三角形單元復(fù)習(xí)與鞏固

1、 三角形單元復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)網(wǎng)絡(luò)廄i目標(biāo)認(rèn)知廄i學(xué)習(xí)目標(biāo)出.了解三角形的邊、高、中線、角平分線的定義及性質(zhì)；.掌握三角形的內(nèi)角和及多邊形的內(nèi)角和公式；.通過(guò)三角形的內(nèi)角和來(lái)確定三角形的外角和以及多邊形的外角和；.會(huì)利用多邊形的內(nèi)角和公式求多邊形的邊數(shù)、角度數(shù)、外角度數(shù)等；.掌握多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用.重點(diǎn)向三角形的三邊關(guān)系,以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用.難點(diǎn)一本章的難點(diǎn)是鑲嵌問(wèn)題，它綜合運(yùn)用到多邊形內(nèi)角和以及正多邊形等知識(shí).知識(shí)要點(diǎn)梳理此i知識(shí)點(diǎn)一：三角形的有關(guān)的概念面.三角形定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊上的公共點(diǎn)

2、叫做三角形的頂點(diǎn)，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角.注意：通過(guò)三角形的定義可知，三角形的特征有：三條線段；不在同一條直線上；首尾順次連接.這是判定是否是三角形的標(biāo)準(zhǔn).三角形的表示方法：“三角形”用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)是A,B,C的三角形，記作“ABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類按邊分類：三角形不等邊三角形一等腰三角形:底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形按角分類：三角形（直角三角形一斜三角形二銳角三角形-鈍角三角形4.三角形的三邊關(guān)系三邊關(guān)系性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，三角形的三邊關(guān)系反應(yīng)了任意三角形邊的限制關(guān)系.三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷

3、三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之,則不能組成三角形.當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng),可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍.注意：這里的“兩邊”指的是任意的兩邊.對(duì)于“兩邊之差”它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，一般地取“差”的絕對(duì)值；三角形的三邊關(guān)系是“兩點(diǎn)之間，線段最短”的具體應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)二：三角形的高、中線、角平分線面.三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.注意：三角形的高線是一條線段；銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部,一條在三角形內(nèi)部,三條

4、高所在直線交于三角形外一點(diǎn)；直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條直角邊,另一條在三角形的內(nèi)部,它們的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).三角形的三條高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心.三角形的中線：在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.注意：三角形的中線是一條線段；三角形的每一條中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形；三角形三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心.三角形的角平分線：在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的平分線和對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.注意：三角形的角平分線是一條線段；三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.知識(shí)點(diǎn)三：三角形

5、的內(nèi)角與外角匿.三角形的內(nèi)角：（1）定義：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角.（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180.（3）三角形內(nèi)角和定理的作用：在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角度數(shù)；求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系.三角形的外角（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角和為360（2）特點(diǎn)：外角的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；外角的一條邊是三角形的一邊；外角的另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線.（3）性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰

6、的任何一個(gè)內(nèi)角.知識(shí)點(diǎn)四：多邊形同.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.注意：各個(gè)角都相等、各條邊都相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角都相等的四邊形才是正方形.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.用（胤-3）從修邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫伊一耳條對(duì)角線，個(gè)邊形一共有2條對(duì)角線.多邊形的內(nèi)角和公式:用邊形的內(nèi)角和為一刀二”之馬.內(nèi)角和公式的應(yīng)用：已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；已

7、知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360.外角和定理的應(yīng)用：已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).知識(shí)點(diǎn)五：鑲嵌三.平面鑲嵌的定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）.鑲嵌的條件：當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就能拼成一個(gè)平面圖形.規(guī)律方法指導(dǎo)向三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，是研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，在解決多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來(lái)解決.三角形有很多重要性質(zhì)，如穩(wěn)定性，三角形內(nèi)角和等于180等，這些在生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用.通過(guò)本章學(xué)習(xí)可以進(jìn)一步豐

8、富對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和感受，提高同學(xué)們的思考和說(shuō)服能力.在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合.數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在本章中體現(xiàn)較為明顯，如三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和、外角和的語(yǔ)言表述與符號(hào)、數(shù)字之間的互化；多邊形問(wèn)題通過(guò)連接對(duì)角線轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題等.本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查三角形的三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和、平面鑲嵌及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用，常以填空題、選擇題的形式命題.經(jīng)典例題透析屆.分類思想加.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為。，則頂角的度數(shù)為由0或00或思路點(diǎn)撥：銳角三角形的高都在三角形的內(nèi)部，鈍角三角形的高有兩條在三角形的外部，應(yīng)進(jìn)行分類討論答案：總結(jié)

9、升華：三角形的高與三角形的形狀有關(guān)，應(yīng)進(jìn)行分類討論舉一反三：【變式】已知、是4的高，直線、相交所成的角中有一個(gè)角為,則N的度數(shù)為_(kāi).【答案】50或130思路點(diǎn)撥：本題中由于沒(méi)有圖形，的形狀不確定，應(yīng)分兩種情況如圖所示，是銳角三角形，因?yàn)槭?的高，所以如圖所示，是銳角三角形，因?yàn)槭?的高，所以都、是直角三角形，,zz,zz=。，所以z=z=。，即z=如圖所示，是鈍角三角形，因?yàn)槭?的高，所以、如圖所示，是鈍角三角形，因?yàn)槭?的高，所以、都是直角三角形，,zz=。，所以z=z=，所以z=-z【變式】有四條線段，它們的長(zhǎng)分別為ccc,從中選出三條組成三角形，正確的選法有()A種、種、種、種解析：從四

10、條線段中任選三條，共有種選法：，cc，cc，c，cc其中能構(gòu)成三角形的選法只有cc，故選。答案：總結(jié)升華：判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，只要檢驗(yàn)兩條較短(小)線段之和能否大于第三條線段即可。若大于，則能構(gòu)成三角形；否則，不能。.轉(zhuǎn)化思想也i如圖是一個(gè)五角星,請(qǐng)算出N+Z+的大小國(guó)思路點(diǎn)撥:如圖，的變式圖形中，上面的結(jié)論成立嗎？為什么本題是一題多變題，先求出圖中各角之和，其他圖形是否有相同的結(jié)論同理可證如圖是一個(gè)五角星,請(qǐng)算出N+Z+的大小國(guó)思路點(diǎn)撥:如圖，的變式圖形中，上面的結(jié)論成立嗎？為什么本題是一題多變題，先求出圖中各角之和，其他圖形是否有相同的結(jié)論同理可證解析：ZZZ/ZZZ=ZZZ=在圖

11、理由同在圖中，Z為Z在圖中，延長(zhǎng)與交于一點(diǎn)，則N.ZZZZZ=ZZ+=總結(jié)升華：運(yùn)動(dòng)變化的問(wèn)題一直是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住變化中不變的量將總結(jié)升華：運(yùn)動(dòng)變化的問(wèn)題一直是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住變化中不變的量將所求轉(zhuǎn)化到我們所熟悉的知識(shí)點(diǎn)上，再求解舉一反三:【變式】如下圖，/+Z+Z+Z+Z+Z解析：如下圖，/=N=N+N+N，又N+N+N+N=,則N+Z+Z+Z+Z+Z=答案:【變式】一個(gè)零件的形狀如下圖所示，規(guī)定N=。，/和N分別是。和。，檢驗(yàn)工人量得N=,就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)你運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說(shuō)明零件不合格的原因。解析：連結(jié)，并延長(zhǎng)至點(diǎn)，如下圖:因

12、為N=N+N,N=N+N三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和所以N+N=N+N+N+N,即N=N+N+N,如果零件合格，那么N=。+。+。=。而現(xiàn)量得N=,所以零件不合格。.方程思想函.方程思想函.在4中，N=N,N=N-。，求N的度數(shù)國(guó)思路點(diǎn)撥：由三角形的內(nèi)角和，建立方程解決解析：/=N=Z,由三角形的內(nèi)角和定理，得NZZ=Z+/0,.，./=總結(jié)升華：本題根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出以N為未知數(shù)的方程，解方程即可求得Z建立方程求解，是本章求解角度數(shù)的常用方法.舉一反三：【變式】如下圖，若等腰三角形中，一腰上的中線把它的周長(zhǎng)分為和的兩部分，求該三角形各邊的長(zhǎng)。解：設(shè)腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為，分兩

13、種情況十Z思路點(diǎn)撥：/是4的一個(gè)外角，由三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角可以求出/和N均大于N。然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出N。解析：VZ=NN，/=；./z=,AZ=-=；VZ是4的一個(gè)外角，/ZVZ是4的一個(gè)外角，.ZZZZ總結(jié)升華：求一個(gè)角的度數(shù)，我們應(yīng)該首先弄清這個(gè)角在哪個(gè)三角形中，是外角還是內(nèi)角，跟已知的角有什么聯(lián)系。舉一反三：【變式】已知：如圖，福中，Z：Z：Z=：,、分別是邊、上的高，相交于，求Z的度數(shù)。思路點(diǎn)撥：由已知可求出Z、Z、Z,在中，Z=-z,在中，Z=-Z,而Z是Z的鄰補(bǔ)角，/=-Z即可求出

14、。解析：設(shè)Z=,則Z=,Z=+=三角形內(nèi)角和定理。，/=。，/=/=【變式】如圖，已知Z=-z為內(nèi)任一點(diǎn)，求證：zz思路點(diǎn)撥：要證zz,這兩個(gè)角度沒(méi)有直接關(guān)系，如連結(jié)并延長(zhǎng)，則在中有zzB而zz1所以zzo證明：過(guò)作射線在中有zz三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角vzz如圖，zz不等式性如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，比較與的大小國(guó)如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，比較與的大小國(guó)思路點(diǎn)撥：三邊關(guān)系是說(shuō)明不等式問(wèn)題的首選方法，尋找或構(gòu)造一個(gè)新的三角形，使它與已知的兩個(gè)三角形聯(lián)系起來(lái)解析：延長(zhǎng)交于點(diǎn)D,則,TOC o 1-5 h z即而得,.總結(jié)升華：通過(guò)作輔助線，構(gòu)造三角形，利用三角形的兩邊之和大于第三邊在這兩個(gè)不

15、等式中，起了橋梁的作用舉一反三：【變式】不等邊三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且周長(zhǎng)是，這樣的三角形共有一個(gè)。解析：設(shè)三角形的三邊為，且。所以+。由題意，得+=。所以，即+C而由、組成三個(gè)小三角形，即、。根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有+由+得結(jié)論。證明：在4、中有+三角形兩邊之和大于第三邊+得，+6某公園便道用三種不同的正多邊形地磚鋪設(shè)，其中E選好Y用正十二邊形和正方形兩種，還需要選用，使這三種組合在一起把便道鋪滿國(guó)思路點(diǎn)撥：當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就能拼成一個(gè)平面圖形.解析：分別計(jì)算正十二邊形與正方形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，它們分別為150和90，再用。一=0每個(gè)內(nèi)角為的正

16、多邊形為正六邊形另外正三角形的兩個(gè)內(nèi)角和也為120，所以正三角形也可以.所以還需選用正六邊形或正三角形.總結(jié)升華：用兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問(wèn)題。舉一反三：【變式】(煙臺(tái)市中考題)現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形.正方形.正六邊形.正八邊形，且它們的邊長(zhǎng)都相等同時(shí)選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有()A種.種.種D種解析：幾個(gè)多邊形圍繞一點(diǎn)拼在一起時(shí)，當(dāng)內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)就能鋪地面。易知正三角形的每個(gè)內(nèi)角為60度，正方形的每個(gè)內(nèi)角為90度，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為1度0，正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為13度

17、5，那么正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正方形與正八邊形都可分別密鋪地面，所以有3種選擇的方式。答案：7餐館的廚房有一塊長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形墻面準(zhǔn)備貼上瓷磚，現(xiàn)在E經(jīng)買YX的瓷磚塊，X的瓷磚三塊，請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一種鋪設(shè)方案，并說(shuō)明設(shè)計(jì)意圖國(guó)思路點(diǎn)撥：此類問(wèn)題應(yīng)先進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算，再尋找合理的設(shè)計(jì)方案解析：c的瓷磚長(zhǎng)寬相差，按圖所示那樣拼，中間會(huì)出現(xiàn)一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，正好放下一塊X的瓷磚，即每塊X的瓷磚周圍需要X的瓷磚塊，所以塊X的瓷磚按圖所示的方法連續(xù)平鋪，然后在大長(zhǎng)方形的上、下各平鋪塊X的瓷磚，則形成了一個(gè)X的大長(zhǎng)方形，即把長(zhǎng)為，寬的長(zhǎng)方形墻面貼滿瓷磚總結(jié)升華：對(duì)于尋找合理的設(shè)計(jì)方案，首先要

18、進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算，然后分情況進(jìn)行分析及論證，選擇最佳方案。舉一反三：【變式】如圖，某部隊(duì)在燈塔周圍進(jìn)行爆破作業(yè)，的周圍千米內(nèi)的區(qū)域?yàn)槲ｋU(xiǎn)區(qū)域，有一漁船誤入離為千米的處，為了盡快駛離危險(xiǎn)區(qū)域，該船應(yīng)沿哪條射線方向航行？（要求給予證明）解析：該船應(yīng)沿射線方向駛離危險(xiǎn)區(qū)域。證明如下：如圖，設(shè)射線交。于點(diǎn)，再在。上任取一點(diǎn)不在直線上，且不與點(diǎn)重合）連結(jié)、，進(jìn)而在A中有B三邊關(guān)系定理但半徑=+,.+,，中考題萃hi.（山西太原市）在4ABC中，ZB=40,ZC=80,則NA的度數(shù)為（）.A.30B.40C.50D.60.（浙江杭州市）如圖，已知直線ABCD,NC=115,NA=25,則NE=（）.A.70

19、B.80C.90D.100ECD.（陜西?。┮粋€(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)之比為2：3:7,這個(gè)三角形一定是（）.A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形.（黑龍江哈爾濱市）某商店出售下列四種形狀的地磚：正三角形；正方形；正五邊形；正六邊形.若只選購(gòu)其中一種地磚鑲嵌地面,可供選擇的地磚共有（）.A.4種B.3種C.2種D.1種.（江蘇無(wú)錫市）五邊形的內(nèi)角和為.（吉林?。┤鐖D，點(diǎn)D、B、C在同一直線上，NA=60,NC=50,ND=25,則N1=.（安徽?。┤鐖D，已知”，,N1=70,N2=40,則N3=.（江蘇南京市）若等腰三角形的一個(gè)外角為70，則它的底角為.（遼寧沈陽(yáng)市）已知ABC中，NA=60,NABC、NACB的平分線交于點(diǎn)O,則NBOC的度數(shù)為.（山西?。┤鐖D所示的圖案是由正六邊形密鋪而成，黑色正六邊形周圍第一層有六個(gè)白色正六邊形，則第個(gè)層有個(gè)白色正六邊形.答案與解析匿（三角形的內(nèi)角和定理：第1、3、7、9題；三角形的外角和定理的運(yùn)用：第2、6、8題；多邊形的內(nèi)角和：第5題；用正多邊形鑲嵌地磚：第4、10題）解析：由三角形的內(nèi)角和為180,可得NA=180NBNC=60.答案：D.解析：.ABCD,.NEFB=NFCD=115.又.NEFB=NA+NE,.NE=NEFBNA=11525=9