經(jīng)典電磁理論及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)wang市公開課獲獎?wù)n件

1、第一章 典型電磁理論及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主 要 內(nèi) 容電磁場基本物理量、梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.電荷及其分布2. 電場強度3.電流與電流密度4. 安培力定律與磁感應(yīng)強度5. 標(biāo)量和矢量6. 標(biāo)量場方向?qū)?shù)與梯度 7. 矢量場通量與散度8. 矢量場環(huán)量與旋度9. 無散場和無旋場10.唯一性定理 11.亥姆霍茲定理12.坐標(biāo)系第1頁第1頁1. 電荷及其分布電荷分布在一定體積內(nèi)時，其體密度表示為： 電荷分布在一定表面上時，其面密度表示為： 電荷分布在線上時，其線密度表示為： 第2頁第2頁電荷與電荷密度關(guān)系為： 體電荷 面電荷線電荷第3頁第3頁點電荷概念 若兩個帶電體之間距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)不小于它們本身尺寸，

2、那么能夠不考慮帶電體上電荷分布，認(rèn)為所有帶電量都集中在其幾何中心處。即認(rèn)為帶電體為一個“點”，稱為點電荷。點電荷是一個相正確概念，與帶電體大小無關(guān)。兩個點電荷之間作用力可用庫侖定律表示下列：第4頁第4頁2. 電場強度電場對某點單位正電荷作用力稱為該點電場強度，以E 表示。 式中q 為試驗電荷電量，F(xiàn) 為電荷q 受到作用力。 電場強度通過任一曲面通量稱為電通，以 表示,即 依據(jù)庫侖定律 若為分布電荷，則 第5頁第5頁電場線方程用電場線圍成電場管帶電平行板 負(fù)電荷 正電荷 幾種典型電場線分布由此可見，電場線疏密程度能夠顯示電場強度大小。 第6頁第6頁xzyr21r0例 求長度為L，線密度為 均勻線

3、分布電荷電場強度。 令圓柱坐標(biāo)系 z 軸與線電荷長度方位一致，且中點為坐標(biāo)原點。由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)對稱，場強與方位角 無關(guān)。由于電場強度方向無法判斷，不能應(yīng)用高斯定律求解其電場強度。只好進(jìn)行直接積分，計算其電位及電場強度。 因場量與 無關(guān)，為了以便起見，可令觀測點P 位于yz平面，即 ，那么 第7頁第7頁考慮到求得當(dāng)長度 L 時，1 0，2 ，則第8頁第8頁例 在空氣中，半徑為a圓平面上均布面電荷密度為s電荷（s為常數(shù)）。求在圓平面中心垂直軸線上任意點處電場強度。它z分量為式中：第9頁第9頁討論圓盤為無限大時，即a,從以上結(jié)果得第10頁第10頁3 電流與電流密度 分類：傳導(dǎo)電流與運流電流。 傳導(dǎo)電流

4、是導(dǎo)體中自由電子（或空穴）或者是電解液中離子運動形成電流。 運流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成電流。第11頁第11頁 電流強度：單位時間內(nèi)穿過某一截面電量，又簡稱為電流，以 I 表示。電流單位為A（安培）。 因此，電流 I 與電荷 q 關(guān)系為 電流密度：是一個矢量，以 J 表示。電流密度方向為正電荷運動方向，其大小為單位時間內(nèi)垂直穿過單位面積電荷量。 式中 即為正電荷運動方向。第12頁第12頁體電流：電荷在某一體積內(nèi)定向運動所形成電流。 體電流穿過任一有向面元 dS 電流 dI 與電流密度 J 關(guān)系為 在電磁理論研究中，慣用到體電流模型、面電流模型和線電流模型。J 體電流

5、密度矢量 , 單位 是A/m2那么，穿過任一截面 S 電流 I 為此式表明，穿過某一截面電流等于穿過該截面電流密度通量。 第13頁第13頁面電流：電荷在一個厚度能夠忽略薄層內(nèi)定向運動所形成電流。穿過任一有向線元 dl 電流 dI 與電流密度 Js 關(guān)系為 面電流密度矢量 , 單位 是A/m那么，通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線 電流 為 面電流第14頁第14頁 在外源作用下，大多數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)中某點傳導(dǎo)電流密度 J 與該點電場強度 E 成正比，即式中 稱為電導(dǎo)率，其單位為 S/m 。 值愈大表明導(dǎo)電能力愈強，即使在微弱電場作用下，也可形成很強電流。上式又稱為歐姆定律 微分形式。線電流：電荷在一個橫截面積

6、能夠忽略細(xì)線中定向運動所形成電流。對線電流，認(rèn)為電流是集中在細(xì)導(dǎo)線軸線上。第15頁第15頁 電導(dǎo)率為無限大導(dǎo)體稱為抱負(fù)導(dǎo)電體。顯然，在抱負(fù)導(dǎo)電體中，無需電場推動即可形成電流。由上式可見，在抱負(fù)導(dǎo)電體中是不也許存在恒定電場，不然，將會產(chǎn)生無限大電流，從而產(chǎn)生無限大能量。但是，任何能量總是有限。電導(dǎo)率為零媒質(zhì)，不含有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為抱負(fù)介質(zhì)。 媒 質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)媒 質(zhì)電導(dǎo)率(S/m)銀海 水4紫 銅淡 水金干 土鋁變壓器油黃 銅玻 璃鐵橡 膠第16頁第16頁 運流電流電流密度并不與電場強度成正比，而且電流密度方向與電場強度方向也可能不同。能夠證實運流電流電流密度J 與運動速度 v 關(guān)系為

7、 式中 為電荷密度。 與介質(zhì)極化特性同樣，媒質(zhì)導(dǎo)電性能也表現(xiàn)出均勻與非均勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點，這些特性含義與前相同。上述公式僅適合用于各向同性線性媒質(zhì)。 第17頁第17頁式中，v=l/t為電荷運動速度，則電流密度大小為寫成矢量形成式中，是該處運動電荷體電荷密度。例1.4一個半徑為a球內(nèi)均勻分布總電荷量為Q電荷，球體均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)電流密度。解：首先推導(dǎo)電流密度與電荷運動速度和體電荷密度之間關(guān)系第18頁第18頁設(shè)球內(nèi)任意一點，其到球心距離為r，球直徑與r 夾角為 ，則該點電荷運動速度為則寫成矢量形成第19頁第19頁4. 安培力定律與磁感應(yīng)強度 已知磁場表現(xiàn)

8、為對于運動電荷有力作用，因此，能夠依據(jù)運動電荷或電流元受到作用力描述磁場強弱。 兩個電流回路之間作用力可表示為上式稱為安培力定律。第20頁第20頁矢量 B 稱為磁感應(yīng)強度，單位為T（特斯拉）。 值得注意是，運動電荷受到磁場力始終與電荷運動方向垂直，因此，磁場力無法改變運動電荷速度大小，只能改變其運動方向，磁場與運動電荷之間沒有能量互換。 此圖反應(yīng)了B 、Idl 、dF三者之間關(guān)系。依據(jù)安培力定律，磁感應(yīng)強度可表示為第21頁第21頁 磁感應(yīng)強度也可用一系列有向曲線來表示。曲線上某點切線方向為磁感應(yīng)強度矢量方向，這些曲線稱為磁場線。磁場線矢量方程為 當(dāng)然，磁場線也不可相交。與電場線同樣，若以磁場線

9、構(gòu)成磁場管，且要求相鄰磁場管中磁通相等，則磁場線疏密程度也可表示磁場強弱，磁場線密表示磁感應(yīng)強度強。 磁感應(yīng)強度 B 通過某一表面 S 通量稱為磁通，以 表示，即 磁通單位為Wb（韋伯）。 第22頁第22頁B 線性質(zhì)： B 線是閉合曲線; B 線不能相交 ( 除 B = 0 外 )； 閉合 B 線與交鏈電流成 右手螺旋關(guān)系； B 強處，B 線稠密，反之，稀疏。 圖 1 一載流導(dǎo)線 I 位于無限大鐵板上方磁場分布（B 線） 圖 2 長直螺線管磁場分布（B 線） 圖 3 一載流導(dǎo)線I位于無限大鐵板內(nèi)磁場分布（H 線）第23頁第23頁圖 1 兩根異向長直流導(dǎo)線磁場分布圖 2 兩根相同方向長直流導(dǎo)線磁

10、場分布圖 3 兩對上下放置傳播線磁場分布圖 4 兩對平行放置傳播線磁場分布第24頁第24頁 這樣，若已知電流分布，可直接建立電流與磁感應(yīng)強度關(guān)系為 此式稱為畢奧沙伐定律。已知電流分布以后，依據(jù)此式即可直接計算空間任一點磁感應(yīng)強度。 恒定電流場中簡介電流能夠分布在體積中，也可分布在表面上或細(xì)導(dǎo)線中。面分布電流稱為表面電流，細(xì)導(dǎo)線中電流稱為線電流，線電流無密度可言。對電流元而言,體電流、面電流及線電流可分別表示為 第25頁第25頁 那么，能夠?qū)С雒骐娏骱途€電流產(chǎn)生磁感應(yīng)強度分別為 對于一些恒定磁場，依據(jù)其基本方程計算磁感應(yīng)強度將十分簡便。面電流線電流第26頁第26頁例 計算在空氣中長度為2l直線電

11、流空間一點P磁感應(yīng)強度。 解:選擇圓柱坐標(biāo)系，z軸與通電導(dǎo)線重疊，坐標(biāo)原點選擇在線段中點，在通電導(dǎo)線上取一個電流元Idz,則電流元Idz產(chǎn)生磁感應(yīng)強度為由對稱性，dB只有 分量，其大小為第27頁第27頁由圖可知空間點P磁感應(yīng)強度方向為 方向，大小為對無限長直導(dǎo)線，第28頁第28頁例1.6在真空中半徑為a、電流為I圓形線圈，計算軸線上一點磁感應(yīng)強度。解:選擇圓柱坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點在圓形線圈圓心，z軸與線圈軸線重疊。在通電導(dǎo)線上取一個電流元Idl,則電流元Idl產(chǎn)生磁感應(yīng)強度為dB大小為dB方向如圖所表示，其含有 和 分量第29頁第29頁寫成矢量形式為由對稱性，dB只有 分量。當(dāng) ，圓環(huán)中心磁感應(yīng)

12、強度為第30頁第30頁5. 標(biāo)量和矢量人們把只有大小而無方向物理量稱為標(biāo)量，如長度、質(zhì)量、時間、電荷體電荷密度、電荷面電荷密度等都是標(biāo)量； 人們把既有大小又有方向物理量稱為矢量，如力、速度、加速度、電場強度、磁場強度等都是矢量。 矢量表示辦法圖1.11 P（x,y,z）點處矢量任意一個矢量A均可借助代表大小模A和代表方向單位矢量 表示為A=A 第31頁第31頁矢量在直角坐標(biāo)系表示法式中第32頁第32頁位置矢量r和距離矢量R 矢量代數(shù)運算（1） 矢量相等A=BAx=Bx Ay=By Az=Bz第33頁第33頁則（3） 矢量加法與減法（2）矢量與標(biāo)量乘積第34頁第34頁（4） 矢量標(biāo)量積與矢量積矢

13、量A與矢量B標(biāo)量積CC=AB=ABcos矢量A與矢量B矢量積CC=ABC=ABsin(0)第35頁第35頁在直角坐標(biāo)系中，不難得出三個坐標(biāo)單位矢量滿足下面關(guān)系，即 第36頁第36頁矢性函數(shù)及其微分和積分假如一個矢量模和方向都不發(fā)生改變，則這種矢量稱為常矢量； 假如某矢量是一個或者幾種變量函數(shù)，則稱這個矢量為變量矢性函數(shù)。假如矢量A隨x、y、z和t而改變，則記為A（x,y,z,t）（1） 矢性函數(shù)導(dǎo)數(shù)在直角坐標(biāo)系中，A（t）可表示為則第37頁第37頁（2） 矢性函數(shù)微分在直角坐標(biāo)系中（3） 矢性函數(shù)積分對于矢性函數(shù)A（t）,在t某個區(qū)間上不定積分記作 A(t)dt=B(t)+C(C為任意常矢量)

14、在直角坐標(biāo)系中，第38頁第38頁例1.7對于給定矢量：解：第39頁第39頁第40頁第40頁6. 標(biāo)量場方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場及其等值面場中物理量在各點不隨時間發(fā)生改變，則這個場稱為靜態(tài)場； 假如物理量在各點隨時間發(fā)生改變，則稱這個場為時變場。設(shè)在空間某區(qū)域存在一個靜態(tài)標(biāo)量場u=u(x,y,z)，為了更清楚地描述標(biāo)量場分布規(guī)律，人們把標(biāo)量場中數(shù)值相同點連接起來形成一個面，這個面稱為等值面，如圖1.17所表示。圖1.17等值面示意圖第41頁第41頁矢量場-矢量線等值線（面）方程為其方程為三維場在直角坐標(biāo)下:二維場 矢量線等值線形象描繪場分布工具-場線標(biāo)量場-等值線(面).第42頁第42頁方向?qū)?shù):標(biāo)

15、量場在某點方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點沿某一方向 上改變率。 比如標(biāo)量場 在 P 點沿 l 方向上方向?qū)?shù) 定義為Pl第43頁第43頁梯度:標(biāo)量場在某點梯度大小等于該點最大方向?qū)?shù)，梯度方 向為該點含有最大方向?qū)?shù)方向?？梢?，梯度是一個矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場 梯度可表示為式中g(shù)rad 是英文字母 gradient 縮寫。若引入算符，它在直角坐標(biāo)系中可表示為則梯度可表示為第44頁第44頁例1 三維高度場梯度例2 電位場梯度高度場梯度 與過該點等高線垂直； 數(shù)值等于該點位移最大改變率； 指向地勢升高方向。電位場梯度 與過該點等位線垂直； 指向電位增長方向。 數(shù)值等于該點最大方向?qū)?shù)； 梯度物理意

16、義 標(biāo)量場梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點函數(shù); 梯度方向為該點最大方向?qū)?shù)方向,即與等值線（面）相垂直方向，它指向函數(shù)增長方向. 梯度大小為該點標(biāo)量函數(shù) 最大改變率，即該點最大方向?qū)?shù); 三維高度場梯度 電位場梯度第45頁第45頁通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 面積分稱為矢量 A 通過該有向曲 面 S 通量，以標(biāo)量 表示，即 7. 矢量場通量與散度 通量可為正、或為負(fù)、或為零。當(dāng)矢量穿出某個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場洞（或匯）。閉合有向曲面方向通常要求為閉合面外法線方向。因此，當(dāng)閉合面中有源時，矢量通過該閉合面通量一定

17、為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時，矢量通過該閉合面通量一定為負(fù)。因此，前述源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。 第46頁第46頁 矢量 E 沿有向曲面S 面積分 0 (有正源) 0；若處處相反，則 0 。可見，環(huán)量能夠用來描述矢量場旋渦特性。第52頁第52頁 由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強度 B 沿任一閉合有向曲線 l 環(huán)量等于該閉合曲線包圍傳導(dǎo)電流強度 I 與真空磁導(dǎo)率 0 乘積。即 式中電流 I 正方向與 dl 方向構(gòu)成 右旋 關(guān)系。由此可見，環(huán)量能夠表示產(chǎn)生含有旋渦特性源強度，但是環(huán)量代表是閉合曲線包圍總源強度，它不能顯示源分布特性。為此，需要研究矢量場旋度。 第53頁第53頁旋度：旋度是一個矢量。若以

18、符號 rot A 表示矢量 A 旋度，則其 方向是使矢量 A 含有最大環(huán)量強度方向，其大小等于對 該矢量方向最大環(huán)量強度，即式中 rot 是英文字母 rotation 縮寫，en 為最大環(huán)量強度方向上單位矢量，S 為閉合曲線 l 包圍面積。上式表明，矢量場旋度大小能夠認(rèn)為是包圍單位面積閉合曲線上最大環(huán)量。 第54頁第54頁直角坐標(biāo)系中旋度可用矩陣表示為 或用算符 表示為 應(yīng)該注意，不論梯度、散度或旋度都是微分運算，它們表示場在某點附近改變特性，場中各點梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述是場點特性或稱為微分特性。函數(shù)連續(xù)性是可微必要條件。因此在場量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定

19、義梯度、散度或旋度。 第55頁第55頁斯托克斯定理 同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度能夠認(rèn)為斯托克斯定理建立了面積分和線積分關(guān)系。從物理角度能夠理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域 S 中場和包圍區(qū)域 S 閉合曲線 l 上場之間關(guān)系。因此，假如已知區(qū)域 S 中場，依據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界 l 上場，反之亦然。或者寫為第56頁第56頁 散度處處為零矢量場稱為無散場，旋度處處為零矢量場稱為無旋場。 9. 無散場和無旋場兩個主要公式： 左式表明，任一矢量場 A 旋度散度一定等于零 。因此，任一無散場能夠表示為另一矢量場旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。 右式表明，任一標(biāo)量場 梯度旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定能夠表示為一個標(biāo)量場梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。 第57頁第57頁10. 矢量場惟一性定理 位于某一區(qū)域中矢量場，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場量切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中矢量場被惟一地擬定。 已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場源，可見惟一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定。第58頁第58頁 若矢量場 F(r) 在無限區(qū)域中