初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第三章圓-整合提升密碼

1、專訓(xùn)1圓中常見的計(jì)算題型名師點(diǎn)金：與圓有關(guān)的計(jì)算主要涉及圓與其他幾何圖形結(jié)合，利用圓周角定理求角度，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形并結(jié)合勾股定理，已知弦長、弦心距、半徑三個(gè)量中的任意兩個(gè)量時(shí)，可求出第三個(gè)量，利用弧長、扇形面積公式計(jì)算弧長、扇形面積等 有關(guān)角度的計(jì)算1如圖，I是ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)為三個(gè)切點(diǎn)若DEF52，則A的度數(shù)為()A76 B68 C52 D38(第1題)(第2題)2如圖，有一圓經(jīng)過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，且弦BC的中垂線與eq o(AC,sup8()相交于D點(diǎn)若B74，C46，則eq o(AD,sup8()所對(duì)圓心角的度數(shù)為()A23 B28 C30 D373(中考婁底)如圖

2、，在O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，連接AD，BC，BD.(1)求證：ABDCDB；(2)若DBE37，求ADC的度數(shù)(第3題) 半徑、弦長的計(jì)算4(中考南京)如圖，在O中，CD是直徑，弦ABCD，垂足為E，連接BC，若AB2eq r(2) cm，BCD2230，則O的半徑為_(第4題)(第5題)5如圖，AB為O的直徑，延長AB至點(diǎn)D，使BDOB，DC切O于點(diǎn)C，點(diǎn)B是eq o(CF,sup8()的中點(diǎn)，弦CF交AB于點(diǎn)E.若O的半徑為2，則CF_.6如圖，在O中，直徑AB與弦AC的夾角為30，過點(diǎn)C作O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，OD30 cm.求直徑AB的長(第6題) 面積的

3、計(jì)算7(2023麗水)如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作O的切線DF，交AC于點(diǎn)F.(1)求證：DFAC；(2)若O的半徑為4，CDF，求陰影部分的面積(第7題)專訓(xùn)2圓中常用的作輔助線的方法名師點(diǎn)金：在解決有關(guān)圓的計(jì)算或證明題時(shí)，往往需要添加輔助線，根據(jù)題目特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)妮o助線至關(guān)重要圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同圓的半徑相等；連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角；證切線時(shí)“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等 作半徑，巧用同圓的半徑相等1如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D在

4、半圓O上，頂點(diǎn)B，C在半圓O的直徑上；小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓O上，E點(diǎn)在半圓O的直徑上，點(diǎn)G在大正方形的邊AB上若小正方形的邊長為4 cm，求該半圓的半徑(第1題) 連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等2如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角ACM的平分線與圓交于D點(diǎn)，DPAC，垂足是P，DHBM，垂足為H，求證：APBH.(第2題) 作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角3如圖，O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.(1)求證：AD2BC24R2；(2)若弦AD，BC的長是方程x26x50的兩個(gè)根(ADBC)，求O的半徑及點(diǎn)O到AD的距離(第3題) 證切線時(shí)輔助線作法的應(yīng)用4如圖

5、，ABC內(nèi)接于O，CACB，CDAB且與OA的延長線交于點(diǎn)D.判斷CD與O的位置關(guān)系，并說明理由【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782105】(第4題) 遇弦加弦心距或半徑5如圖，在半徑為5的O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且ABCD8，則OP的長為()A3 B4 C3eq r(2) D4eq r(2)(第5題)(第6題)6(中考貴港)如圖，AB是O的弦，OHAB于點(diǎn)H，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，若AB2eq r(3)，OH1，則APB_. 遇直徑巧作直徑所對(duì)的圓周角7如圖，在ABC中，ABBC2，以AB為直徑的O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求證：ABC為等邊三角形(2)求DE的長

6、(第7題) 遇切線巧作過切點(diǎn)的半徑8如圖，O是RtABC的外接圓，ABC90，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，且PAPB.(1)求證：PB是O的切線；(2)已知PAeq r(3)，ACB60，求O的半徑【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782106】(第8題) 巧添輔助線計(jì)算陰影部分的面積9(中考自貢)如圖，點(diǎn)B，C，D都在O上，過點(diǎn)C作ACBD交OB的延長線于點(diǎn)A，連接CD，且CDBOBD30，DB6eq r(3) cm.(1)求證：AC是O的切線；(2)求由弦CD，BD與eq o(BC,sup8()所圍成的陰影部分的面積(結(jié)果保留)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782107】(第9題)專訓(xùn)3圓的實(shí)際應(yīng)用名師點(diǎn)金：與圓有關(guān)的知

7、識(shí)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)解決這些問題，可以達(dá)到學(xué)以致用的目的 利用垂徑定理解決臺(tái)風(fēng)問題1如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30 km/h，受影響區(qū)域的半徑為200 km，B市位于點(diǎn)P北偏東75的方向上，距離P點(diǎn)320 km處(1)試說明臺(tái)風(fēng)是否會(huì)影響B(tài)市；(2)若B市受臺(tái)風(fēng)的影響，求臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間(第1題) 利用圓周角知識(shí)解決足球射門問題(轉(zhuǎn)化思想)2如圖，在“世界杯”足球比賽中，隊(duì)員甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴隊(duì)員乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)，現(xiàn)有兩種射門方式：一是由隊(duì)員甲直接射門；二是隊(duì)員甲

8、將球迅速傳給隊(duì)員乙，由隊(duì)員乙射門從射門角度考慮，你認(rèn)為選擇哪種射門方式較好？為什么？(第2題) 利用直線與圓的位置關(guān)系解決范圍問題3已知A，B兩地相距1 km.要在A，B兩地之間修建一條筆直的水渠(即圖中的線段AB)，經(jīng)測(cè)量在A地的北偏東60方向，B地的北偏西45方向的C處有一個(gè)以C為圓心，350 m為半徑的圓形公園，則修建的這條水渠會(huì)不會(huì)穿過公園？為什么？(第3題) 利用圓錐側(cè)面展開圖解決材料最省問題4如圖，某工廠要選一塊矩形鐵皮加工成一個(gè)底面半徑為20 cm，高為40eq r(2) cm的圓錐形漏斗，要求只能有一條接縫(接縫忽略不計(jì))，請(qǐng)問：選長、寬分別為多少厘米的矩形鐵皮，才能使所用材料

9、最?。?第4題)專訓(xùn)4與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題名師點(diǎn)金：對(duì)于與圓有關(guān)的運(yùn)動(dòng)情形下的幾何問題，在探究求值問題時(shí)，通常應(yīng)對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中所有可能出現(xiàn)的不同情形進(jìn)行分析，如果符合某些條件的點(diǎn)、線等幾何圖形不唯一，要注意分類討論，在探究確定結(jié)論成立情況下的已知條件時(shí)，可以把確定結(jié)論當(dāng)作已知用 利用圓探究運(yùn)動(dòng)中形成的特殊幾何圖形問題1如圖，AB是半圓O的直徑，BC是弦，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB向點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動(dòng)，若AB長為10 cm，點(diǎn)O到BC的距離為4 cm.(1)求弦BC的長；(2)經(jīng)過幾秒BPC是等腰三角形？(PB不能為底邊)(第1題)2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫O，

10、P是O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作O的切線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B.(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度也在發(fā)生變化，請(qǐng)寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；(2)在O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，O，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由(第2題) 利用圓探究運(yùn)動(dòng)中的特殊位置關(guān)系問題3如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ABC90，AB12 cm，AD8 cm，BC22 cm，AB為O的直徑，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)當(dāng)其中

11、一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s當(dāng)t為何值時(shí)，PQ與O相切？(第3題) 利用圓探究運(yùn)動(dòng)中的面積問題4如圖，在O中，AB為O的直徑，AC是弦，OC4，OAC60.(1)求AOC的度數(shù)；(2)如圖，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)SMAOSCAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782108】(第4題)專訓(xùn)5圓與學(xué)科內(nèi)的綜合應(yīng)用名師點(diǎn)金：圓的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是歷年中考命題的熱點(diǎn)，在中考中常常與三角函數(shù)、相似、二次函數(shù)等結(jié)合，作為壓軸題出現(xiàn) 圓與三角函數(shù)的綜合1(2023遂寧)如圖，AB為O的直徑，直線CD切O于點(diǎn)D，AMCD于點(diǎn)M，BNCD

12、于點(diǎn)N.(1)求證：ADCABD；(2)求證：AD2AMAB；(3)若AMeq f(18,5)，sin ABDeq f(3,5)，求線段BN的長【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782109】(第1題) 圓與相似的綜合2如圖，RtABC內(nèi)接于O，ACB90，點(diǎn)P在弧AB上移動(dòng)，P，C分別位于AB的異側(cè)(P不與A，B重合)，PCD也為直角三角形，PCD90，且RtPCD的斜邊PD經(jīng)過點(diǎn)B，BA，PC相交于點(diǎn)E.(1)當(dāng)BA平分PBC時(shí)，求eq f(BE,CD)的值；(2)已知AC1，BC2，求PCD面積的最大值【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782110】(第2題) 圓與二次函數(shù)的綜合3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A與x軸相交于C(2

13、，0)，D(8，0)兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)B(0，4)(1)求經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，證明：直線CE與A相切(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)F，使BDF面積最大，最大值是多少？并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782111】(第3題)專訓(xùn)6全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用名師點(diǎn)金：圓的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是歷年中考命題的熱點(diǎn)本章題型廣泛，主要考查圓的概念、基本性質(zhì)以及圓周角定理及其推論，直線與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)和判定，正多邊形與圓的計(jì)算和證明等，通常以這些知識(shí)為載體，與函數(shù)方程等知識(shí)綜合考查全章熱門考點(diǎn)可概括為：一個(gè)概念、三個(gè)定理、三個(gè)關(guān)系、兩個(gè)圓與

14、三角形、兩個(gè)公式、兩個(gè)技巧、兩種思想 一個(gè)概念圓的相關(guān)概念1下列說法正確的是()A直徑是弦，弦也是直徑B半圓是弧，弧是半圓C無論過圓內(nèi)哪一點(diǎn)，只能作一條直徑D在同圓或等圓中，直徑的長度是半徑的2倍 三個(gè)定理eq avs4al(定理1：)垂徑定理2(2023北京)如圖，AB是O的直徑，過點(diǎn)B作O的切線BM，弦CDBM，交AB于點(diǎn)F，且eq o(DA,sup8()eq o(DC,sup8()，連接AC，AD，延長AD交BM于點(diǎn)E.(1)求證：ACD是等邊三角形；(2)連接OE，若DE2，求OE的長(第2題)eq avs4al(定理2：)圓心角、弦、弧間的關(guān)系定理3如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，

15、AOC40，D是eq o(BC,sup8()的中點(diǎn)，求ACD的度數(shù)(第3題)eq avs4al(定理3：)圓周角定理4如圖，已知AB是O的弦，OB2，B30，C是弦AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接CO并延長CO交O于點(diǎn)D，連接AD.(1)弦長AB_(結(jié)果保留根號(hào))(2)當(dāng)D20時(shí)，求BOD的度數(shù)(3)當(dāng)AC的長度為多少時(shí)，以點(diǎn)A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B，C，O為頂點(diǎn)的三角形相似？(第4題) 三個(gè)關(guān)系eq avs4al(關(guān)系1：)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系5如圖，有兩條公路OM，ON相交成30角，沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點(diǎn)80 m的A處有一所希望小學(xué)，當(dāng)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)，距拖

16、拉機(jī)50 m范圍內(nèi)會(huì)受到噪音影響，已知有兩臺(tái)相距30 m的拖拉機(jī)正沿ON方向行駛，它們的速度均為5 m/s，則這兩臺(tái)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)給小學(xué)帶來噪音影響的時(shí)間是多少？(第5題)eq avs4al(關(guān)系2：)直線與圓的位置關(guān)系6如圖，已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3)，A的半徑為2.過A作直線l平行于x軸，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)(1)當(dāng)點(diǎn)P在A上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出它的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與A的位置關(guān)系，并說明理由(第6題)eq avs4al(關(guān)系3：)正多邊形和圓的位置關(guān)系7如圖，已知O的內(nèi)接正十邊形ABCD，AD交OB，OC于M，N.求證：(1)MNB

17、C；(2)MNBCOB.(第7題) 兩個(gè)圓與三角形eq avs4al(圓與三角形1：)三角形的外接圓8(中考哈爾濱)如圖，O是ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，且AEDE，BCCE.(1)求ACB的度數(shù)；(2)過點(diǎn)O作OFAC于點(diǎn)F，延長FO交BE于點(diǎn)G，DE3，EG2，求AB的長(第8題)eq avs4al(圓與三角形2：)三角形的內(nèi)切圓9如圖，若ABC的三邊長分別為AB9，BC5，CA6，ABC的內(nèi)切圓O切AB，BC，AC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則AF的長為()A5 B10 C D4(第9題)(第10題)10(2023遵義)如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC3，連接AC，P和Q分別是

18、ABC和ADC的內(nèi)切圓，則PQ的長是() f(5,2) r(5) f(r(5),2) D2eq r(2) 兩個(gè)公式eq avs4al(公式1：)弧長公式11如圖，已知正六邊形ABCDEF是邊長為2 cm的螺母，點(diǎn)P是FA延長線上的點(diǎn)，在A，P之間拉一條長為12 cm的無伸縮性細(xì)線，一端固定在點(diǎn)A，握住另一端點(diǎn)P拉直細(xì)線，把它全部緊緊纏繞在螺母上(纏繞時(shí)螺母不動(dòng))，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為()A13 cm B14 cmC15 cm D16 cm(第11題)(第12題)12(2023昆明)如圖，AB為O的直徑，AB6，AB弦CD，垂足為G，EF切O于點(diǎn)B，連接AD，OC，BC，A30，下列結(jié)論不正確的

19、是()AEFCDBCOB是等邊三角形CCGDG o(BC,sup8()的長為eq f(3,2)eq avs4al(公式2：)扇形面積公式13設(shè)計(jì)一個(gè)商標(biāo)圖案，如圖，在矩形ABCD中，若AB2BC，且AB8 cm，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作半圓，則商標(biāo)圖案(陰影部分)的面積等于()A(48) cm2 B(416) cm2C(3 8) cm2 D(316) cm2(第13題)(第14題)14(2023重慶A卷)如圖，以AB為直徑，點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過點(diǎn)C，若ACBCeq r(2)，則圖中陰影部分的面積是() f(,4) f(1,2)eq f(,4) f(,2) f(1,2) 兩個(gè)技巧eq avs

20、4al(技巧1：)作同弧所對(duì)的圓周角(特別的：直徑所對(duì)的圓周角)15如圖，直線PQ與O相交于點(diǎn)A，B，BC是O的直徑，BD平分CBQ交O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEPQ，垂足為E.連接AD，已知BC10，BE2，求sin BAD的值【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782112】(第15題)eq avs4al(技巧2：)作半徑(特別的：垂直于弦的半徑、過切點(diǎn)的半徑)16如圖，O的半徑為4，B是O外一點(diǎn)，連接OB，且OB6.過點(diǎn)B作O的切線BD，切點(diǎn)為D，延長BO交O于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作切線BD的垂線，垂足為C.(1)求證：AD平分BAC.(2)求AC的長【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782113】(第16題) 兩種思想eq avs4al(思

21、想1：)分類討論思想17已知在半徑為1的O中，弦ACeq r(2)，弦ABeq r(3)，則CAB_eq avs4al(思想2：)方程思想18如圖，在RtABC中，ABC90，半圓O切BC于點(diǎn)B，切AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.若BCBE，AE2，求AD的長(第18題)答案專訓(xùn)11A2B點(diǎn)撥：有一圓經(jīng)過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，且弦BC的中垂線與eq o(AC,sup8()相交于D點(diǎn)，eq o(AB,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)2C24692，eq o(ADC,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)2B274148eq o(AD,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)eq o(DC,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)eq

22、o(AD,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)eq o(BAD,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)eq o(AD,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)eq o(AB,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)eq o(AD,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)，eq o(AD,sup8()所對(duì)的圓心角的度數(shù)eq f(1,2)(14892)28.故選B.3(1)證明：AB，CD是直徑，ADBCBD90.在RtABD和RtCDB中，eq blc(avs4alco1(ABCD，,BDDB，)RtABDRtCDB(HL)(2)解：BE是切線，ABBE.ABE90.DBE37，ABD53.ODOA，ODABAD905337，即ADC的度

23、數(shù)為37.42 cm點(diǎn)撥：連接OB，BCD2230，BOD2BCD45.ABCD，BEAEeq f(1,2)ABeq f(1,2)2eq r(2)eq r(2)(cm)，BOE為等腰直角三角形，OBeq r(2)BE2 cm，故答案為2 cm.52eq r(3)6解：連接OC.A30，COD60.DC切O于C，OCD90.D30.OD30 cm，OCeq f(1,2)OD15 cm.AB2OC30 cm.7(1)證明：如圖，連接OD，OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB.ODBACB.ODAC.DF是O的切線，DFOD.DFAC.(第7題)(2)解：如圖，連接OE，DFAC，CDF，

24、ABCACB，BAC45.OAOE，AOE90.O的半徑為4，S扇形AOE4，SAOE8.S陰影S扇形AOESAOE48.專訓(xùn)2(第1題)1解：連接OA，OF，如圖設(shè)OAOFr cm，ABa cm.在RtOAB中，r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq sup12(2)a2，在RtOEF中，r242eq blc(rc)(avs4alco1(4f(a,2)eq sup12(2)，eq f(a2,4)a216164aeq f(a2,4)，解得a18，a24(舍去)r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,2)eq sup12(2)8280，r14eq r(5)，

25、r24eq r(5)(舍去)，即該半圓的半徑為4eq r(5) cm.點(diǎn)撥：在有關(guān)圓的計(jì)算題中，求角度或邊長時(shí)，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來解決問題2證明：連接AD，BD.DAC，DBC是eq o(DC,sup8()所對(duì)的圓周角DACDBC.CD平分ACM，DPAC，DHCM，DPDH.在ADP和BDH中，eq blc(avs4alco1(DAPDBH，,DPADHB90，,DPDH，)ADPBDH，APBH.點(diǎn)撥：本題通過作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到DACDBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件3(1)證明：過點(diǎn)D作O的直徑DE，連接AE

26、，EC，AC.DE是O的直徑，ECDEAD90.又CDAB，ECAB，BACACE.eq o(BC,sup8()eq o(AE,sup8().BCAE.在RtAED中，AD2AE2DE2，AD2BC24R2.(2)解：過點(diǎn)O作OFAD于點(diǎn)F.弦AD，BC的長是方程x26x50的兩個(gè)根(ADBC)，AD5，BC1.由(1)知，AD2BC24R2，52124R2，Req f(r(26),2).EAD90，OFAD，OFEA.又O為DE的中點(diǎn)，OFeq f(1,2)AEeq f(1,2)BCeq f(1,2)，即點(diǎn)O到AD的距離為eq f(1,2).點(diǎn)撥：本題作出直徑DE，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直

27、角”構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形，給解題帶來了方便4解：CD與O相切，理由如下：如圖，作直徑CE，連接AE.CE是直徑，EAC90.EACE90.CACB，BCAB.ABCD，ACDCAB.BE，ACDE，ACEACD90，即OCDC.又OC為O的半徑，CD與O相切(第4題)(第7題)5C7(1)證明：連接AD，AB是O的直徑，ADB90.點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD是線段BC的垂直平分線，ABAC.ABBC，ABBCAC，ABC為等邊三角形(2)解：連接BE.AB是直徑，AEB90，BEAC，ABC是等邊三角形，AEEC，即E為AC的中點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，故DE為ABC的中位線DEeq f(1,2)ABeq

28、 f(1,2)21.8(1)證明：連接OB，OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA，即PAOPBO.又PA是O的切線，PAO90.PBO90.OBPB.又OB是O的半徑，PB是O的切線 (2)解：連接OP，PAPB，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上OAOB，點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上OP為線段AB的垂直平分線，又BCAB，POBC.AOPACB60.OPA30.在RtAPO中，AO2PA2PO2，即AO23(2AO)2.又AO0，AO1.O的半徑為1.(第8題) (第9題)9(1)證明：如圖，連接CO，交DB于點(diǎn)E，O2CDB60.又OBE30，BEO18060

29、3090.ACBD，ACOBEO90，即OCAC.又點(diǎn)C在O上，AC是O的切線(2)解：OEDB，EBeq f(1,2)DB3eq r(3) cm.在RtEOB中，OBE30，OEeq f(1,2)OB.EB3eq r(3) cm，由勾股定理可求得OB6 cm.又DDBO，DEBE，CEDOEB，CDEOBE，SCDESOBE，S陰影S扇形OCBeq f(60,360)626(cm2)專訓(xùn)31解：(1)如圖，過B作BHPQ于H，在RtBHP中，由條件易知：BP320 km，BPQ30.BHeq f(1,2)BP160 kmA.又PCQB，BA.在B點(diǎn)射門比在A點(diǎn)射門好選擇射門方式二較好點(diǎn)撥：本

30、題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將射門角度大小的問題，建模轉(zhuǎn)化到圓中，根據(jù)圓周角的相關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際問題3解：修建的這條水渠不會(huì)穿過公園理由：過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D.CBA45，BCD45，CDBD.設(shè)CDx km，則BDx km.易知CAB30，AC2x km，ADeq r(（2x）2x2)eq r(3)x km.eq r(3)xx1，解得xeq f(r(3)1,2)，即CDeq f(r(3)1,2) km km366 m350 m，也就是說，以點(diǎn)C為圓心，350 m為半徑的圓與AB相離修建的這條水渠不會(huì)穿過公園4解：圓錐形漏斗的底面半徑為20 cm，高為40eq r(2) cm，圓錐的母線長為eq r

31、(202（40r(2)）2)60(cm)設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n，則有eq f(n60,180)220，解得n120.方案一：如圖，扇形的半徑為60 cm，矩形的寬為60 cm，易求得矩形的長為60eq r(3) cm.此時(shí)矩形的面積為6060eq r(3)3 600eq r(3)(cm2)方案二：如圖，扇形與矩形的兩邊相切，有一邊重合，易求得矩形的寬為60 cm，長為306090(cm)，此時(shí)矩形的面積為90605 400(cm2)3 600eq r(3)5 400，方案二所用材料最省，即選長為90 cm，寬為60 cm的矩形鐵皮，才能使所用材料最省(第4題)專訓(xùn)41解：(1)作ODB

32、C于D.由垂徑定理知，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即BDeq f(1,2)BC，OBeq f(1,2)AB5 cm，OD4 cm，由勾股定理得，BDeq r(OB2OD2)3 cm，BC2BD6 cm.(2)設(shè)經(jīng)過t s，BPC是等腰三角形當(dāng)PC為底邊時(shí)，有BPBC，即10t6，解得t4；當(dāng)BC為底邊時(shí)，有PCPB，此時(shí)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合，t5.經(jīng)過4 s或5 sBPC是等腰三角形2解：(1)線段AB長度的最小值為4.理由如下：連接OP.AB切O于P，OPAB.取AB的中點(diǎn)C，則AB2OC，當(dāng)OCOP時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí)AB4.(2)存在假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q.如圖，設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形，

33、APO90，四邊形APOQ為矩形又OPOQ，四邊形APOQ為正方形，OQQA.QOA45，在RtOQA中，根據(jù)OQ2，AOQ45，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq r(2)，eq r(2)(第2題)如圖，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形，連接OP，OQPA，APO90，POQ90.又OPOQ，PQO45，PQOA，PQy軸設(shè)PQ交y軸于點(diǎn)H，在RtOHQ中，根據(jù)OQ2，HQO45，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq r(2)，eq r(2)符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(eq r(2)，eq r(2)或(eq r(2)，eq r(2)3解：如圖，設(shè)PQ與O相切于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PEBC，垂足為E.(第3題)在四邊形ABCD中，ADB

34、C，ABC90，PEAB.由題意可知：APBEt cm，CQ2t cm，BQBCCQ(222t) cm，EQBQBE222tt(223t) cm.AB為O的直徑，ABCDAB90，AD，BC為O的切線APPH，HQBQ.PQPHHQAPBQt222t(22t) cm.在RtPEQ中，PE2EQ2PQ2，122(223t)2(22t)2，即t211t180，解得t12，t29.P在AD邊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq f(AD,1)eq f(8,1)8(s)，而t98，t9(舍去)當(dāng)t2 s時(shí)，PQ與O相切4解：(1)在ACO中，OAC60，OCOA，ACO是等邊三角形AOC60.(2)如圖，(第4題)作點(diǎn)C

35、關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1，連接AM1，OM1.易得SM1AOSCAO，AOM160，eq o(AM1,sup8()eq f(4,180)60eq f(4,3).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，SMAOSCAO，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為eq f(4,3).過點(diǎn)M1作M1M2AB交O于點(diǎn)M2，連接AM2，OM2，易得SM2AOSCAO，OM1M2AOM160.又OM1OM2，M1OM260，AOM2120.eq o(AM2,sup8()eq f(4,180)120eq f(8,3).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，SMAOSCAO，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為eq f(8,3).過點(diǎn)C作CM3AB交O于點(diǎn)M3，連接AM3，OM3

36、，易得SM3AOSCAO，AOM3120.eq o(AM2M3,sup8()eq f(4,180)240eq f(16,3).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí)，SMAOSCAO，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為eq f(16,3).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，SMAOSCAO，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為eq f(4,180)300eq f(20,3).綜上所述，當(dāng)SMAOSCAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長為eq f(4,3)或eq f(8,3)或eq f(16,3)或eq f(20,3).專訓(xùn)51(1)證明：如圖，連接OD，(第1題)直線CD切O于點(diǎn)D，CDO90.AB為O的直徑，ADB90，122390，13.OBOD，

37、34，ADCABD.(2)證明：AMCD，AMDADB90.14，ADMABD，eq f(AM,AD)eq f(AD,AB)，AD2AMAB.(3)解：sin ABDeq f(3,5)，sin 1eq f(3,5).AMeq f(18,5)，AD6，AB10，BDeq r(AB2AD2)8.BNCD，BND90，DBNBDN1BDN90，DBN1，sin DBNeq f(3,5)，DNeq f(24,5)，BNeq r(BD2DN2)eq f(32,5).2解：(1)連接PA，BA平分PBC，PBACBAACP.ACPPCBBCDPCB90，ACPBCD.BCDCBAPBA.ABCD.PBAD

38、.BCDD，BCBD.又PCD90，易證得PBBCBD.又ABCD，PEEC.BE是PCD的中位線eq f(BE,CD)eq f(1,2).(2)PCDACB90，CABCPD，ABCPDC.eq f(PC,CD)eq f(AC,CB)eq f(1,2).SPCDeq f(1,2)PCCDeq f(1,2)PC2PCPC2.當(dāng)PC最大時(shí)，PCD的面積最大，即PC為O的直徑時(shí)，PCD的面積最大當(dāng)PCABeq r(AC2BC2)eq r(5)時(shí)，PCD面積的最大值為(eq r(5)25.3(1)解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yax2bxc，把B(0，4)，C(2，0)，D(8，0)的坐標(biāo)分別代入得eq

39、 blc(avs4alco1(4c，,04a2bc，,064a8bc，)解得eq blc(avs4alco1(af(1,4)，,bf(5,2)，,c4.)經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yeq f(1,4)x2eq f(5,2)x4.(2)證明：yeq f(1,4)x2eq f(5,2)x4eq f(1,4)(x5)2eq f(9,4)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(5，f(9,4).設(shè)直線CE的函數(shù)表達(dá)式為ymxn，直線CE與y軸交于點(diǎn)G，則eq blc(avs4alco1(02mn，,f(9,4)5mn，)解得eq blc(avs4alco1(mf(3,4)，,nf(

40、3,2)，)直線CE的函數(shù)表達(dá)式為yeq f(3,4)xeq f(3,2).在yeq f(3,4)xeq f(3,2)中，令x0，則yeq f(3,2)，Geq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2).如圖，連接AB，AC，AG，則BGOBOG4eq f(3,2)eq f(5,2)，CGeq r(OC2OG2)eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sup12(2)eq f(5,2)，BGCG.在ABG與ACG中，eq blc(avs4alco1(ABAC，,BGCG，,AGAG，)ABGACG.ACGABG.A與y軸相切于點(diǎn)B(0，4)，ABG90.ACG

41、ABG90.點(diǎn)C在A上，直線CE與A相切(第3題) (3)解：存在點(diǎn)F，使BDF面積最大設(shè)Feq blc(rc)(avs4alco1(t，f(1,4)t2f(5,2)t4)，如圖，連接BD，BF，DF，過F作FNy軸交BD于點(diǎn)N，設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為ykxd，則eq blc(avs4alco1(4d，,08kd，)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,2)，,d4.)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為yeq f(1,2)x4.點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(t，f(1,2)t4).FNeq f(1,2)t4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)t2f(5

42、,2)t4)eq f(1,4)t22t.SDBFSDNFSBNFeq f(1,2)ODFNeq f(1,2)8eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)t22t)t28t(t4)216.當(dāng)t4時(shí)，SBDF最大，最大值是16.當(dāng)t4時(shí)，eq f(1,4)t2eq f(5,2)t42，F(xiàn)(4，2)專訓(xùn)61D2(1)證明：AB是O的直徑，BM是O的切線，ABBE.CDBE，CDAB.eq o(AD,sup8()eq o(AC,sup8().eq o(DA,sup8()eq o(DC,sup8()，eq o(DA,sup8()eq o(AC,sup8()eq o(CD,sup8().ADA

43、CCD.ACD是等邊三角形(第2題)(2)解：如圖，過O作ONAD于N.由(1)知ACD是等邊三角形，DAC60.ADAC，CDAB，DAB30，BEeq f(1,2)AE，ONeq f(1,2)AO.設(shè)O的半徑為r，ONeq f(1,2)r，ANDNeq f(r(3),2)r，EN2eq f(r(3),2)r，AE2eq r(3)r，BEeq f(1,2)AEeq f(r(3)r2,2).在RtNEO與RtBEO中，OE2ON2NE2OB3BE2，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(r,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(r(3),2)r)e

44、q sup12(2)r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)r2,2)eq sup12(2)，r2eq r(3)(req f(2r(3),3)舍去)，OE2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(r(3),2)r)eq sup12(2)28，OE2eq r(7).3解：AOC40，BOC18040140，ACOeq f(1,2)(18040)70.連接OD.D是eq o(BC,sup8()的中點(diǎn)，CODeq f(1,2)BOC70.OCDeq f(18070,2)55.ACDACOOCD705

45、5125.4解：(1)2eq r(3).(2)如圖，連接OA.OAOB，OAOD，BAOB，DAOD.BADBAODAOBD.又B30，D20，BAD50.BOD2BAD100.(3)BCODACD，BCODAC，BCOD，要使DAC與BOC相似，只能ACDBCO90.此時(shí)BOC60，BOD120，DAC60.DACBOC.BCO90，即OCAB，ACeq f(1,2)ABeq r(3).當(dāng)AC的長度為eq r(3)時(shí)，DAC與BOC相似點(diǎn)撥：圓周角定理、垂徑定理在與圓有關(guān)的證明、計(jì)算題中經(jīng)常出現(xiàn)，要牢固掌握(第4題)(第5題)5解：如圖，過點(diǎn)A作ACON，垂足為C.MON30，OA80 m，

46、AC40 m.當(dāng)?shù)谝慌_(tái)拖拉機(jī)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)學(xué)校產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB50 m，由勾股定理得BC30 m，第一臺(tái)拖拉機(jī)到D點(diǎn)時(shí)噪音消失，此時(shí)AD50 m，易得CD30 m.兩臺(tái)拖拉機(jī)相距30 m，第一臺(tái)到D點(diǎn)時(shí)第二臺(tái)在C點(diǎn)，還需前行30 m后才對(duì)學(xué)校沒有噪音影響，影響時(shí)間應(yīng)是90518(s)即這兩臺(tái)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)給小學(xué)帶來噪音影響的時(shí)間是18 s.6解：(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，3)或(6，3)(2)直線OP與A相交理由：如圖，連接OP，過點(diǎn)A作ACOP，垂足為C，則APPBAB1248，OB3，OPeq r(12232)eq r(153)3eq r(17).ACPOBP90，11，APCOP

47、B，eq f(AC,OB)eq f(AP,OP)，即eq f(AC,3)eq f(8,3r(17).ACeq f(8r(17),17)2.直線OP與A相交(第6題)7證明：(1)如圖，連接OA，OD，則AODAOBBOCCODeq f(360,10)3108.又OAOD，OADODA36.ANOCODODA363672.BOC36，OBOC，BCO72.ANOBCO.MNBC.(第7題) (2)AON36272，ANO72，ANAOOB.ABMeq f(18036,2)72，AMBOMNOBC72，ABMAMB，ABAM.又ABBC，ANAMMNABMNBCMN，MNBCOB.8解：(1)在O中，AD.AEBDEC，AEDE，AEBDEC.EBEC.又BCCE，BECEBC.EBC為等邊三角形ACB60.(2)OFAC，AFCF.EBC為等邊三角形，GEF60，E