工學(xué)通信原理新講稿第3章隨機(jī)過(guò)程

1、工學(xué)通信原理新講稿第3章隨機(jī)過(guò)程23.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念一、隨機(jī)過(guò)程(t) 的定義： 隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量（）樣本函數(shù)i (t)：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)， 是確定的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。n臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形 t1t233.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù) i (t) 都是一個(gè)確定數(shù)值 i (t1) ，但是每個(gè) i (t1) 都是不可預(yù)知的。在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n 是一個(gè)隨機(jī)

2、變量，記為 (t1)。換句話說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過(guò)程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。43.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念設(shè) (t)表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則它在任意時(shí)刻 t1的值 (t1) 是一個(gè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用下面函數(shù)描述:隨機(jī)過(guò)程 (t)的一維分布函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程 (t)的一維概率密度函數(shù)：二、隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)偏導(dǎo)存在53.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念隨機(jī)過(guò)程 (t)的二維分布函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程 (t)的二維概率密度函數(shù)：一維統(tǒng)計(jì)特性不能描述多個(gè)時(shí)刻上隨機(jī)變量的關(guān)系，即隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化的特點(diǎn)。偏導(dǎo)存在63.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念隨機(jī)過(guò)程 (t

3、)的任意n維分布函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程 (t)的任意n維概率密度函數(shù)：偏導(dǎo)存在73.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念三、 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征均值（數(shù)學(xué)期望）：在任意給定時(shí)刻 t1 的取值 (t1) 是隨機(jī)變量，均值 (t1)的概率密度函數(shù)由于 t1 是任取的，所以可以把 t1 直接寫為 t ， x1 改為 x ，這樣 上式83.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念三、 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征1、均值a (t ) (t) 的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作 a ( t )，它表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心 :93.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念三、 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征2、方差均方值均值平方方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻 t1

4、直接寫成了t 。所以，方差等于均方值與均值平方之差，表示隨機(jī)過(guò)程在 t 對(duì)于均值 a ( t ) 的偏離程度。103.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念三、 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)式中， (t1) 和 (t2) 分別是在 t1 和 t2 時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量。可以看出，R(t1, t2)是兩個(gè)變量 t1 和 t2 的確定函數(shù)。113.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念三、 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征4、協(xié)方差函數(shù)式中 a (t1) 、 a (t2) - 在t1和t2時(shí)刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) - (t)的二維概率密度函數(shù)123.1 隨機(jī)過(guò)程基本概念三、 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)與

5、協(xié)方差函數(shù)關(guān)系為： B(t1, t2)=R(t1, t2) - a(t1)a(t2)由于B(t1, t2)和R(t1, t2) 是衡量同一過(guò)程的相關(guān)程度的， 因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。133.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一、定義、性質(zhì)與特點(diǎn)：若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 (t) 的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，對(duì)于任意的正整數(shù) n 和所有實(shí)數(shù) ，有則稱該隨機(jī)過(guò)程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。143.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)：該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)：而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：153

6、.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征：特點(diǎn)：（1）其均值與 t 無(wú)關(guān)，為常數(shù) a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。具有以上兩個(gè)特點(diǎn)稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。163.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。以后討論的隨機(jī)過(guò)程除特殊說(shuō)明外，均假定是平穩(wěn)的， 且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， 簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。 173.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二、各態(tài)歷經(jīng)性：?jiǎn)栴}的提出：我們知道，隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測(cè)得大量的樣本這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問(wèn)題： 能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來(lái)決定平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征呢?1

7、83.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二、各態(tài)歷經(jīng)性：回答是肯定的。平穩(wěn)過(guò)程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過(guò)程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)代替。 下面，我們來(lái)討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。193.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二、各態(tài)歷經(jīng)性：設(shè)：x(t) 是平穩(wěn)過(guò)程 (t) 的任意一次實(shí)現(xiàn)(樣本), 若即：過(guò)程的數(shù)字特征（統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)代替。203.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程例3-1 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有

8、各態(tài)歷經(jīng)性。解：(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望213.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)223.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 可見(jiàn)，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔 有關(guān)， 所以 (t)是 廣義平穩(wěn)過(guò)程。233.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(2) 求 (t) 的時(shí)間平均值243.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，可見(jiàn)：結(jié)論：隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。253.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程三、自相關(guān)函數(shù)： R()=E(t)(t+) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有以下特點(diǎn)： (t)的平均功率信號(hào)的總能量 信號(hào)的平均功率 數(shù)學(xué)期望正是信號(hào)均值 263.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有以下特點(diǎn)

9、： 的偶函數(shù)因?yàn)榕c時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，關(guān)于 y 軸對(duì)稱 R() 的上界，即最大值。證明： 因?yàn)?73.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有以下特點(diǎn)： (t) 的直流功率 證明： 283.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有以下特點(diǎn)： (t) 的交流功率證明：293.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程四、功率譜密度：對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f (t)，它的功率譜密度定義為 式中，F(xiàn)T ( f )是f (t)的截短函數(shù)fT (t) 所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 (t) ，可以把f (t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度303.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程四、功率譜密度：定義：3

10、13.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的計(jì)算： 維納-辛欽關(guān)系 自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度 是一對(duì)傅里葉變換。 記為323.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度 關(guān)系 證明：333.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程作變量替換，令 u v = ， u + v = t ，上式的二重積分變換到下面的區(qū)域上：343.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程坐標(biāo)變換，du , dv 變換成 u = (t + ) ，v = ( -t) 原積分可以寫成353.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程令 T 取極限維納-辛欽定理363.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過(guò)程的總功率：推論：各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過(guò)程的功率譜密度。 功率譜密度P

11、( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有373.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程例3-2求隨機(jī)相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。由維納-辛欽關(guān)系，以及得到解：在例3-1中，已經(jīng)求出(t)的相關(guān)函數(shù)為383.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 本課常見(jiàn)信號(hào)變換對(duì) 門函數(shù) 指數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)393.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)移 頻移 尺度 卷積定理 403.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 滿足 平穩(wěn) 性質(zhì)各態(tài)經(jīng)歷：時(shí)間平均 統(tǒng)計(jì)平均 時(shí)域 頻 域（條件1）：（1）其均值與 t 無(wú)關(guān)，為常數(shù) a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。（條件2）：小結(jié)：413.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程一、定義若任意n維概率密度函數(shù)可表示為則稱

12、該隨機(jī)過(guò)程為高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程。式中423.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程B為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 其中433.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程二、重要性質(zhì)1、 n維概率密度函數(shù)由數(shù)字特征確定；高斯過(guò)程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。2、廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的；若過(guò)程平穩(wěn) - 其均值為常數(shù) ，協(xié)方差函數(shù)只與有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān) 443.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程二、重要性質(zhì)3、若不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的； 如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有j k，有bjk =0，則其概率密度可以簡(jiǎn)化為453.3 高

13、斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程二、重要性質(zhì)4、高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后生成的過(guò)程仍是高斯過(guò)程。 可以說(shuō)，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過(guò)程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過(guò)程。463.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程三、高斯隨機(jī)變量高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為473.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)： f (x)對(duì)稱于直線 x = a a表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和 = 1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。483.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程計(jì)算：正態(tài)分布函數(shù) 令 得493.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程誤差函數(shù) 和 互補(bǔ)誤差函數(shù) 誤差函數(shù)的定義式為：它是自變量的

14、遞增函數(shù)erf(0) = 0，erf() = 1，且 erf(-x) = - erf(x)。503.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程用互補(bǔ)誤差函數(shù) erfc(x) 表示正態(tài)分布函數(shù)：當(dāng)x 2時(shí)，513.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)： Q函數(shù)定義：Q函數(shù) 是一種經(jīng)常用于表示 高斯尾部曲線下的面積的函數(shù)523.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：或Q函數(shù)和分布函數(shù) F(x) 的關(guān)系：533.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 若輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，輸出過(guò)程是否平穩(wěn)？輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系如何？如何求輸入過(guò)程的均值與自相關(guān)函數(shù)？543.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通

15、過(guò)線性系統(tǒng)： 假設(shè) i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過(guò)程， a 均值， Ri() 自相關(guān)函數(shù)， Pi() 功率譜密度求輸出過(guò)程 o(t) 的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。553.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 對(duì)下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：得到1. 輸出過(guò)程 o(t) 的均值:563.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)由于設(shè)輸入過(guò)程是平穩(wěn)的 ，則有H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，可見(jiàn)輸出過(guò)程的均值是常數(shù)。573.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)2、輸出過(guò)程o(t) 的自相關(guān)函數(shù)： 根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義583.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)根據(jù)輸入過(guò)程的平穩(wěn)性，有于是輸出過(guò)程的自相關(guān)函

16、數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)。通過(guò)對(duì)輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的593.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)3、輸出過(guò)程o(t) 的功率譜密度令 = + - ，代入上式，得到603.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)結(jié)論：輸出過(guò)程的功率譜密度是輸入過(guò)程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po( f ) 的反傅里葉變換求 Ro() 613.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)4. 輸出過(guò)程Po(t)的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的， 則系統(tǒng)的輸出過(guò)程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看， 可以表示為：623.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)由于已假設(shè) i (t

17、) 是高斯型的，則 輸出過(guò)程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無(wú)限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。 注意，與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。633.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲1、白噪聲：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即 雙邊功率譜密度或 單邊功率譜密度式中 n0 正常數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對(duì)雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)643.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線f00653.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲白噪聲的功率由于白噪聲的帶寬無(wú)限，其平均功率為無(wú)窮大真正“白”噪聲是不存在的，只是構(gòu)造一種理想化噪聲形式。實(shí)際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于

18、通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。663.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲2、低通白噪聲：如果白噪聲通過(guò)理想矩形的低通濾波器或理想低通信道，則輸出的噪聲稱為低通白噪聲。 功率譜密度由于功率譜頻帶受限亦稱為帶限白噪聲。自相關(guān)函數(shù)673.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲 功率譜密度 和 自相關(guān)函數(shù)曲線由曲線看出，這種帶限白噪聲只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。 683.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲3、帶通白噪聲：如果白噪聲通過(guò)理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道，則其輸

19、出的噪聲稱為帶通白噪聲。理想帶通濾波器的傳輸特性為：功率譜密度693.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲自相關(guān)函數(shù)平均功率703.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲帶通白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)曲線1/B713.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程 定義：若隨機(jī)過(guò)程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍 f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過(guò)程。功率譜密度圖 723.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程波形：733.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示：a (t) 隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相位 c 中心角頻率a (t) 和 (t) 的變化相對(duì)于載波cosct 的變化要緩慢得多743.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程

20、式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量 (t) 的統(tǒng)計(jì)特性由a(t)和(t) 或 c(t) 和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和(t) 或 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。 753.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望：對(duì)(t)求數(shù)學(xué)期望得到 因?yàn)?(t) 平穩(wěn)且均值為零， 故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有 E(t) = 0 ，所以763.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程(t)的自相關(guān)函數(shù)： 因?yàn)?t) 是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)，而僅與 有關(guān)。因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，773.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程它變?yōu)樗裕鲜阶優(yōu)橐蚺c時(shí)間 t

21、無(wú)關(guān)，以下二式自然成立783.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程再令 t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過(guò)程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時(shí)成立，比較793.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程故有同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到 ， 表明Rsc()是 的奇函數(shù)，所以 。同一時(shí)刻的同相和正交分量是互相正交的。803.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程將 代入 結(jié)論：(t) 、 c(t) 和s(t) 具有 相同的 平均功率 或 方差。 即得813.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程根據(jù)平穩(wěn)性，過(guò)程的特性與變量 t 無(wú)關(guān)，故由式 因?yàn)?t)是高斯過(guò)程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t) 、 s(t)也是高斯過(guò)程。得到823.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程根據(jù) 可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的 c 和 s 是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。833.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程3.5.2 包絡(luò)a(t)和相位(t)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識(shí)有由可以求