高等代數(shù)考研復習二次型公開課一等獎優(yōu)質課大賽微課獲獎課件

1、高等代數(shù)考研復習 二次型 8月 第1頁 第四章 二次型二次型理論背景是解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標準形問題.本章主要問題有兩個：1) 二次型矩陣和二次型標準型 2)正定二次型二次型與矩陣、行列式、以及線性方程組有緊密聯(lián)絡，能夠看到他們是處理二次型問題工具.第2頁二次型矩陣與二次型標準型 1.1 二次型及其矩陣 1)定義：設P是數(shù)域,系數(shù)在數(shù)域P上關于二次齊次多項式稱為數(shù)域P上一個n元二次型. 2)二次型矩陣表示：令第3頁利用積和式可將二次型化為矩陣形式其中，矩陣 滿足 稱它為二次型矩陣.積和式為：它在代數(shù)式與矩陣互化中起著主要作用！第4頁注意：假如 不過 那么A不是二次型矩陣.f矩陣

2、為1.2 線性替換及矩陣協(xié)議 1)線性替換：設令 稱為由 到 線性替換.當 時，稱為非退化線性替換；當C是正交矩陣時稱為正交替換.結論：非退化線性替換將二次型變?yōu)槎涡? 第5頁 2) 矩陣協(xié)議：設A、B為n階矩陣，假如存在可逆矩陣C使得 則稱矩陣A與協(xié)議. 協(xié)議是一個等價關系，它含有三性. 協(xié)議性質：協(xié)議矩陣有相同秩； 協(xié)議矩陣行列式同號. 結論：二次型經(jīng)過非退化線性替換得到新二次型矩陣與原二次型矩陣是協(xié)議.1.3 二次型標準型與規(guī)范形 1) 二次型標準型定義：只含有平方項二次型 稱為標準型.其中第6頁 中非零個數(shù)即為二次型秩.定理：數(shù)域P上任意二次型都可經(jīng)過非退化線性替換化為標準形.換一個

3、說法：數(shù)域P上任意一個對稱矩陣都協(xié)議于一個對稱矩陣.注意：二次型標準型普通不唯一！第7頁2)二次型規(guī)范形：復數(shù)域與實數(shù)域上二次型標準型稱為規(guī)范形. a) 復數(shù)域上二次型規(guī)范形：復數(shù)域上任意一個二次型都可經(jīng)過非退化替換化為規(guī)范形 其中 且規(guī)范形唯一.換為矩陣說法：復數(shù)域上任意一個n階對稱矩陣A都協(xié)議于唯一n階對角矩陣復數(shù)域上兩個對稱矩陣協(xié)議充分必要條件是這兩個矩陣秩相等.第8頁b)實數(shù)域上二次型規(guī)范形(慣性定理)：實數(shù)域上任意一個二次型都可經(jīng)過非退化替換化為規(guī)范形 其中 ，正平方個數(shù)p稱為二次型f正慣性指數(shù)，負平方項個數(shù)稱為f負慣性指數(shù)， 稱為符合差，且p、q有二次型唯一確定.用矩陣語言描述為：

4、實數(shù)域上任意一個對稱矩陣A都合同于唯一n階對角矩陣第9頁注意：實數(shù)域上兩個對稱矩陣協(xié)議充分必要條件是這兩個矩陣有相同秩與正慣性指數(shù).第10頁1.4 化二次型為標準型方法 a)配方法； b)初等變換法； 設 是對稱矩陣，故存在可逆矩陣 使由 可逆知，存在初等矩陣 使得 于是第11頁這么，將二次型 化為標準形時所用線性變換中系數(shù)矩陣 滿足 且由此可見，對 列和行施以相同初等列變換和行變換，當二次型矩陣 化為對角矩陣 時，第12頁單位矩陣 就成了對應可逆線性變換矩陣 了，即第13頁c) 正交變換法.正交變換法步驟： (1)先求出矩陣A特征值、特征向量，其中特征值就是標準型中系數(shù). (2)將A屬于同一

5、特征值特征向量單位化正交化，然后將它們作為列向量做成矩陣T，即為正交矩陣，此時有第14頁題型分析: (1)化二次型為標準型； (2)矩陣協(xié)議應用； (3)慣性定理應用.第15頁例1 用配方法化二次型為標準形 (1) (2)例2 將 化為標準型.例3 用正交變換化二次型為標準形方法：對二次型 做正交替換 其中T為正交矩陣，得標準型 第16頁這里 是矩陣A特征值.例4 已知 經(jīng)過正交變換化為 求a及所做正交變換.例5 已知 秩為2，(1)求a (2)用正交變換將f化為標準型 (3)求方程 解. 第17頁例6 設實二次型 (1)寫出f矩陣. (2)證實：f秩等于矩陣 秩.例7 證實： 是一個二次型，

6、并求它矩陣. 第18頁(2)矩陣協(xié)議應用 例1 證實：秩等于r對稱矩陣能夠表示成r個秩等于1對稱矩陣之和. 例2 設 A是n階是對稱矩陣，A 特征值是 ，求B特征值. 例3 反對稱矩陣性質 (1)A是反對稱矩陣充分必要條件是：對任意n維向量X都有 (2)A是反對稱矩陣，則A特征值只能為零 第19頁和純虛數(shù). (3)奇數(shù)階反對稱矩陣一定不可逆. (4)證實：任意反對稱矩陣一定協(xié)議于矩陣 第20頁 (3)慣性定理應用例1 證實：一個實二次型能夠分解為兩個實系數(shù)一次齊次多項式乘積充分必要條件是：它秩等于2和符號差等于0或秩等于1.例2 設A為一個n階實對稱矩陣，且 證實：存在實n維列向量 使得例3

7、設 是一個實二次型，若存在n維向量 使得證實：第21頁例4 設A是n階是對稱矩陣，證實：存在一個正實數(shù)C，使得對任意一個n維實列向量X，都有例5 設n元實二次型 證實f在條件 下最大值恰為A最大特征值，并求出取得最大值時第22頁2.正定二次型與正定矩陣 2.1相關定義：設 是n元實二次型，假如對任意一組不全為零實數(shù) 都有 則稱f為正定二次型，對應矩陣稱為正定矩陣. 二次型 正定充分必要條件是：矩陣 正定. 一樣能夠定義半正定二次型；負定二次型；半負定二次型以及不定二次型.第23頁 2.2 正定二次型與正定矩陣判定：設n元實二次型 其中 ,則以下條件等價： a) f是正定二次型(A是正定矩陣);

8、 b) 對任意 ,都有 c) f正慣性指數(shù)等于n; d) A協(xié)議于單位矩陣E;即存在可逆矩陣C使得 e) A全部次序主子式都大于零; f) A全部主子式都大于零; 正定陣主對角元大于零. g) A特征值都大于零;第24頁 2.3 半正定二次型(半正定矩陣)判定：以下條件等價 a)f是半正定二次型; b)對任意一組不全為零實數(shù) c)f正慣性指數(shù)等于A秩; d)A協(xié)議于 e)A全部主子式都大于零; f)A特征值都大于零; e)存在實矩陣P,使得 第25頁 正定矩陣性質： (1)正定矩陣主對角線上元素全部大于0，正定矩陣行列式大于零. (2)A正定，則 也正定. (3) 則 也正定. (4)若 正定

9、，且 則 正定. (5)設A為 矩陣，若 那么是正定.尤其，當A可逆時， 是正定. 第26頁當 那么 是半正定. 題型分析：(1)二次型正定性判別例1 判別二次型正定性 a) b) 例2 設 當 滿足什么條件，f是正定.例3 設A,B分別是m,n階正定矩陣，試判別矩陣第27頁 正定性.例4 設A為m階正定矩陣，B為 實矩陣，證實： 正定充分必要條件為B是列滿秩.題型 (2)二次型（矩陣）正定性質應用主要應用結論：A為實對稱矩陣，則存在正交陣T使得 第28頁例1設A,B是n階實對稱矩陣，且A正定，證實：存在一個實可逆矩陣T，使得 同時為對角矩陣.例2 設A是n階正定矩陣，證實：例3 設A,B都是n階正定矩陣，證實：例4 設A,B都正定，證實：1)方程 根都大于零. 2) 方程 全部根等于1充分必要條件是A=B.第29頁例6 若B是正定矩陣，A-B半正定，證實： 1) 全部根都大于等于1. 2)題型(3) 與對稱矩陣特征值范圍相關問題例1 設A是實對稱矩陣，證實：t充分大時，tE+A正定.例2 證實：實對稱矩陣A特征值均在閉區(qū)間 上，則對稱矩陣A-tE當tb時負定；當ta 第30頁時正定.例3 設實對稱矩陣A特征值全大于a，實對稱矩陣B特征值全大于b，證實：A+B特征值全大于a+b.例4 設A是n階實矩陣， B特征值為 證實：若 是A實特征值，則 第31頁題型 (4)