廣東省揭陽市榕城區(qū)揭陽三中2022年數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)為（ ）A7B5C3D22已知函數(shù)的圖像為曲線C，若曲線C存在與直線垂直的切線，則實數(shù)m的取值范圍是ABCD3已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的點在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4命題“

2、”的否定是（ ）ABCD5在的展開式中，記項的系數(shù)為，則（）ABCD6為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是( )A簡單隨機抽樣B按性別分層抽樣C按學段分層抽樣D系統(tǒng)抽樣7已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則復（ ）A1BCiD8展開式中第5項的二項式系數(shù)為（ ）A56B70C1120D-11209已知變量，滿足回歸方程，其散點圖如圖所示，則（ ）A，B，C，D，10設函數(shù)，其中，存在使得成立，則實數(shù)的值為（）ABCD11拋物線的

3、準線方程為（）ABCD12甲、乙、丙，丁四位同學一起去問老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀，兩位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（ ）A乙、丁可以知道自己的成績B乙可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D丁可以知道四人的成績二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13袋中有2個白球，1個紅球，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取1個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)2次時停止，設停止時共取了次球，則_14在中，分別是角，所對的邊，且，則的最大值為_15如圖，AD與BC是四

4、面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 .16已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），把曲線C的橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的一半，得到曲線直線l的普通方程是，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求直線l的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）記射線（）與交于點A，與l交于點B，求的值.18（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，求證：

5、19（12分）已知數(shù)列滿足：.（）若，且，成等比數(shù)列，求；（）若，且，成等差數(shù)列，求.20（12分）已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明：.21（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，各項為正的等比數(shù)列的前n項和為，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求22（10分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點分別為，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切(1)求橢圓的方程；(2)設不過原點的直線與橢圓C交于兩點,若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析

6、】令，先求出方程的三個根，然后分別作出直線，與函數(shù)的圖象，得出交點的總數(shù)即為所求結果.【詳解】令，先解方程.（1）當時，則，得；（2）當時，則，即，解得，.如下圖所示：直線，與函數(shù)的交點個數(shù)為、，所以，方程的根的個數(shù)為，故選A.【點睛】本題考查復合函數(shù)的零點個數(shù)，這類問題首先將函數(shù)分為內層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個根，再作出這些直線與內層函數(shù)圖象的交點總數(shù)即為方程根的個數(shù)，考查數(shù)形結合思想，屬于難題2、A【解析】求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義以及直線垂直的等價條件，轉化為有解，即可得到結論.【詳解】由題意，函數(shù)的導數(shù)，若曲線C存在與直線垂直的切線，則切線的斜率為，滿足，即有解，因為

7、有解，又因為，即，所以實數(shù)的取值范圍是，故選A.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用，以及方程的有解問題，其中解答中把曲線 存在與直線垂直的切線，轉化為有解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.3、C【解析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【詳解】，復數(shù)對應的點的坐標為，在第三象限故選【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題4、B【解析】根據(jù)“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”判斷.【詳解】“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，命題“”的否定是，故選：B.【點睛】本題主要考查命題的否定，還考查理解辨析的能力，屬于

8、基礎題.5、C【解析】根據(jù)題意，表示出展開式的項對應次數(shù)，由二項式定理展開式的性質即可求得各項對應的系數(shù)，即可求解.【詳解】由題意記項的系數(shù)為，可知對應的項為；對應的項為；對應的項為；對應的項為；而展開式中項的系數(shù)為；對應的項的系數(shù)為；對應的項的系數(shù)為;對應的項的系數(shù)為;所以，故選：C.【點睛】本題考查了二項式定理展開式及性質的簡單應用，屬于基礎題.6、C【解析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點：分層抽樣7、C【解析】利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的冪運算性質，化簡復數(shù)到最簡形式【詳解】解：復數(shù)，故選：【點睛】本題考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個復數(shù)相除，分子和分母同時

9、除以分母的共軛復數(shù)，屬于基礎題8、B【解析】分析：直接利用二項展開式的通項公式求解即可.詳解：展開式的通項公式為則展開式中第5項的二項式系數(shù)為點睛：本題考查二項展開式的通項公式，屬基礎題.9、D【解析】由散點圖知變量負相關，回歸直線方程的斜率小于1；回歸直線在y軸上的截距大于1可得答案.【詳解】由散點圖可知，變量之間具有負相關關系回歸直線的方程的斜率回歸直線在軸上的截距是正數(shù)故選：D【點睛】本題考查了散點圖與線性回歸方程的應用問題，是基礎題10、A【解析】試題分析：函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，lnx2）與動點N（A，2A）之間距離的平方，動點M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x

10、的圖象上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由y=2lnx得，y=2，解得x=1，曲線上點M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離D=，則f（x），根據(jù)題意，要使f（），則f（）=，此時N恰好為垂足，由，解得考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用11、D【解析】化簡拋物線方程為標準方程，然后求解準線方程【詳解】拋物線的標準方程為：，準線方程故選：D【點睛】本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力12、A【解析】根據(jù)甲的所說的話，可知乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，再結合簡單的合情推理逐一分析可得出結果.【詳解】因為甲、乙、丙、丁四位同學中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，又甲看了乙、丙

11、的成績且還不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，又乙看了丙的成績，則乙由丙的成績可以推出自己的成績，又甲、丁的成績中一位優(yōu)秀、一位良好，則丁由甲的成績可以推出自己的成績.因此，乙、丁知道自己的成績，故選：A.【點睛】本題考查簡單的合情推理，解題時要根據(jù)已知的情況逐一分析，必要時可采用分類討論的思想進行推理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、 【解析】由題意可知最后一次取到的是紅球，前3次有1次取到紅球，由古典概型求得概率?！驹斀狻坑深}意可知最后一次取到的是紅球，前3次有1次取到紅球，所以，填。【點睛】求古典概型的概率，關鍵

12、是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關知識，計數(shù)時要正確分類，做到不重不漏.14、【解析】利用正弦定理邊化角化簡可求得,則有,則借助正弦函數(shù)圖象和性質即可求出.【詳解】因為，所以，所以所以，因為，所以當時，取得最小值故答案為: .【點睛】本題考查正弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質,屬于常考題.15、【解析】作BEAD于E，連接CE，則AD平面BEC，所以CEAD，由題設，B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中點F，連接EF，則EFBC，EF=2，四面體ABCD的體積，顯然，當E在AD中點，即B是短軸端點時，B

13、E有最大值為b=，所以.評注 本題把橢圓拓展到空間，對缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點：AB=BD(同時AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天！16、 【解析】分析：求出，由，列出不等式組能求出結果詳解：根據(jù)題意可得，由可得 即答案為.點睛：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由為參數(shù)），消去參數(shù)，得曲線的普通方程，然后利用伸縮與平移變換可得的普通方程；（2）分別把代入與的

14、極坐標方程，求得，的值，則的值可求【詳解】（1）將代入直線l的方程，得：化簡得直線l的極坐標方程為.由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)得曲線C的普通方程為：，伸縮變換，即，代入，得，即故曲線的普通方程為：.（2）由（1）將曲線的普通方程化為極坐標方程為，將（）代入，得，將（）代入得，故.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及其應用，著重考查了運算與求解能力，是中檔題18、 (1) 見解析；(2)證明見解析【解析】（1）由f（x）含有參數(shù)a，單調性和a的取值有關，通過分類討論說明導函數(shù)的正負，進而得到結論；（2）法一：將已知變形，對a分

15、類討論研究的正負，當與時，通過單調性可直接說明，當時，可得g（x）的最大值為,利用導數(shù)解得結論法二：分析時，且使得已知不成立；當時，利用分離變量法求解證明.【詳解】（1），當時，由得，得，所以在上單調遞增；當時，由得，解得，所以在上單調遞增，在在上單調遞減；（2）法一：由得（*），設，則，當時，所以在上單調遞增，可知且時，可知（*）式不成立；當時，所以在上單調遞減，可知（*）式成立；當時，由得，所以在上單調遞增，可知在上單調遞減，所以，由（*）式得，設，則，所以在上單調遞減，而，h（1）=1-2=-10，所以存在t，使得h（t）=0，由得；綜上所述，可知法二：由得 （*），當時，得，且時，可知

16、（*）式不成立；當時，由（*）式得，即，設，則，設，則，所以在上單調遞減，又，所以， （*），當時， ，得，所以在上遞增，同理可知在上遞減，所以，結合（*）式得，所以，綜上所述，可知【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及恒成立問題，涉及到了導數(shù)的應用、分類討論、構造函數(shù)等方法技巧，屬于較難題19、（）或；（）是小于等于的所有實數(shù)值.【解析】（）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，成等比數(shù)列，列出等式，求出；（）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，成等差數(shù)列，列出等式，求出；【詳解】（I）因為，所以， 因為，成等比數(shù)列，所以， 時，所以，得；當，所以，得（舍）或 綜合可知，或.

17、 （II）因為，所以， 因，成等差數(shù)列，而顯然，成等差數(shù)列且公差為4，所以得，即， 故即所求是小于等于的所有實數(shù)值.【點睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，考查了絕對值的運算，考查了數(shù)列遞推公式的應用，考查了分類思想.20、（）-1,+）（）見解析【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，以及利用導數(shù)求解不等式，或者參數(shù)范圍的運用解：（），,題設等價于.令，則當，；當時，是的最大值點，綜上，的取值范圍是.()由（）知，即.當時，；當時，所以21、 (1),(2)【解析】（1）首先設出等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比，根據(jù)題中所給的式子，得到關于與的等量關系式，解方程組求得結果，之后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出結果即可；（2）根據(jù)題中所給的條件，求得其公比，根據(jù)條件，作出取舍，之后應用公式求得結果.【詳解】(1)設的公差為d，的公比為q，由得d+q=3，由得2d+q2=6, 解得d=1,q=2.所以的通項公式為；（2）由得q2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，當q=4時，d=-1，則S3=-6。【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式與求和公式，等比數(shù)列