彈性力學逆解法和半逆解法多項式解法

1、第1頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三第三節(jié) 位移分量的求出第四節(jié) 簡支梁受均布荷載第五節(jié) 楔形體受重力和液體壓力例題第一節(jié) 逆解法與半逆解法 多項式解答第二節(jié) 矩形梁的純彎曲第三章 平面問題的直角坐標解答第2頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三31 逆解法和半逆解法 多項式解法當體力為常量，按應力函數(shù) 求解平面應力問題時， 應滿足 按 求解 多連體中的位移單值條件。 (c) S = 上應力邊界條件, A內相容方程第3頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 對于單連體，(c)通常是自然滿足的。只須滿足(a),(b)。 由 求應力

2、的公式是(d)第4頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三2 .逆解法 先滿足(a),再滿足(b)。步驟:(e)逆解法 先找出滿足 的解 在給定邊界形狀S下，由式(b)反推出 各邊界上的面力， 代入(d), 求出第5頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和應力。 逆解法 逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。第6頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三例2 二次式 ，分別表示常量 的應力和邊界面力。如圖示。例1 一次式 對應于無體力， 無面力，無應力狀態(tài)。故應力函數(shù)加減 一次式，不影響應力。

3、逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第7頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步驟：半逆解法 由應力(d)式，推測 的函數(shù)形式； 假設應力的函數(shù)形式 （根據(jù)受力情況，邊界條件等）；第8頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 由式（d），求出應力；半逆解法 校核全部應力邊界條件（對于多連體， 還須滿足位移單值條件）。 如能滿足，則為正確解答；否則修改假設，重新求解。第9頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三思考題半逆解法1. 在單連體中，應力函數(shù)必須滿足哪些條件？逆解法和半逆解法是如何滿足這些

4、條件的？2. 試比較逆解法和半逆解法的區(qū)別。第10頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三3-2 矩形梁的純彎曲 梁lh1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。 問題提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM第11頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 由逆解法得出，可取 ，且滿足 求應力 (a) 求解步驟： 本題是平面應力問題,且為單連體，若按 求解， 應滿足相容方程及 上的應力邊界條件。第12頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 檢驗應力邊界條件，原則是: 邊界條件 b.后校核次要邊界（小邊界

5、），若不能精確滿足應力邊界條件，則應用圣維南原理，用積分的應力邊界條件代替。 a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應力邊界條件。第13頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三主要邊界 從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。滿足。主要邊界次要邊界 x=0, l,(c) 的邊界條件無法精確滿足。第14頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三次要邊界用兩個積分的條件代替 第15頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 當 時，即使在 邊界上面力不同于 的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應力

6、解(e)第16頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 如果區(qū)域內的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。試對此結論加以說明。思考題第17頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三3-3 位移分量的求出 在按應力求解中，若已得出應力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出第18頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三1. 由物理方程求形變求形變第19頁，共106頁，2

7、022年，5月20日，9點40分，星期三2. 代入幾何方程求位移求位移第20頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 對式(a)兩邊乘 積分, 對式(b)兩邊乘 積分 , 求位移第21頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 再代入(c) , 并分開變量， 上式對任意的 x , y 都必須成立，故兩邊都必須為同一常量 。求位移第22頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三由此解出求位移得出位移為3.待定的剛體位移分量 ，須由邊界約束條件來確定。第23頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三2.代入幾何方程，積分求 ； 歸納

8、：從應力求位移步驟：3.由邊界約束條件確定確定剛體位移分量由物理方程求出形變；第24頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三2. 鉛直線的轉角 故在任一截面x 處，平面截面假設成立。純彎曲問題的討論：1. 彎應力 與材料力學的解相同。3.縱向纖維的曲率 同材料力學的結 果。故在純彎曲情況下，彈性力學解與材料力 學解相同。 第25頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三思考題2. 試證明剛體位移 實際上表示彈性體中 原點的平移和轉動分量，并應用本節(jié)的解答加以 驗證。 提示：微分體的轉動分量為彈性力學中關于純彎曲梁的解答，與材料力學 的解答在應力、形變等方面完全

9、 一致。由此 是否可以說在純彎曲情況下材料力學中的平截 面假設成立？第26頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三3-4 簡支梁受均布荷載簡支梁 ，受均布荷載 及兩端支撐反力 。問題yxoll h/2 h/2第27頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三現(xiàn)采用此假設。半逆解法按半逆解法求解。 假設應力分量。由材料力學因為因為所以，可假設所以，可假設因為所以，可假設第28頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 由應力分量推出應力函數(shù)的形式。由對 x 積分，對x再積分，(a)半逆解法第29頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星

10、期三 將 代入相容方程，求解 :相容方程對于任何 均應滿足,故的系數(shù)均應等于0，由此得三個常微分方程。半逆解法第30頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三式(b)中已略去對于 的一次式。將式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第31頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 對稱性條件由于結構和荷載對稱于 軸，故 應為 的偶函數(shù)， 為 x的奇函數(shù)，故 。 由 求應力。半逆解法 在無體力下，應力公式如書中式( f ), (g),(h)所示。第32頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 考察邊界條件。由此解出系數(shù)A , B , C

11、 , D 。 主要邊界主要邊界第33頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三次要邊界次要邊界由此解出H，K.另一次要邊界(x= -l )的條件，自然滿足。應用圣維南原理，列出三個積分條件，第34頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三最后應力解答：應力第35頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三應力的量級當 時, x l 同階， y h 同階. 第一項 同階,（與材料力學解同）;第二項 同階, （彈性力學的修正項）同階, （與材料力學解同）應力的量級同階, （材料力學中不計）第36頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三

12、當 時, 量級的值很小,可以不計。應力與材料力學解比較:最主要量級 , 和次要量級 ,在材料力學中均已反映，且與彈性力學相同。最小量級 , 在材料力學中沒有。 當 時, 僅占主項 的1/15 ( 6 %) ,應力比較中的彈性力學修正項：第37頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三彈性力學與材料力學的解法比較:應力比較 彈性力學嚴格考慮并滿足了A內的平衡微分方程 ,幾何方程和物理方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。 材料力學在許多方面都作了近似處理,所以得出的是近似解答。第38頁，共106頁，2022年，5月20日，9

13、點40分，星期三幾何條件中引用平截面假定 沿 為直線分布；例如：邊界條件也沒有嚴格考慮；平衡條件中沒有考慮微分體的平衡，只 考慮 的內力平衡；材料力學解往往不滿足相容條件。第39頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 對于桿件，材料力學解法及解答具有足夠的精度； 對于非桿件，不能用材料力學解法求解，應采用彈性力學解法求解。第40頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三當問題中的y軸為對稱軸時，試說明 和 應為x的偶函數(shù)，而 應為x的奇函數(shù)。思考題對于梁的彎曲問題，試回憶在材料力學 中是如何考慮平衡條件的？第41頁，共106頁，2022年，5月20日，9點4

14、0分，星期三 3. 試說明從彈性力學得出的解答（3-6）不 符合平面截面假設。 4. 材料力學的解答往往不滿足相容條件， 為什么？第42頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三3-5 楔形體受重力及液體壓力 設有楔形體，左面垂直，頂角為，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力。oyxn第43頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三用半逆解法求解。因為應力 , 而應力的量綱只比高一次（L），所以應力 (x , y 一次式）,= 即可假設應力為x , y 的一次式。（1）用量綱分析法假設應力:第44頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三（2）由應力

15、 關系式， 應為x,y的三次式，（3） 滿足相容方程（4）由 求應力，第45頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三（5）考察邊界條件-本題只有兩個大邊 界，均應嚴格滿足應力邊界條件。 x=0 鉛直面，解出解出第46頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三斜邊界上，須按一般的應力邊界條件來表示，有第47頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三其中由式（b)解出a、b,最后的應力解答,應力第48頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三水平截面上的應力分布如圖所示。第49頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期

16、三楔形體解答的應用: 作為重力壩的參考解答； 分逢重力壩接近平面應力問題； 在壩體中部的應力，接近楔形體的解答。 重力壩規(guī)范規(guī)定的解法 材料力學解法（重力法）. 重力壩的精確分析，可按有限單元法進行。第50頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三思考題 重力法是按應力求解的，試回憶應力分量 必須滿足哪些條件？在重力法中考慮了哪些條件？第51頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三第三章例題例題1例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5第52頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三例題1 設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力

17、可以不計， 圖3-5，試用應力函數(shù) 求解應力分量。第53頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三圖3-5ydyyxl h/2 h/2o第54頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三解： 本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應力函數(shù) ，可按下列步驟求解。1. 將 代入相容方程，顯然是滿足的。2. 將 代入式(2-24)，求出應力分量。第55頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三考察邊界條件： 主要邊界 上應精確滿足式(2-15),第56頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應用

18、圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負x面，圖3-5中表示了負x面上的 的正方向，由此得：第57頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三第58頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三由(a),(b) 解出 最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。第59頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三代入應力公式，得第60頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三例題2 擋水墻的密度為 ，厚度為b,圖示,水的密度為 ，試求應力分量。yox第61頁，共10

19、6頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三解：用半逆解法求解。假設應力分量的函數(shù)形式。 因為在 y=-b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設在區(qū)域內 沿x 向 也是一次式變化，即 第62頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三2. 按應力函數(shù)的形式，由 推測 的形式，所以第63頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三3. 由相容方程求應力函數(shù)。代入 得要使上式在任意的x處都成立，必須 第64頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 代入 ，即得應力函數(shù)的解答，其中已略去了與應力無關的一次式。第65頁，共106頁，2022年

20、，5月20日，9點40分，星期三 4. 由應力函數(shù)求解應力分量。將 代入式(2-24) ,注意 ， 體力求得應力分量為第66頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三考察邊界條件：主要邊界 上,有得得得第67頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三由上式得到第68頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三求解各系數(shù)，由得得得得第69頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三由此得又有代入A,得第70頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：由式(g),(h)

21、解出第71頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三代入應力分量的表達式得最后的應力解答：第72頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三例題3已知試問它們能否作為平面問題的應力函數(shù)？第73頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三解： 作為應力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，將 代入，(a) 其中A= 0，才可能成為應力函數(shù)；(b)必須滿足 3(A+E)+C=0,才可能成為應力函數(shù)。第74頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三例題4圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩 的作用，試用應力函數(shù)求解圖示問題的應力及位移，設

22、在A點的位移和轉角均為零。第75頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三bbAyxhOFFb/2第76頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三解：應用應力函數(shù)求解：(1) 校核 相容方程 ，滿足.(2) 求應力分量 ，在無體力時，得(3) 考察主要邊界條件，均已滿足第77頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三考察次要邊界條件，在y=0上，滿足。得得第78頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 上述應力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。代入，得應力的解答，第79頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40

23、分，星期三(4) 求應變分量，第80頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三(5) 求位移分量，第81頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三將u,v代入幾何方程的第三式，兩邊分離變量，并全都等于 常數(shù)，即第82頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三從上式分別積分，求出代入u,v, 得第83頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三再由剛體約束條件，得得得第84頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三代入u,v,得到位移分量的解答在頂點x=y=0，第85頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，

24、星期三例題5 圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應力函數(shù)求解應力分量。第86頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三yxo h/2 h/2l第87頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三 解：應用上述應力函數(shù)求解：(1) 將 代入相容方程，由此，第88頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三(2) 代入應力公式，在無體力下，得(3) 考察主要邊界條件第89頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三對于任意的x值，上式均滿足，由此得(a)(b)(c)(d)第90頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)第91頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三(4) 考察小邊界上的邊界條件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）第92頁，共106頁，2022年，5月20日，9點40分，星期三另兩個積分的邊界條件，顯然是滿足的。第93頁