《電動力學(xué)(第三版)》靜電場chapter2-3

1、電動力學(xué)(第三版)靜電場chapter2_3電動力學(xué)(第三版)靜電場chapter2_3內(nèi) 容 概 要 1. 直角坐標(biāo)系下的通解 2. 球坐標(biāo)系下的通解 3. 柱坐標(biāo)系下的通解 4. 拉普拉斯方程解的應(yīng)用 2.3 分離變量法解拉普拉斯方程 內(nèi) 容 概 要 1. 直角坐標(biāo)系下的通解2.3 分離變量唯一性定理自由電荷分布在具體的區(qū)域內(nèi)大部分空間沒有自由電荷分布 空間電場給定電荷分布和邊界條件泊松方程泊松方程表面作為求解空間的邊界 產(chǎn)生電場的電荷分布在區(qū)域的邊界上, 其作用通過邊界條件反映出來. 這類問題的解法是求解拉普拉斯方程的滿足邊界條件的解. 拉普拉斯方程唯一性定理自由電荷分布在具體的區(qū)域內(nèi)空

2、間電場給定電荷分布和邊區(qū)域外可以有電荷，通過邊界條件影響內(nèi)部.在無自由電荷的空間區(qū)域，泊松方程變成： 拉普拉斯（Laplace）方程拉普拉斯算符：直角坐標(biāo)：柱坐標(biāo)：球坐標(biāo)：區(qū)域外可以有電荷，通過邊界條件影響內(nèi)部.在無自由電荷的空間區(qū)1. 直角坐標(biāo)系下的通解直角坐標(biāo)中的拉普拉斯方程1. 直角坐標(biāo)系下的通解直角坐標(biāo)中的拉普拉斯方程xyz =V(x,y) =0 =0=0 x=ay=bz=c 以一個(gè)長方盒為例，在(x,y,z)方向上的線度為(a,b,c). 除了z = c 的面上的勢等于V(x,y)外,這個(gè)盒的所有其他幾個(gè)面的勢都等于零. 需要求的是盒內(nèi)各處的勢. 由下述必要條件：當(dāng)x = 0, y

3、= 0, z = 0時(shí), = 0,容易看出, X, Y, Z必需具有如下形式：為了確定 2, 2,必須對勢加上特殊的邊界條件. xyz =V(x,y) =0 =0=0 x=ay=bz為使x = a與y = b時(shí), = 0,必須有a = n, b = m為使x = a與y = b時(shí), = 0,必須有a = 邊界條件z = c時(shí), = V(x,y)V(x,y)的二重傅里葉展開 如果長方盒所有六個(gè)面的勢都不等于零,我們就可以通過六個(gè)解的線性疊加,得到盒內(nèi)勢的解. 邊界條件z = c時(shí), = V(x,y)V(x,y)2. 球坐標(biāo)系下的通解球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程zxyrP如果多變量函數(shù)可以分離：或2.

4、球坐標(biāo)系下的通解球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程zxyr左邊兩項(xiàng)分別僅與r和(,)相關(guān)，故兩項(xiàng)必須是與變量無關(guān)的常數(shù)，記為和-，實(shí)現(xiàn)第一次變量分離：(2)式左邊兩項(xiàng)分別僅與和相關(guān)，故為常數(shù)，記為和-，實(shí)現(xiàn)第二次變量分離：左邊兩項(xiàng)分別僅與r和(,)相關(guān)，故兩項(xiàng)必須是與變量無關(guān)的電勢的單值性要求，h()應(yīng)為周期2的周期函數(shù)(4)式通解為締合勒讓德(Legendre)方程電勢的單值性要求，h()應(yīng)為周期2的周期函數(shù)(4)式通解締合勒讓德方程，在 內(nèi)具有有限解的條件：締合勒讓德函數(shù)：通解為球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的通解：締合勒讓德方程，在 內(nèi)具有有限解的條件：締合勒讓德球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的通解：若系統(tǒng)具有軸對稱性

5、，取對稱軸為z軸，勒讓德函數(shù)若問題具有球?qū)ΨQ性球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的通解：若系統(tǒng)具有軸對稱性，取對稱軸為z3. 柱坐標(biāo)下的通解二維問題的解：或?qū)懗桑喝舳S問題又具有軸對稱性，則電勢與無關(guān)一般用于二維問題.3. 柱坐標(biāo)下的通解二維問題的解：或?qū)懗桑喝舳S問題又具有4. 拉普拉斯方程解的應(yīng)用分離變量法的解題步驟： 根據(jù)界面的形狀選擇適當(dāng)坐標(biāo)系. 建立坐標(biāo)系，寫出場量所滿足的方程，寫出通解. 寫出邊界條件和銜接條件(即不同區(qū)域分界面上的邊值關(guān)系). 根據(jù)定解條件，求出通解中的積分常數(shù). 將求出的積分常數(shù)代入通解表達(dá)式，得到實(shí)際問題的解. 關(guān)鍵步驟： 充分利用對稱性，寫出簡單的通解. 正確寫出邊界條件

6、，不能有遺漏. 4. 拉普拉斯方程解的應(yīng)用分離變量法的解題步驟： 根據(jù)例1 一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼,帶電荷Q,同心地包圍著一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球(R1R2). 使這個(gè)導(dǎo)體球接地,求空間各點(diǎn)的電勢和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷. 邊界條件為：有球?qū)ΨQ性 ,電勢不依賴于角度, n0. (1) 內(nèi)導(dǎo)體球接地(2) 導(dǎo)體是等勢體(3) 球殼總電荷Q 解：導(dǎo)體殼內(nèi)的電勢為導(dǎo)體殼外的電勢為例1 一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼,帶電荷Q,把電勢表達(dá)式代入邊值條件,聯(lián)立方程求解,得其中導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為把電勢表達(dá)式代入邊值條件,聯(lián)立方程求解,得其中導(dǎo)體球上的感應(yīng)軸對稱(z軸)，分區(qū)均勻解

7、：介質(zhì)球外：介質(zhì)球內(nèi)：z例2 電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場 中,求電勢. 軸對稱(z軸)，分區(qū)均勻解：介質(zhì)球外：介質(zhì)球內(nèi)：z例2 電邊界條件:邊界條件:(3) 邊界連接條件:比較 的各階系數(shù)，可以將各系數(shù)確定. (3) 邊界連接條件:比較 系數(shù)行列式非零系數(shù)行列式非零空間電勢：介質(zhì)球內(nèi)為均勻電場：球內(nèi)極化強(qiáng)度：球內(nèi)總極化電偶極矩：偶極子產(chǎn)生的電勢：空間電勢：介質(zhì)球內(nèi)為均勻電場：球內(nèi)極化強(qiáng)度：球內(nèi)總極化電偶極解：邊界連接條件：表面電荷密度：空間電勢：靜電情況下，導(dǎo)體相當(dāng)于介質(zhì)例3 半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場 中，求電勢和導(dǎo)體上的電荷密度. 解：邊界連接條件：表面電荷密度：空間電勢：靜電情況下，導(dǎo)體相例4 導(dǎo)體尖劈帶電勢V,分析它的尖角附近的電場. 用柱坐標(biāo)系. 取 z 軸沿尖邊. 設(shè)尖劈以外的空間, 即電場存在的空間為0 2- (為小角).因 不依賴于z,柱坐標(biāo)下的拉氏方程為可得其通解為:由邊界條件:劈尖=0面上, =V, 與r無關(guān), 所以解：例4 導(dǎo)體尖劈帶電勢V,分析它的尖角附近的電場. 因r 0時(shí)有限，得在尖劈=2- 面上， =V與r無關(guān)，必須因此v的可能值為考慮這些條件， 可以重寫為在尖角附近r 0 ，上式求和式的主要貢獻(xiàn)來自r的最低次冪項(xiàng)，即n