2023版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)5·3A版23-專題八81空間幾何體的表面積和體積之1-8.1　空間幾何體的表面積和體積

1、2023版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)53A版23_專題八81空間幾何體的表面積和體積之1_8.1空間幾何體的表面積和體積1高考數(shù)學(xué)專題八立體幾何8.1空間幾何體的表面積和體積考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺底面有兩個,是平行且全等的多邊形有一個,是多邊形有兩個,是平行且相似的多邊形側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn),不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形3名稱圓柱圓錐圓臺母線平行、相等且垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征4【注意】 1)球是旋轉(zhuǎn)體,球面不能展開,球的截面是圓面;

2、2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;3)球心到截面(不過球心)的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r=.3.斜二測畫法下幾何體的直觀圖1)原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”原則:2)用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的.5考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積 表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=(S上+S下+)h球S=4R2V=R3【注意】 1)幾何體的側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和,而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.2)組合體的表

3、面積應(yīng)注意重合部分的處理.3)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和.6考法一空間幾何體的表面積和體積1.求空間幾何體表面積的方法1)求多面體的表面積:把各個面的面積相加;2)求簡單旋轉(zhuǎn)體的表面積:公式法;3)求組合體的表面積:注意重合部分的處理,防止漏算或多算.2.求空間幾何體體積的方法1)求簡單幾何體(柱體、錐體、臺體或球)的體積:公式法.2)求組合體的體積:不能直接利用公式求解,常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.7例1 在古代,正四棱臺也叫“方亭”,豎著切去“方亭”兩個邊角塊,把它們合在一起是“芻甍”,圖1是上底面邊長為a,下底面邊長為b的一個“方亭”,圖2是由圖1中的“方亭”得到的

4、“芻甍”,已知“方亭”的體積為V1,“芻甍”的體積為V2,若=約等于0.618,被稱為黃金分割比例,且恰好是方程x2+x-1=0的一個實(shí)根,臺體的體積公式為V=h(S+S),則=()圖1圖2A.B.C.D. 8解析 設(shè)“方亭”的高為h,則V1=(a2+ab+b2)h,V2=V1-V長-2V直三棱柱=(a2+ab+b2)h-a2h-2ha=h(2b2-a2-ab),=.設(shè)m=,則m2+m-1=0,即m2+m=1,=,故選D.答案 D9考法二與球有關(guān)的切、接問題1.“切”“接”問題的處理規(guī)律1)“切”的處理:球的內(nèi)切問題主要是球內(nèi)切于多面體或旋轉(zhuǎn)體.解答時要找準(zhǔn)切點(diǎn),通過作截面來解決.2)“接”的

5、處理:把一個多面體的頂點(diǎn)放在球面上,即球外接于該多面體.解題的關(guān)鍵是抓住球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.2.當(dāng)球的內(nèi)接多面體為共頂點(diǎn)的棱兩兩垂直的三棱錐或三組對棱分別相等的三棱錐時,常構(gòu)造長方體或正方體以確定球的直徑.3.與球有關(guān)的組合體的常用結(jié)論1)長方體的外接球:球心:體對角線的交點(diǎn);10半徑:r=(a,b,c為長方體的長、寬、高).2)棱長為a的正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱都相切的球:外接球:球心是正方體的中心,半徑r=a;內(nèi)切球:球心是正方體的中心,半徑r=;與各條棱都相切的球:球心是正方體的中心,半徑r=a.3)棱長為a的正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的

6、一部分):11外接球:球心是正四面體的中心,半徑r=a;內(nèi)切球:球心是正四面體的中心,半徑r=a.例2 (2020課標(biāo),12,5分)已知A,B,C為球O的球面上的三個點(diǎn),O1為ABC的外接圓.若O1的面積為4,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64B.48C.36D.32解析 如圖,由題知ABC為等邊三角形,圓O1的半徑r=2,即O1B=2,BC=2 =OO1,在RtOO1B中,OB2=O+O1B2=16,球O的半徑R=OB=4,則S球O=4R2=64.故選A.答案 A12例3 (2020課標(biāo),16,5分)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.解析

7、 如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.其中球心為O,設(shè)其半徑為r,AC=3,O1C=1,AO1=2.OO1=OM=r,AO=AO1-OO1=2-r,又AMOAO1C,=,即=,故3r=2-r,r=.該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V=.答案 13應(yīng)用與立體幾何有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題與立體幾何有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題常以現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際物體為載體,考查空間幾何體的表面積或體積,在解答此類問題時,首先要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再進(jìn)行求解,同時還需要注意變量的實(shí)際意義.14例 (2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是

8、正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m,則當(dāng)PO1為多少時,倉庫的容積最大? 15解析 (1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因?yàn)锳1B1=AB=6 m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=A1PO1=622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a m,PO1=h m,則0h6,O1O=

9、4h m.連接O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是倉庫的容積V=V柱16+V錐=a24h+a2h=a2h=(36h-h3),0h6,從而V=(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=2或h=-2(舍).當(dāng)0h0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)2h6時,V0,V是單調(diào)減函數(shù).故h=2時,V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=2 m時,倉庫的容積最大.17創(chuàng)新一數(shù)學(xué)文化下的立體幾何問題高考對數(shù)學(xué)文化的考查主要有三個方面:一是利用古代數(shù)學(xué)文化的背景命制與核心考點(diǎn)相結(jié)合的題目;二是直接解答古代數(shù)學(xué)問題;三是利用古代數(shù)學(xué)成果解決數(shù)學(xué)問題.解

10、題的關(guān)鍵是從中提取出數(shù)學(xué)問題,利用有關(guān)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解.18例1 (2021山東濰坊三模,15)阿基米德在他的著作論圓和圓柱中,證明了數(shù)學(xué)史上著名的圓柱容球定理:圓柱的內(nèi)切球(與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球)的體積與圓柱的體積之比等于它們的表面積之比.可證明該定理推廣到圓錐容球也正確,即圓錐的內(nèi)切球(與圓錐的底面及側(cè)面都相切的球)的體積與圓錐的體積之比等于它們的表面積之比,則該比值的最大值為.19解析 設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,母線長為l,圓錐內(nèi)切球半徑為R,作出圓錐的軸截面如圖所示.設(shè)OBC=,tan =,r=,ODAB,OEBC,DBE+DOE=,又AOD+DOE=,AOD=DBE=2,AD=Rtan 2,l+r=AD+BD+r=A