高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版教學(xué)微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用市公開課獲獎?wù)n件

1、第六節(jié)一、 曲線漸近線二、 函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形描繪 第三章 第1頁第1頁無漸近線 .點(diǎn) M 與某始終線 L 距離趨于 0,一、 曲線漸近線定義 . 若曲線 C上點(diǎn)M 沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時,則稱直線 L 為曲線C 漸近線 .比如, 雙曲線有漸近線但拋物線或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”第2頁第2頁1. 水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有鉛直漸近線例1. 求曲線漸近線 .解:為水平漸近線;為鉛直漸近線.第3頁第3頁2. 斜漸近線斜漸近線若( P76 題14)第4頁第4頁例2. 求曲線漸近線.解:因此有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€斜漸近線 .第5頁第5頁二、函數(shù)圖形描繪環(huán)節(jié) :1. 擬定函數(shù)定義域 ,期

2、性 ;2. 求并求出及3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線 ;5. 擬定一些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在點(diǎn) ;并考察其對稱性及周第6頁第6頁例3. 描繪圖形.解: 1) 定義域?yàn)闊o對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn))(極小)4)第7頁第7頁例4. 描繪方程圖形.解: 1)定義域?yàn)?) 求要點(diǎn).原方程兩邊對 x 求導(dǎo)得兩邊對 x 求導(dǎo)得第8頁第8頁3) 判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4) 求漸近線為鉛直漸近線無定義第9頁第9頁又因即5) 求特殊點(diǎn)為斜漸近線第10頁第10頁6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點(diǎn)無定義第11頁第11頁例5.

3、描繪函數(shù)圖形. 解: 1) 定義域?yàn)閳D形對稱于 y 軸.2) 求要點(diǎn)3) 判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))第12頁第12頁為水平漸近線5) 作圖4) 求漸近線(極大)(拐點(diǎn))第13頁第13頁水平漸近線 ; 垂直漸近線; 內(nèi)容小結(jié)1. 曲線漸近線求法斜漸近線按作圖環(huán)節(jié)進(jìn)行2. 函數(shù)圖形描繪第14頁第14頁思考與練習(xí) 1. 曲線(A) 沒有漸近線；(B) 僅有水平漸近線；(C) 僅有鉛直漸近線；(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提醒:第15頁第15頁拐點(diǎn)為 ,凸區(qū)間是 ,2. 曲線凹區(qū)間是 ,提醒:及漸近線 .第16頁第16頁P(yáng)76 14 (2); P169 2 ; 5作業(yè)第七節(jié) 第17頁第17頁

4、備用題 求笛卡兒葉形線漸近線 . 解: 令 y = t x ,代入原方程得曲線參數(shù)方程 :因因此笛卡兒葉形線有斜漸近線葉形線 笛卡兒葉形線第18頁第18頁笛卡兒葉形線參數(shù)幾何意義:圖形在第四象限圖形在第二象限圖形在第一象限點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停第19頁第19頁第七節(jié)曲線彎曲程度與切線轉(zhuǎn)角相關(guān)與曲線弧長相關(guān)主要內(nèi)容:一、 弧微分 二、 曲率及其計算公式 三、 曲率圓與曲率半徑 平面曲線曲率 第三章 第20頁第20頁一、 弧微分設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長第21頁第21頁則弧長微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:第22頁第22頁二、曲率及其計算公式在光滑弧上自

5、點(diǎn) M 開始取弧段, 其長為相應(yīng)切線定義弧段 上平均曲率點(diǎn) M 處曲率注意: 直線上任意點(diǎn)處曲率為 0 !轉(zhuǎn)角為第23頁第23頁例1. 求半徑為R 圓上任意點(diǎn)處曲率 .解: 如圖所表示 ,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .第24頁第24頁有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K 計算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由第25頁第25頁闡明: (1) 若曲線由參數(shù)方程給出, 則(2) 若曲線方程為則第26頁第26頁例2. 我國鐵路慣用立方拋物線作緩和曲線,處曲率.點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停闡明:鐵路轉(zhuǎn)彎時為確保行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其

6、兩個端點(diǎn)且 l R. 其中R是圓弧彎道半徑, l 是緩和曲線長度, 離心力必須連續(xù)改變 ,因此鐵道曲率應(yīng)連續(xù)改變 . 第27頁第27頁例2. 我國鐵路慣用立方拋物線作緩和曲線,且 l R. 處曲率.其中R是圓弧彎道半徑, l 是緩和曲線長度, 求此緩和曲線在其兩個端點(diǎn)解:顯然第28頁第28頁例3. 求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K 最大最小求駐點(diǎn): 第29頁第29頁設(shè)從而 K 取最大值 .這闡明橢圓在點(diǎn)處曲率計算駐點(diǎn)處函數(shù)值:最大.K 最大最小第30頁第30頁三、 曲率圓與曲率半徑設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) ,在點(diǎn)在曲線把以 D 為中心, R 為半徑圓叫做曲線在點(diǎn) M 處曲率圓( 密切圓

7、 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做曲率中心.在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1) 有公切線;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 處作曲線切線和法線,凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使第31頁第31頁設(shè)曲線方程為且求曲線上點(diǎn)M 處曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M 處曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組坐標(biāo)公式 .第32頁第32頁滿足方程組由此可得曲率中心公式(注意與異號 )當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線 移動時,軌跡 G 稱為曲線 C 漸屈線 ,相應(yīng)曲率中心曲率中心公式可當(dāng)作漸曲線 C 稱為曲線 G 漸伸線 .屈線參數(shù)方程(參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停第33頁第33頁例4. 設(shè)一工

8、件內(nèi)表面截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 , 問選擇多大砂輪比較適當(dāng)?解: 設(shè)橢圓方程為由例3可知, 橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小, 且為顯然, 砂輪半徑不超出才不會產(chǎn)生過量磨損 ,或有地方磨不到問題.例3第34頁第34頁( 仍為擺線 )例5. 求擺線漸屈線方程 . 解:代入曲率中心公式,得漸屈線方程 擺線 擺線擺線第35頁第35頁擺線半徑為 a 圓周沿直線無滑動地滾動時,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停其上定點(diǎn) M 軌跡即為擺線 .參數(shù)幾何意義擺線漸屈線點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停第36頁第36頁內(nèi)容小結(jié)1. 弧長微分或2. 曲率公式3. 曲率圓曲率半徑曲率中心第37頁第37頁思考與練

9、習(xí)1. 曲線在一點(diǎn)處曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答: 有公切線 ;凹向一致 ;曲率相同.2. 求雙曲線曲率半徑 R , 并分析何處 R 最小?解:則利用第38頁第38頁作業(yè)第八節(jié) P177 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； *9 第39頁第39頁三、普通迭代法 (補(bǔ)充) 第八節(jié)可求準(zhǔn)確根無法求準(zhǔn)確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方程近似解 第三章 第40頁第40頁一、根隔離與二分法(1) 作圖法 1. 求隔根區(qū)間普通辦法 第41頁第41頁(2) 逐步收索法由圖可見只有一個實(shí)根可轉(zhuǎn)化為以定步長 h 一步步向右搜索, 若搜索過程也可從 b 開始

10、, 取步長 h 0 時,從而在上單調(diào)增.得第70頁第70頁例9. 設(shè)在上可導(dǎo), 且證實(shí) f ( x ) 至多只有一個零點(diǎn) . 證: 設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點(diǎn) .又因因此也至多只有一個零點(diǎn) .思考: 若題中改為其它不變時, 如何設(shè)輔助函數(shù)?第71頁第71頁例10. 求數(shù)列最大項(xiàng) .證: 設(shè)用對數(shù)求導(dǎo)法得令得由于在只有唯一極大值點(diǎn)因此在 處也取最大值 .又因中最大項(xiàng) .極大值列表判別:第72頁第72頁例11. 證實(shí)證: 設(shè), 則故時, 單調(diào)增長 ,從而即思考: 證實(shí)時, 如何設(shè)輔助函數(shù)更加好 ?提醒:第73頁第73頁例12. 設(shè)在上存在 , 且單調(diào)遞減 , 有證: 設(shè)則因此當(dāng)令

11、得即所證不等式成立 . 證實(shí)對一切第74頁第74頁例13. 證: 只要證利用一階泰勒公式, 得故原不等式成立.第75頁第75頁例14. 證實(shí)當(dāng) x 0 時,證: 令則法1. 由在處二階泰勒公式 ,得故所證不等式成立 .與 1 之間)第76頁第76頁法2. 列表判別.即第77頁第77頁例15. 求解法1 利用中值定理求極限原式第78頁第78頁解法2 利用泰勒公式令則原式第79頁第79頁解法3 利用洛必達(dá)法則原式第80頁第80頁 P182 5 ; *7 ; *8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 ; 20作業(yè)第81頁第81頁備用題1. 設(shè)函數(shù)上含有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足證實(shí)序列發(fā)散. 證：故序列發(fā)散. ( 考研）第82頁第82頁保號性 定理2. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù) , 且試證存在使證: 不妨設(shè)必有使故保號性 定理必有使故又在上連續(xù),由零點(diǎn)定理知, 存在使第83頁第83頁3. 已知函數(shù)內(nèi)可導(dǎo), 且證: (1) 令故存在使 即