否只有零解，若秩與個數(shù)相等，那么方程組只有零解，顯然有需要證實向量組為線性無關(guān)，不然為線性相關(guān)。第11頁第11頁例3.1.2(浙江大學(xué)，)令 是Rn中s個線性無關(guān)向量。證實：存在含n個未知量齊次線性方程組，使得 是它一個基礎(chǔ)解系。令 現(xiàn)在證實Ax=0，即為滿足條件齊次線性方程組。 證實：記在歐氏空間Rn中，取 一組基為： 首先，由UU知， 都是方程組Ax=0解，又由于 線性無關(guān)，于是有r(A)=n-s，那么Ax=0解空間維數(shù)必為n-r(A)=n-(n-s)=s. 于是有 方程組A

8、x=0一個基礎(chǔ)解系。第12頁第12頁不可逆.例3.1.3(哈工大，)設(shè) 是一組線性無關(guān)向量， ，i=1,2,r.證實： 相關(guān)充要條件是矩陣 證實：注意到下列過程逆否命題，并令：第13頁第13頁 那么有 于是有不可逆 相關(guān)充要條件是矩陣第14頁第14頁 證實: (1)充足性證實：向量組 線性無關(guān)充要條件是向量組 線性無關(guān)。例3.1.4(哈工大，)設(shè)向量：記線性組合把表示式代入，那么由于線性無關(guān)，有第15頁第15頁注意到其系數(shù)矩陣行列式于是方程組(1)僅有零解，即向量組線性無關(guān).第16頁第16頁(2)必要性注意到系數(shù)矩陣A可逆，由那么有那么與充足性同樣過程，當(dāng)向量組線性無關(guān)，且|A-1|0知向量組

9、線性無關(guān). 注:向量組線性相關(guān)、無關(guān)定義分別為: (1)Kn中向量組 是線性相關(guān),那么存在K中不全為零數(shù)k1,k2,ks,使得:第17頁第17頁例3.1.5(武漢大學(xué)，)設(shè)是nr矩陣,是ns矩陣.r(A)=r,r(B)=s.證實:若r+sn,則必存在非零向量 ，使得 既可由 線性表示，又可由 線性表示。(2)Kn中向量組 假如不是線性相關(guān),則稱為線性無關(guān).即假如從能夠推出所有系數(shù)k1,k2,ks全為零,則稱向量組 是線性無關(guān). 分析:能夠利用正交補性質(zhì)簡化證實。第18頁第18頁證實：不妨記n維向量空間全體為Rn，令。顯然有dim(U+V)=dim(Rn)=n.又有dim(U)=n-r,dim(

10、V)=n-s.那么由0dim(UV) = dim(U)+ dim(V)- dim(U+V) = n-r-s顯然要證實題目結(jié)論，只要證實UV 即可，用反證法.若UV= ，等式兩邊取正交補，并利用正交補性質(zhì)，那么有：第19頁第19頁即r+sn.這與題目條件相矛盾，于是有UV 也即必存在非零向量 ，使得 既可由 線性表示，又可由 線性表示。是線性無關(guān)？線性無關(guān)，問：當(dāng)參數(shù)t1,t2滿足什么條件時，向量組例3.1.6(東南大學(xué)，)已知向量組 解：若要向量組線性無關(guān)，那么只要下列系數(shù)矩陣第20頁第20頁秩r(A)=s-1即可.若t1=t2=0，顯然有A為零陣，毫無疑問是線性相關(guān)。注意到矩陣A前面s-1行

11、和后面s-1行子式值分別為第21頁第21頁那么假如t10或t20，都使得矩陣A會有一個s-1階子式不為零，這時有s-1r(A) s-1，即r(A)=s-1，于是 是線性無關(guān)。從而有： 若t10或t20，線性無關(guān). 類似題目如: 例3.1.7(中科院，)設(shè) 是齊次線性方程組AX=0基礎(chǔ)解系,s,tR,試問:s,t滿足什么關(guān)系時,使得 是方程組AX=0基礎(chǔ)解系,反之,當(dāng) 是方程組AX=0基礎(chǔ)解系時,這個關(guān)系式必須成立.第22頁第22頁 解:作 線性組合 將 表示式代入,并展開合并同類項,利用 線性無關(guān)性可得關(guān)于系數(shù)l1,l2,lk齊次線性方程組為:(I) 注意到方程組(I)系數(shù)矩陣行列式為sk+(

12、-1)k+1tk. 若要 是方程組AX=0基礎(chǔ)解系,只要闡明 線性無關(guān)即可,或者只要闡明方程組(I)只有零解即可.第23頁第23頁(1)若 ，則 或者至少存在s+1個系數(shù) 均不為零。(2)若sm，則 中任一向量均可由其余向量線性表出.例3.1.8(南京理工大學(xué)，)設(shè)P是一個數(shù)域,向量 Pn，秩 =s且 中任意s個向量均線性無關(guān)，試證： 若sk+(-1)k+1tk0,則方程組(I)只有零解,那么 是方程組AX=0基礎(chǔ)解系. 若 是方程組AX=0基礎(chǔ)解系,那么方程組(I)只有零解,這意味著方程組(I)系數(shù)矩陣秩為k,于是其行列式sk+(-1)k+1tk0成立. 第24頁第24頁 證實：若 ,顯然使

13、得 成立。下面證 不全為零時，若 成立，至少存在s+1個系數(shù) 均不為零，利用反證法. 由 不全為零，那么不妨設(shè) ,又假設(shè)不存在s+1個均不為零系數(shù)，那么把 中不為零系數(shù)找出來（至多有s個）有 顯然 是這些系數(shù)中某一個。第25頁第25頁又由題目條件 中任一s個向量均線性無關(guān)，知這個方程系數(shù)都為零，于是有 這就造成矛盾。 (2)利用反證法 若 存在某個向量不能由其它m-1個向量線性表出，由sm知sm-1，由題目條件 中任意s個向量均線性無關(guān)，知其它m-1個向量組秩必定不小于s，那么向量組 秩必定不小于s+1，這與題目條件 相矛盾。 第26頁第26頁考點2：線性方程組解判別與矩陣秩，線性方程組解結(jié)構(gòu)

14、考點點撥：主要是對利用線性方程組系數(shù)矩陣及其增廣矩陣之間關(guān)系判斷方程組是否有解，解是否唯一或無窮多解，以及如何求得方程組通解表示式考察。例3.2.1(華中科技大學(xué)，)證實：平面上三條不同直線ax+by+c=0，bx+cy+a=0，cx+ay+b=0相交充分必要條件是a+b+c=0. 證實:(1)必要性:ax+by=-c,bx+cy=-a,cx+ay=-b若三條直線相交，意味著方程組有解，于是有：第27頁第27頁顯然矩陣行列式|A|=0,于是經(jīng)簡樸計算有：(a-c)2+(a-b)2+(b-c)2)(a+b+c)=0若(a-c)2+(a-b)2+(b-c)2=0 ，將推出a=b=c，這與題目條件三

15、條直線互不相同相矛盾，因此有a+b+c=0 (2)充足性：若a+b+c=0 ，那么觀測可得，用初等行變換把矩陣A后面兩行加到第一行使得第一行為零，即r(A)2時，|A|=0.第39頁第39頁 (2)若n=2，那么有|A|0，于是有方程組AX=0僅有零解，則AX=0解空間維數(shù)為零。若n2，注意到矩陣A左上角二階順序主子式為(a1-a2)(b1-b2)0，于是有r(A)2，又由第40頁第40頁 于是有r(A)=2.那么AX=0解空間維數(shù)為 n-r(A)=n-2 注意到A=BC，那么方程組CX=0解必定是方程組AX=0解。 對于矩陣C可通過初等行變換將其變?yōu)?顯然CX=0解空間屬于AX=0解空間，并

16、且它們維數(shù)相等，都為n-2.那么CX=0基礎(chǔ)解系即為AX=0基礎(chǔ)解系，于是AX=0解空間一個基為（共n-2個）第41頁第41頁例3.2.7(重慶大學(xué)，)設(shè)A為n階方陣，A*為A伴隨矩陣且A110，b0，其中A11為Aa11相應(yīng)代數(shù)余子式。證實：AX=0有無窮多個解充要條件為b是A*X=0解。 證實: (1)必要性 AX=0有無窮多解，則有r(A)n，由于A有一個n-1階子式A11不為零，于是有r(A)n-1，可得r(A)=n-1第42頁第42頁 于是有A*列向量構(gòu)成AX=0解,那么r(A*) 1 注意到A*第一列不為零，可得r(A*)1,于是有r(A*)=1n,即存在b0,使得b是A*X=0解

17、。 (2)充足性 若存在b0，使得b是A*X=0解，這意味著r(A*)n，也即|A*|=0，這時若|A|0，則有AA*=|A|I.即|AA*|=|A|n0. 注意到|A|=0,那么AA*=|A|I=0 于是AX=0解空間維數(shù)為n-r(A)=n-(n-1)=1 而對AA*取行列式有| AA*|=|A|A*|=|A|0=0,則造成矛盾。 于是有|A|=0，也即r(A)n，可得AX=0有無窮多解。 第43頁第43頁其中a1,a2,an為互不相等數(shù)。例3.2.8(南京大學(xué)，)解線性方程組： 那么由Vieta定理知：僅有n個解。 解：注意到a1,a2,an是n個互不相等數(shù)，于是a1,a2,an是次方程第

18、44頁第44頁例3.2.9(北京交通大學(xué)，)設(shè)齊次線性方程組：設(shè)Mi是A中劃去第i列剩余n-1階矩陣行列式。(1)證實: (M1,-M2,(-1)n-1Mn)是方程組一個解。(2)若A秩為n-1，則方程組解全是(M1,-M2,(-1)n-1Mn)倍數(shù)。系數(shù)矩陣為第45頁第45頁 解: (1)把(M1,-M2,(-1)n-1Mn)代入方程組每個方程驗證即可，對于第個方程有 ai1M1+ai2(-M2)+ain(-1)n-1Mn) 注意到這個行列式中必定有兩行相同，于是有其中i=1,2,n-1.也即(M1,-M2,(-1)n-1Mn)是方程組一個解。第46頁第46頁 (2)若r(A)=n-1，這時Ax=0解空間維數(shù)為n-r(A)=1 由于(M1,-M2,(-1)n-1Mn)是方程組一個解,那么顯然方程組Ax=0解全是(M1,-M2,(-1)n-