非線性振動(dòng)漫談

1、非線性振動(dòng)漫談小組成員：1Four Parts1 非線性科學(xué)概述2 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的對(duì)比3 非線性振動(dòng)的求解方法 3.1 定性分析法 3.2定量求解方法 3.3數(shù)值求解法4 幾種求解方法的對(duì)比21 非線性科學(xué)概述 牛頓方程建立以來，人們應(yīng)用線性微分方程研究物體的運(yùn)動(dòng)取得了許多重要的成果。實(shí)際上，不僅是力學(xué)，還包括其他物理學(xué)領(lǐng)域，人們長期研究的主要是線性理論。 自20世紀(jì)60年代以來，人們?cè)趯?shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)，在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域都存在一些線性理論無法解釋的現(xiàn)象，開始是非線性振動(dòng)后來又在流體力學(xué)和聲學(xué)領(lǐng)域，接著是伴隨激光而誕生的非線性光學(xué).非線性向人們展示了一副令人驚奇、甚至是不可思議的圖景。

2、32 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的對(duì)比線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)函數(shù)值對(duì)自變量的取值精確度不敏感，亦即相應(yīng)于自變量的微小變化，函數(shù)值也只會(huì)產(chǎn)生微小的變化。滿足線性疊加原理初始值具有高度的敏感性（蝴蝶效應(yīng)）各個(gè)子系之間有著不可忽略的相互作用，因而在非線性的情況下線性疊加原理并不滿足45 3 非線性振動(dòng)的求解方法3.1定性求解法多自由度的運(yùn)動(dòng)方程一般可以寫為令多自由度的運(yùn)動(dòng)方程可以寫為通過狀態(tài)空間中一個(gè)確定的點(diǎn)，一般只有一條確定的軌線。狀態(tài)向量6平衡點(diǎn)及平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)或平衡點(diǎn)。7單自由度狀態(tài)方程在平衡點(diǎn)鄰域的線性化單自由度系統(tǒng)的狀態(tài)方程式線性化后其中8平衡點(diǎn)領(lǐng)域中的相圖及平衡點(diǎn)的類型做線性變換討論：

3、（1)1，2是相異的實(shí)數(shù) 如果2110不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。 如果201鞍點(diǎn)9圖1漸近穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) 圖2 鞍點(diǎn)（2）如果1，2是相等的實(shí)數(shù)1=20不穩(wěn)定10（3）如果1，2是共軛復(fù)數(shù)令1=（+i),2=（-i),為實(shí)數(shù)，其解為 做線性變換在（v1,v2)平面上這是一對(duì)數(shù)螺旋線0逆時(shí)針 0順時(shí)針0向外旋，不穩(wěn)定焦點(diǎn)11=0軌線稱為圖4所示的同心圓中心 圖3穩(wěn)定焦點(diǎn) 圖4中心12133.2定量求解法1 解析求解法體系的拉格朗日函數(shù)為T=2142.微擾法微擾法又稱逐級(jí)近似法攝動(dòng)法，它適于求解形如（1）153.3數(shù)值分析方法數(shù)值分析方法得到廣泛應(yīng)用一個(gè)原因是因?yàn)榉蔷€性分析理論發(fā)展的不完善性，對(duì)很多問題無法進(jìn)行理論

4、上的分析；另一個(gè)原因是數(shù)值分析理論的發(fā)展和計(jì)算工具性能的提高使得數(shù)值分析成為可能。 常用的數(shù)值分析方法有紐馬克（Newmark）法、威爾遜（Wilson） 法、RungeKutta法等。由于篇幅有限這里不再詳細(xì)介紹。 164 解析法，微擾法和數(shù)值計(jì)算法的比較解析法能徹底解決問題，但缺點(diǎn)是試用的范圍很有限，對(duì)大多數(shù)問題是無能為力的。微擾法比解析法試用的范圍更廣，只要求待求對(duì)象是一個(gè)簡單系統(tǒng)加上小的擾動(dòng)。只是數(shù)學(xué)上略煩，而且對(duì)其他體系不適用。更一般的體系，由于其復(fù)雜性，以上兩種方法都將失效，必須采用數(shù)值計(jì)算才能求解。這三種方法實(shí)際上都是實(shí)際科研工作中的基本手段，一個(gè)課題的研究過程往往是先解析地建立

5、一些基本規(guī)律，再用微擾法有效地解決更細(xì)致的問題。最終靠強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算研究給研究體系的所有細(xì)節(jié)。17ReferenceWilliam T. Thomson &Marie Dillon Dahleh. Theory of Vibration with applications(Fifth edition)M.北京：清華大學(xué)出版社，2005：436-456.李有堂.機(jī)械振動(dòng)理論及應(yīng)用M.北京：科學(xué)出版社，2012：440-455黃永念.非線性動(dòng)力學(xué)引論M.北京：北京大學(xué)出版社，2010:19-22董鍵.Mathematica與大學(xué)物理計(jì)算M.北京：清華大學(xué)出版社，2010:11-47莊禮賢，尹協(xié)遠(yuǎn)，馬暉揚(yáng).流體力學(xué)M.合肥：