cho1 第一節(jié) 環(huán)的定義和基本性質(zhì)課件

1、 應用近世代數(shù) 多媒體課件孔蔭瑩廣東財經(jīng)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)學可以把靈活引導到真理。蘇格拉底（Socrate,前469年前399年）數(shù)學是科學的大門和鑰匙。-R.培根(Roger Bacon, 1214-1294)Histories make men wise; poets, witty; the mathermatics, subtile; natural philosophy, deep; moral, grave; logic and rhetoric, able to contend- F.培根（Francis Bacon 15611626） 第三章 二、環(huán)內(nèi)一些特殊元素和性質(zhì)四、小結

2、與思考 一、環(huán)的定義第一節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 環(huán)的定義和基本性質(zhì)三、環(huán)的分類一、 環(huán)的定義機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1、定義1 設是一個非空集合，在 中定義 兩種二元運算，一種是加法，記為+ ，另一種 稱為乘法，記為.且滿足：是一個可換群；（1） （2） 是一個半群；（3） 左、右分配律成立，即對任何 有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則稱代數(shù)系是一個環(huán)（ring）.即環(huán)是有兩種運算，對加法是可換群， 對乘法 是半群，并適合分配律的代數(shù)系統(tǒng).2、定義2 如果環(huán)對乘法也是可交換的, 則稱是可換環(huán)(Commutative ring).例1 都是環(huán)， 而且是可換環(huán). 例

3、2 設對復數(shù) 加法和復數(shù)乘法構成環(huán),稱為Guass整數(shù)環(huán).二、 環(huán)內(nèi)的一些特殊元素和性質(zhì)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1、設是一個環(huán)，加群 中的單位元, 記為，稱為零元. 加群中的元素的逆元, 記為,稱為的負元. 而環(huán)中的單位元是指乘法 半群中的單位元, 記為環(huán)中元素的逆元 是指乘法半群中的逆元, 記為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2、環(huán)中可定義減法:環(huán)中的零元和負元有如下性質(zhì):此外,元素的倍數(shù)和冪可定義為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 又如在中,因為所以和都是零因子.4、定理1 環(huán)中無(右)左零因子的充分必要條件 是乘法消去律成立.三、 環(huán)的分類機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1、定義4 設是一個環(huán).若可交換,且無零因子,則稱 是整環(huán)(domain).若滿足:(1) 中至少有兩個元 （2）構成乘法群,則稱 是一個除環(huán)(division ring).若是一個可換的除環(huán),則稱是域(field).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2、定理2 是域的充要條件是為素數(shù).3、具有有限個元素的域，稱為有限域（finite field）,是最簡單的有限域.顯然,在一個除環(huán)中,由于非零元成群,乘法消去律 成立,因而除環(huán)中無零因子.域中也無零因子,且域 必須是整環(huán).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4、定理