差分方程方法與應(yīng)用應(yīng)用舉例

1、差分方程方法與應(yīng)用應(yīng)用舉例第1頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三差分方程建模處理動(dòng)態(tài)的離散型的問(wèn)題處理對(duì)象雖然涉及的變量(如時(shí)間)是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型(微分方程)化為離散型(差分方程)問(wèn)題 第2頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2 銀行復(fù)利問(wèn)題3 抵押貸款買(mǎi)房問(wèn)題 4 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型5 減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)6 按年齡分組的種群增長(zhǎng)7 差分基礎(chǔ)知識(shí)第3頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三1 蛛 網(wǎng) 模 型gx0y0P0fxy0

2、xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 第4頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三xy0fgy0 x0P0設(shè)x1偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xy0y0 x0P0fg曲線斜率蛛 網(wǎng) 模 型第5頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方 程 模 型方程模型與蛛網(wǎng)

3、模型的一致第6頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 商品數(shù)量減少1單位, 價(jià)格上漲幅度 價(jià)格上漲1單位, (下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察 , 的含義 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋第7頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使 盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變2. 使 盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直第8頁(yè)，共54頁(yè)，2022年

4、，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件第9頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三方程通解(c1, c2由初始條件確定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來(lái)的條件 放寬了模型的推廣第10頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三2 銀行復(fù)利問(wèn)題 背景所付利息一年內(nèi)復(fù)合n次，即把一年分n個(gè)相等的時(shí)間段，而所付利息為每一時(shí)間段的未尾 .給出一個(gè)可以

5、預(yù)測(cè)在任意給定時(shí)間的帳目余額 分析帳目余額與時(shí)間直接相關(guān)，而時(shí)間是離散的本期結(jié)束時(shí)的總存款等于前一時(shí)期余下的本利，及本利得到的利息與第本期內(nèi)新存入的存款之和 任何時(shí)候都可以存款第11頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三模型假設(shè)1. 儲(chǔ)蓄的年利率為 r2. 任何時(shí)候都可以存款，但存款利息只從下一時(shí)期開(kāi)始計(jì)算，如時(shí)間段開(kāi)始第一天的存款即開(kāi)始計(jì)算利息 t期結(jié)束時(shí)的總存款 記號(hào)第t期內(nèi)的新存款 第12頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三模 型注：上式中n=2時(shí)，相應(yīng)于半年的復(fù)利，而n=365則是相應(yīng)于逐日計(jì)算的復(fù)利第13頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)

6、45分，星期三3 抵押貸款買(mǎi)房問(wèn)題 背景 每戶人家都希望有一套屬于自己的住房，但又沒(méi)有足夠的資金一次買(mǎi)下。這就產(chǎn)生了貸款買(mǎi)房問(wèn)題。某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則理想的房產(chǎn)廣告：“名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優(yōu)惠價(jià)40.2萬(wàn)元。若不能一次性付款也沒(méi)關(guān)系，只付首期款為15萬(wàn)元，其余每月1977.04元等額償還，15年還清。(公積金貸款月利息為3.675）。問(wèn)題公寓原來(lái)價(jià)多少？每月等額付款如何算出來(lái)？第14頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三假設(shè)貸款期限內(nèi)利率不變 銀行利息按復(fù)利計(jì)算 記號(hào)A（元）：貸款額（本金） n（月）：貨款期限r(nóng) ：月利

7、率B(元) :月均還款額 Ck：第k個(gè)月還款后的欠款第15頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三模型求解代入n=180、 r=0.003675、 B=1977.04結(jié)果： A=260000（元）一次性優(yōu)惠價(jià)9.8折還款總額 ？ 利息負(fù)擔(dān)總額 ？第16頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三4 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與r大小無(wú)關(guān))離散形式x(t) 某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量(人口)yk 某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN

8、 ？y*=N 是平衡點(diǎn)第17頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程 (1)的平衡點(diǎn)y*=N討論 x* 的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點(diǎn)第18頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三(1)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程 x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性第19頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三01的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性x* 穩(wěn)定x* 不穩(wěn)定另一

9、平衡點(diǎn)為 x=0不穩(wěn)定第20頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三01/2101的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性第21頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三初值 x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果b 3.57, 不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象4倍周期收斂第25頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b第26頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三5 減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持 通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（

10、吸收熱量）引起體重增加 代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重; BMI30 肥胖.第27頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當(dāng)于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第28頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月2

11、0日，4點(diǎn)45分，星期三基本模型w(k) 第k天(末)體重c(k) 第k天吸收熱量 代謝消耗系數(shù)(因人而異): 因運(yùn)動(dòng),每小時(shí)每千克體重消耗的熱量 (千卡) (因運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目而異)t: 每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))第29頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo) 2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的

12、方案。第30頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡基本模型w(k) 第k周(末)體重c(k) 第k周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收20000千卡 w=100千克不變第31頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃第32頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 第二階段：每

13、周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型第33頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克 第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克。第34頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三運(yùn)動(dòng) t=24 (每周跳舞8小時(shí)或自行車(chē)10小時(shí)), 14周即可。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量 (千卡): 跑步 跳舞 乒乓 自行車(chē)(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))基

14、本模型第35頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三3）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變 不運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)第36頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三6 按年齡分組的種群增長(zhǎng) 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記i=1,2, , n 時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象 第i 年齡組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的繁殖率為bi 第i 年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- d

15、i第37頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三假設(shè)與建模xi(k)時(shí)段k第i 年齡組的種群數(shù)量按年齡組的分布向量預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個(gè)bi0)第38頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí) L矩陣存在正單特征根1， 若L矩陣存在bi, bi+10, 則 P的第1列是x*特征向量, c是由bi, si, x(0)決定的常數(shù) 且解釋L對(duì)角化第39頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱(chēng)穩(wěn)定分布, 與初始分布無(wú)關(guān)。

16、 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， 稱(chēng)固有增長(zhǎng)率與基本模型比較3）=1時(shí) 各年齡組種群數(shù)量不變第40頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 1個(gè)個(gè)體在整個(gè)存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析存活率 si是同一時(shí)段的 xi+1與 xi之比（與si 的定義 比較） 3）=1時(shí)第41頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三處一階向前差分 7 差分基礎(chǔ)知識(shí)一 差分 1.概念 （h為非零實(shí)數(shù)稱(chēng)為步長(zhǎng) ）處k階向前差分 第42頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三處一階向后差分 處k階向后差分 處一階中心差分 處k階中心差分 第43頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5

17、月20日，4點(diǎn)45分，星期三2. 性質(zhì)第44頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三二 常微分方程化為差分方程 用導(dǎo)數(shù)近似式替代導(dǎo)數(shù)或者說(shuō)用適當(dāng)近似式替代含有導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，可以得到這些近似值滿足的代數(shù)方程-差分方程 以二階常微分方程邊值問(wèn)題為例 目的求差分法第45頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三一般k階常系數(shù)線性差分方程為差分方程第46頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三三 偏微分方程化為差分方程以二階橢圓方程的邊值問(wèn)題為例用兩族平行坐標(biāo)軸的直線 正方形網(wǎng)格把區(qū)域G剖分 第47頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三節(jié)點(diǎn)可分三類(lèi) 1通過(guò)該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格線上的相鄰四網(wǎng)點(diǎn)都在G內(nèi),記 G12在G內(nèi)部但不屬于G1 ，記G23恰在邊界上記G3 確定各節(jié)點(diǎn)處解的近似值uij，需要建立代數(shù)方程，每一節(jié)點(diǎn)建立一個(gè)代數(shù)方程任務(wù)第48頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三(i，j-1) (i，j+1) (i-1，j)(i，j)(i+1，j)偏導(dǎo)數(shù)近似式替代第49頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三差分方程 N (i，j) E第50頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三 偏導(dǎo)數(shù)近似式替代第51頁(yè)，共54頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)45分，星期三四 二階常