非線性方程組的數(shù)值解法市公開課獲獎?wù)n件

1、第二章 非線性方程數(shù)值解法 /* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/本章主要內(nèi)容：1、二分法2、不動點迭代結(jié)構(gòu)及其收斂性鑒定（重點）3、Steffensen迭代4、Newton迭代（重點）5、割線法第1頁第1頁歷史背景 代數(shù)方程求根問題是一個古老數(shù)學(xué)問題。理論上， 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)一定有 個根(考慮重數(shù))。早在16世紀(jì)就找到了三次、四次方程求根公式，但直到19世紀(jì)才證實不小于等于5次普通代數(shù)方程式不能用代數(shù)公式求解，而對于超越方程就復(fù)雜多，假如有解，其解也許是一個或幾種，也也許是無窮多個。普通也不存在根解析表示式。因此需要研究數(shù)值辦法求

2、得滿足一定精度要求根近似解。 第2頁第2頁求方程 幾何意義abx*三個基本問題存在性？假如有根,有幾種?如何求根？ 假如函數(shù) 在 上連續(xù)，且則至少有一個數(shù) 使得 ，若同時 一階導(dǎo)數(shù) 在 內(nèi)存在且保持定號，即 (或 )則這樣 在 內(nèi)唯一。 基本定理第3頁第3頁例1 求方程 有根 區(qū)間解：0 1 2 3 4 5 6- - + + - - +有根區(qū)間 1, 2，3, 4，5, 6。第4頁第4頁1 二分法 /* Bisection Method */原理：若 f Ca, b，且 f (a) f (b) 0，則 f 在 (a, b) 上至少有一實根?；舅枷耄褐鸩綄^(qū)間分半，通過判別區(qū)間端點函數(shù)值符號，

3、進(jìn)一步搜索有根區(qū)間，將有根區(qū)間縮小到充足小，從而求 出滿足給定精度根 近似值。以這類推第5頁第5頁終止法則？abx1x2abWhen to stop?或不能確保 x 精度x*2xx*第6頁第6頁3、由二分法過程可知：4、對分次數(shù)計算公式：1、2、令誤差 分析第7頁第7頁解：例2：用二分法求方程 在區(qū)間 上根，要求保留三位有效數(shù)字。第8頁第8頁第9頁第9頁簡樸; 對f (x) 要求不高(只要連續(xù)即可) .無法求復(fù)根及偶重根收斂慢 注：用二分法求根，最好先給出 f (x) 草圖以擬定根大約位置。或用搜索程序，將a, b分為若干小區(qū)間，對每一個滿足 f (ak)f (bk) 0 區(qū)間調(diào)用二分法程序，

4、可找出區(qū)間內(nèi)多個根，且不必要求 f (a)f (b) 0 。長處缺點第10頁第10頁2 迭代法理論 /* Theory of Iteration Method*/f (x) = 0 x = g (x)（迭代函數(shù)）等價變換思緒從一個初值 x0 出發(fā)，計算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), , xk+1 = g(xk), 若 收斂，即存在 x* 使得 ，且 g 連續(xù)，則由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 不動點，也就是f 根。看起來很簡樸，令人有點不相信，那么問題是什么呢？如何鑒定這種辦法是收斂呢？f (x) 根g (x) 不動點一、不動點迭代 /*Fixed-Poin

5、t Iteration*/第11頁第11頁xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1幾何意義第12頁第12頁例3：已知方程 在 上有一個根（正根）能夠選取5種迭代格式：1、即2、即3、即4、即5、即第13頁第13頁取計算結(jié)果下列：法1法4法3法2法5第14頁第14頁三個基本問題如何結(jié)構(gòu)適當(dāng) ？滿足什么條件 收斂？ 收斂速度，誤差預(yù)計。如何加速 收斂？第15頁第15頁Lipschitz條件成立充足條件考慮方程 x = g(x), 若( I ) 當(dāng)

6、xa, b 時， g(x)a, b；( II ) 0 L 1 使得 對 xa, b 成立。則任取 x0a, b，由 xk+1 = g(xk) 得到序列 收斂于g(x) 在a, b上唯一不動點。并且有誤差預(yù)計式：( k = 1, 2, )第16頁第16頁證實： g(x) 在a, b上存在不動點？令有根 不動點唯一？反證：若不然，設(shè)尚有 ，則在和之間。而 當(dāng)k 時， xk 收斂到 x* ？第17頁第17頁可用 來控制收斂精度L 越 收斂越快小注1：定理條件中( II ) ，可改為g (x) 在a, b 滿足Lipschitz條件, 定理結(jié)論仍然成立。注2：若 ，對 有 ，則 發(fā)散。第18頁第18頁例4：已知方程 在1.5附近有根，把方程寫成三種不同等價形式(1) 對應(yīng)迭代格式 ；(2) 對應(yīng)迭代格式 ；(3) 對應(yīng)迭代格式 ;判斷迭代格式在 收斂性，選一個收斂格式計算，準(zhǔn)確到小數(shù)點后第二位。 解：取 鄰域1.3,1.6來考察。第19頁第19頁第20頁第20頁 總而言之，辦法1和辦法2均收斂，但第二種迭代格式中L較小，因此第二種迭代格式收斂較快，選取第二種辦法計算。第21頁第21頁 例5：證實：第22頁第22頁（收斂階/*the order of Convergence*/)設(shè)序列 收斂到 ， ，若存在實數(shù) 及常數(shù) ，使 則稱序列 是 階收斂， 稱為漸近誤差常數(shù)。當(dāng)