《解析幾何》向量的線性運(yùn)算

1、解析幾何向量的線性運(yùn)算解析幾何向量的線性運(yùn)算 課 程 簡(jiǎn) 介 坐標(biāo)法: 在平面(或空間)中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系, 平面(或空間)中的點(diǎn)就可以用有序數(shù)組 (或其他數(shù)量關(guān)系, 即點(diǎn)的坐標(biāo))來(lái)表示, 幾何圖形就可用方程(組)-即幾何圖形 的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的數(shù)量關(guān)系-來(lái)表示, 于是幾何問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題, 從而 代數(shù)方法被引入到幾何學(xué)的研究中來(lái).簡(jiǎn)言之: 坐標(biāo)法就是建立從幾何學(xué)對(duì)象到某種 數(shù)量形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 由此利用代數(shù) 方法解決幾何問(wèn)題. 課 程 簡(jiǎn) 介 坐標(biāo)法: 在平面(或空間)中建立適當(dāng)?shù)淖?課 程 簡(jiǎn) 介 向量法: 把幾何問(wèn)題用向量來(lái)表述, 然后利用 向量的運(yùn)算來(lái)解決. 它也是把代數(shù)運(yùn)算 引

2、進(jìn)幾何學(xué)的方法, 是建立各種坐標(biāo)系 的基礎(chǔ).幾何變換法: 通過(guò)討論幾何圖形在各類幾何變換 中性質(zhì)的變化規(guī)律, 由此解決相應(yīng) 的幾何問(wèn)題. 常見的幾何變換: 保距變換, 仿射變換, 射影變換 課 程 簡(jiǎn) 介 向量法: 把幾何問(wèn)題用向量來(lái)表述, 然后 課 程 簡(jiǎn) 介 解析幾何的主要?jiǎng)?chuàng)始人 1. 費(fèi)馬 (Fermat Pierre de, 1601-1665, 法國(guó)人) 出身商人家庭, 學(xué)法律并以律師為職業(yè), 數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好, 盡管如此, 他對(duì)數(shù)論和微積分作出了第一流的貢獻(xiàn), 并同帕斯卡(Pascal Blaise) 一起開創(chuàng)了概率論的研究工作, 他與笛卡兒都是坐標(biāo)幾何的發(fā)明者. 費(fèi)馬關(guān)于曲線

3、的工作, 是從研究古希臘幾何學(xué)家特別是阿波羅尼(Apollonius)開始的. 課 程 簡(jiǎn) 介 解析幾何的主要?jiǎng)?chuàng)始人 1. 費(fèi)馬 ( 課 程 簡(jiǎn) 介 2. 笛卡兒 (Descartes Ren, 1596-1650, 法國(guó)人) 是一位杰出的近代哲學(xué)家, 是近代生物學(xué)的奠基人, 是第一流的物理學(xué)家, 只偶然地是個(gè)數(shù)學(xué)家. 1637年, 笛卡兒寫的更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論一書出版, 其中包括三個(gè)著名的附錄, 幾何是其中之一, 這是他寫的唯一的一本數(shù)學(xué)書, 他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想, 就包括在這本幾何中.笛卡兒是通過(guò)三個(gè)途徑來(lái)研究數(shù)學(xué)的: 課 程 簡(jiǎn) 介 2. 笛卡兒 (Descartes

4、Ren 課 程 簡(jiǎn) 介 (1) 作為哲學(xué)家, 他把數(shù)學(xué)方法看作是一切領(lǐng)域建立真理的方法來(lái)研究; (2) 作為自然科學(xué)的研究者, 他廣泛地研究了力學(xué)、光學(xué)和生物學(xué)等各個(gè)方面, 他的幾何的一部分就是講光學(xué)的; (3) 作為一個(gè)關(guān)心科學(xué)用途的人, 他強(qiáng)調(diào)把科學(xué)成果付之于應(yīng)用, 他不推崇純粹數(shù)學(xué), 他說(shuō): “我決心放棄那個(gè)僅僅是抽象的幾何, 這就是說(shuō), 不再去考慮那些僅僅是用來(lái)訓(xùn)練思想的問(wèn)題, 我這樣做是為了研究另一種幾何, 即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何”. 課 程 簡(jiǎn) 介 (1) 作為哲學(xué)家, 他把數(shù)學(xué)方法看作是 課 程 簡(jiǎn) 介 解析幾何的重要性 解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái), 把數(shù)學(xué)造成了一個(gè)雙面

5、的工具. 一方面, 幾何概念可用代數(shù)表示, 幾何的目的可通過(guò)代數(shù)達(dá)到; 反過(guò)來(lái), 給代數(shù)概念以幾何解釋, 可以直觀地掌握這些概念的意義, 又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論. 課 程 簡(jiǎn) 介 解析幾何的重要性 解析幾何把 課 程 簡(jiǎn) 介 學(xué)習(xí)解析幾何的一點(diǎn)啟示 解析幾何的重要性在于它的方法-建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用方程來(lái)表示幾何圖形, 通過(guò)研究方程來(lái)研究幾何圖形. 前蘇聯(lián)著名幾何學(xué)家波格列諾夫說(shuō)過(guò): “ 解析幾何沒有嚴(yán)格確定的內(nèi)容, 對(duì)它來(lái)說(shuō), 決定性的因素, 不是研究對(duì)象, 而是方法”.因此, 我們學(xué)習(xí)解析幾何主要是掌握它的基本方法, 而不僅僅在于記住它的某些結(jié)論! 課 程 簡(jiǎn) 介 學(xué)習(xí)解析幾何的一點(diǎn)

6、啟示 解析 課 程 簡(jiǎn) 介 第四章 保距變換和仿射變換 第一章 向量代數(shù) 第二章 空間解析幾何 第三章 坐標(biāo)變換與二次曲線的分類 第五章 射影幾何學(xué)初步 - 介紹向量及其基本運(yùn)算, 由此建立仿射坐標(biāo)系 - 用坐標(biāo)法和向量法討論空間中某些幾何圖形及其相關(guān)幾何問(wèn)題 包括空間中的平面, 直線, 柱面, 錐面, 旋轉(zhuǎn)面以及二次曲面等 - 利用坐標(biāo)變換研究二次曲線分類, 討論圓錐曲線 的仿射特征 和度量特征.- 研究?jī)深愔匾獛缀巫儞Q-保距變換和仿射變換, 討論圖形的 仿射分類和度量分類.- 射影幾何學(xué)初步介紹, 將給出射影平面, 射影變換, 射 影坐標(biāo)系, 交比等基本概念以及二次曲線的射影理論. 課 程

7、 簡(jiǎn) 介 第四章 保距變換和仿射變換 第一章 第一章 向 量 代 數(shù)4 向量的外積 1 向量的線性運(yùn)算2 仿射坐標(biāo)系 3 向量的內(nèi)積 5 向量的多重乘積 第一章 向 量 代 數(shù)4 向量的外積 1 1 向量的線性運(yùn)算 1.1 向量的概念1.2 向量的線性運(yùn)算 1.3 向量的分解 1.4 在三點(diǎn)共線問(wèn)題上的應(yīng)用 1 向量的線性運(yùn)算 1.1 向量的概念1.2 向1.1 向量的概念現(xiàn)實(shí)中：溫度、時(shí)間、身高、體重等量而位移、速度、加速度、力、力矩等量只有大小，稱為數(shù)量 (或標(biāo)量) ;既有大小又有方向，稱為向量(或矢量) .記號(hào): 黑斜體小寫西文字母, 如向量 , , , a, b, c 等.用絕對(duì)值記號(hào)

8、表示向量的大小, 如 | | 表示向量 的大小. 1.1 向量的概念現(xiàn)實(shí)中：溫度、時(shí)間、身高、體重等量而位移1.1 向量的概念向量的表示: 幾何上, 用有向線段表示向量, 有向 線段的長(zhǎng)度和方向分別表示了向量 的大小和方向.記起點(diǎn)、終點(diǎn)分別為A, B的有向 線段為 AB 如右圖, 有向線段AB 表示向量 AB注: 今后就把有向線段看作向量, 向量與有向 線段的起點(diǎn)選取無(wú)關(guān), 也稱為自由向量; 向量的大小也稱為向量的長(zhǎng)度或模. 1.1 向量的概念向量的表示: 幾何上, 用有向線段表示1.1 向量的概念零向量: 大小為 0 的向量, 其方向不定, 記為0.單位向量: 長(zhǎng)度為 1 的向量, 與 同方

9、向的單位向量記為0向量相等: 若向量 與 大小相等, 方向相同, 則稱 與 相等, 記作 .平行向量: 若向量 與 方向相同或相反, 則稱 與 平行, 記作 .規(guī)定: 零向量與任何向量平行 .1.1 向量的概念零向量: 大小為 0 的向量, 其方向1.1 向量的概念反向量: 與 的長(zhǎng)度相同, 但方向相反的向量 稱為 的反向量, 記作 .正交向量: 若向量 與 的方向互相垂直, 則稱 與 垂直或正交, 記作 .規(guī)定: 零向量與任何向量正交 .1.1 向量的概念反向量: 與 的長(zhǎng)度相同, 但方1. 向量的加法三角形法則:ABC+平行四邊形法則:ABCD+1.2 向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法三角形

10、法則:ABC+平行四邊形法則:交換律向量加法運(yùn)算律 : + = + 結(jié)合律( + ) + = + ( + ) = + + ABCD+(+) + + ( +) = + + 1.2 向量的線性運(yùn)算交換律向量加法運(yùn)算律 : + = + 結(jié)合律(三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加, 如下圖:s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 , 12345sn個(gè)向量相加法則:使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn), 相繼作向量1, 2, , n, 再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn), 末一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn), 作一向量, 即為和向量1.2 向量的線性運(yùn)算三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加, 如下圖:s = 1 + 1.2 向量的線性

11、運(yùn)算2. 向量的減法規(guī)定: = +()ABCD +() 三角不等式:| + | | | + | |, | | | | + | |常用等式:AB = OB OA, AB = AO BO 1.2 向量的線性運(yùn)算2. 向量的減法規(guī)定: =1.2 向量的線性運(yùn)算例 1 設(shè)A, B, C, D是空間中任意四點(diǎn), 則AB + CD = AD + CB證明:方法1. 因?yàn)?AB + CD AD CB =AB + BC + CD + DA= AA = 0 .作移項(xiàng), 即得結(jié)果. 方法2. 在空間任取一點(diǎn)O, 則所求等式左邊 AB + CD =OB OA + OD OC等式右邊 AD + CB =OD OA +

12、 OB OC兩邊相等1.2 向量的線性運(yùn)算例 1 設(shè)A, B, C, D是3. 向量與數(shù)的乘積(向量的數(shù)乘)1.2 向量的線性運(yùn)算向量 與實(shí)數(shù) 的乘積是一個(gè)新向量, 記作, 的長(zhǎng)度為| | = | | | 的方向?yàn)?與 同向, 0 與 反向, 0, 0,從而 + 和( +)方向一致, 并且= | + | |= | + | | |= |+ | |1.2 向量的線性運(yùn)算驗(yàn)證分配律: (1) ( +1.2 向量的線性運(yùn)算將系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)移到等式的另一邊就可化為上述情形. ( + ) = + = ( + ) + ( )當(dāng), , + 中出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí),例如當(dāng) 0, 0時(shí), = ( + ) 1.2 向量的線性

13、運(yùn)算將系數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)移到等式的另一邊就可1.2 向量的線性運(yùn)算(2) ( + ) = + 則可設(shè) = , 此時(shí) ( + ) = ( + ) = + 如果與 不平行, 則可 用作圖法證明. 如右圖:( + ) +不妨假定, , 都不為0.如果與 平行,= (1+)= ( + ) = + 1.2 向量的線性運(yùn)算(2) ( + ) = 1.2 向量的線性運(yùn)算例 2 設(shè)AC, BD是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線, 已知向量AC = , BD = , 求向量AB和BC.解: ABCD設(shè)AC與BD相交于O. O 易見 AB = AO BOBC = BO + OC而 AO = OC = 1/2 AC, B

14、O = 1/2 BD,故 AB = 1/2 1/2 = 1/2 ( ) , BC = 1/2 +1/2 = 1/2 ( +) . 1.2 向量的線性運(yùn)算例 2 設(shè)AC, BD是平行四邊1.3 向量的分解定義1 設(shè)1, 2, , n, 是一組向量, 若 = k11+ k22+ + knn ,則稱 是向量組1, 2, , n 的線性組合,或稱 可由向量組1, 2, , n 線性表示.k1, k2, , kn 是一組實(shí)數(shù),也稱 可對(duì)向量組1, 2, , n 分解.k1, k2, , kn 稱為組合系數(shù)或分解系數(shù),1.3 向量的分解定義1 設(shè)1, 2, , n定義2 如果一組向量平行于同一直線, 就稱

15、 它們共線;如果一組向量平行于同一平面, 就稱它們共面.1.3 向量的分解由定義易知, 向量組1, 2, , n共線(面)就是:當(dāng)用同一起點(diǎn)O作有向線段OAi =i, i =1,2,n時(shí), O, A1, A2, , An共線(面).注: 向量組共線就是其中任何兩個(gè)向量平行, 向量組共面就是其中任何三個(gè)向量共面. 于是判別“兩向量是否平行”, “三向量是否共面” 成為基本問(wèn)題. 定義2 如果一組向量平行于同一直線, 就稱如果一組向量平定理1.1 (向量分解定理) (2) 若向量 , , 共面, 并且 與 不平行, 則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù), 使得 = + .1.3 向量的分解(3) 若向量 , ,

16、不共面, 則任何向量 都可以對(duì), , 分解, 且分解方式唯一.(1) 設(shè) 為非零向量, 則 / (與共線) 當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù), 使得 = . 向量分解定理是建立仿射坐標(biāo)系的 理論基礎(chǔ), 也是仿射幾何學(xué)的基礎(chǔ)!定理1.1 (向量分解定理) (2) 若向量 , , 證明:設(shè) /, 取 1.3 向量的分解其中 =1, 當(dāng)與 同向時(shí),1, 當(dāng)與 反向時(shí),容易驗(yàn)證 = .(1) 必要性.充分性由平行定義易知.再證數(shù) 的唯一性.設(shè)又有 ,則( ) = = 0.又 0 ,故 = 0 ,即 = .注: 為方便, 將這里的數(shù) 記為證明:設(shè) /, 取 1.3 向量的分解其中 1.3 向量的分解(2) 存在性.

17、從同一起點(diǎn) O 作OA = , OB = , OC = . 過(guò) C 作 CD / OB, 且與直線 OA 交于 D. 因?yàn)镺D 與 共線, 所以有實(shí)數(shù) 使得OD = . 同理有 DC = . 因此 = OC= OD + DC= + .OABC D 1.3 向量的分解(2) 存在性.從同一起點(diǎn) O 作OA唯一性. = 1 + 1 ( 1, 1不全為零) , 則有 ( 1 ) +( 1) = 0 ,不妨設(shè) 1 0, 則從而, 平行, 與條件矛盾!1.3 向量的分解用反證法. 假如還有另一個(gè)分解式 唯一性. = 1 + 1 ( 1, OACBDEF(3) 可分解性.取一點(diǎn)O, 作OA ,OB ,OC

18、 ,OD ,分別表示, , , .過(guò) D 作一直線與OC平行, 且與OA和OB決定的平面交于E.過(guò) E 作一直線與OB平行, 并且與OA交于F.因?yàn)镺F / ,FE / ,ED / ,1.3 向量的分解OACBDEF(3) 可分解性.取一點(diǎn)O, 作OAOACBDEF1.3 向量的分解由(1), 存在實(shí)數(shù) x, y, z 使得OF = x,FE = y,ED = z.從而 = OD= OF + FE + ED= x + y + z .OACBDEF1.3 向量的分解由(1), 存在唯一性.若有兩個(gè)不同的分解式 = x + y + z = x1 + y1 + z1 ,則得 (xx1) + (y y

19、1) + (zz1) = 0 .1.3 向量的分解不妨設(shè) 1 0, 則從而, , 共面, 與條件矛盾!唯一性.若有兩個(gè)不同的分解式 = x + y + z(1) 向量 與 共線的充分必要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù) , 使得 + = 0. ()1.3 向量的分解命題1.1(2) 向量, , 共面 的充分必要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù) , , 使得 + + = 0 . ()(1) 向量 與 共線的充分必要條件是存在 +證明:設(shè)與共線, 若 = = 0, 則有 1 + 1 = 0 .若與不全為0, 不妨設(shè) 0 ,存在實(shí)數(shù) 使得 = , 從而有 + (1) = 0.1.3 向量的分解(1) 必要性.充分性

20、. 若有不全為零的實(shí)數(shù), 使得()成立,不妨設(shè) 0, 于是由 () 可得因此 與 共線.由定理1.1 (1)可知,證明:設(shè)與共線, 若 = = 0, 則有 1 (2) 必要性. 設(shè), , 共面, 若 / , 則有實(shí)數(shù), 使得 = +,即 + + (1) = 0.若 / , 由(1) 存在不全為零的實(shí)數(shù), 使得 + = 0,從而有 + + 0 = 0 .充分性.不妨設(shè) 0, 因此, , 共面. 1.3 向量的分解設(shè)有不全為零的實(shí)數(shù), , 使得()成立, 則由 () 得(2) 必要性. 設(shè), , 共面, 若 / 1.3 向量的分解推論1 向量 與 不共線的充分必要條件是:由 + = 0 可以推出

21、= = 0 .推論2 向量, , 不共面的充分必要條件是:由 + + = 0 可以推出 = = = 0.定義3 設(shè)1, 2, , n 是向量, 若存在不全為零的實(shí)數(shù) k1, k2, , kn, 使得k11+ k22+ + knn = 0,則稱向量組1, 2, , n 線性相關(guān), 否則, 稱向量組1, 2, , n 線性無(wú)關(guān). 1.3 向量的分解推論1 向量 與 不共線的充分由定義易知, 向量組1, 2, , n 線性無(wú)關(guān)由k11+ k22+ + knn = 0可推出 k1= kn = 0,再由前面定理1.1, 命題1.1及推論可知,兩向量 , 共線 , 線性相關(guān);兩向量 , 不共線 , 線性無(wú)

22、關(guān);三向量 , , 共面 , , 線性相關(guān);三向量 , , 不共面 , , 線性無(wú)關(guān).1.3 向量的分解空間四向量總線性相關(guān).由定義易知, 向量組1, 2, , n 線性無(wú)關(guān) 由于上述結(jié)論, 使得向量的線性運(yùn)算可以用來(lái)解決有關(guān)點(diǎn)的共線、共面問(wèn)題以及線段的定比分割問(wèn)題等.1.4 在共線共面問(wèn)題上的應(yīng)用證明: 必要性. 由于O, A, B不共線, 命題1.2 假設(shè)O, A, B不共線, 則點(diǎn)C 和A, B共線的充分必要條件是: 向量OC 對(duì)OA, OB 可分解, 并且分解系數(shù)之和等于1.所以O(shè)A, OB不平行, 且AB 0. 由于上述結(jié)論, 使得向量的線性運(yùn)算可以用來(lái)解決有關(guān)1.4 在共線共面問(wèn)題

23、上的應(yīng)用于是 C 和A, B 共線 AC / AB 存在實(shí)數(shù)s, 使得AC = s AB 即 OC OA = s (OB OA) 存在實(shí)數(shù)s, 使得OC = (1s) OA + s OB OC 對(duì)OA, OB 可分解, 且分解系數(shù)之和為1. 充分性. 設(shè)OC = r OA + s OB, 其中r + s = 1, 于是 OC = (1s) OA + s OB, 即 AC = s AB. 因此 AC / AB, 從而 C 和A, B共線.1.4 在共線共面問(wèn)題上的應(yīng)用于是 C 和A, B 共線1.4 在共線共面問(wèn)題上的應(yīng)用注: 命題1.2中的數(shù) s 是反映C 在A, B 決定的直線上的位置的一個(gè)

24、數(shù)量, 即而中學(xué)里學(xué)的定比概念也是反映C 在A, B 決定的直線上的位置的一個(gè)數(shù)量, 本書稱之為簡(jiǎn)單比, 并記作(A, B, C) , 根據(jù)定義有易求得其中 = (A, B, C) . 1.4 在共線共面問(wèn)題上的應(yīng)用注: 命題1.2中的數(shù) 練習(xí)題:設(shè)A, B, C不共線. 證明點(diǎn)M在平面ABC上的充要條件是: 對(duì)任意定點(diǎn)O, 存在實(shí)數(shù)k1, k2, k3, 使得且 k1 + k2 + k3 =1. OM=k1OA + k2OB + k3OC, 1.4 在共線共面問(wèn)題上的應(yīng)用證明: ()AB, AC 不共線, AM, AB, AC 共面,故存在實(shí)數(shù) k, m 使得AM = k AB + m AC

25、, 對(duì)任意定點(diǎn) O, 有OM OA= k ( OB OA ) + m ( OC OA ),練習(xí)題:設(shè)A, B, C不共線. 證明點(diǎn)M在平面ABC上的充即令 k1 = 1 k m, k2 = k, k3 = m, 即得結(jié)論. () 設(shè) OM = k1OA + k2OB + k3OC, 注意到 k1 = 1 k2 k3 , 有AM = OM OA= ( 1 k2 k3 )OA+k2OB+k3OC OA= k2(OB OA)+k3(OC OA)= k2AB + k3AC可見 AM, AB, AC 共面,即M在平面ABC上. OM = ( 1 k m ) OA + k OB + m OC,1.4 在共線共面問(wèn)題上的應(yīng)用k1 + k2 + k3 =1.即令 k1 = 1 k m, k2 = k, k3 1.4 在共線共面問(wèn)題上的應(yīng)用例 3 設(shè)三角形ABC中, 點(diǎn)D, E, F分別在AB, BC, AC 邊上, 使得線段AE, BF, CD 交于一點(diǎn)O(下圖).已知(A, B, D) = (C, A, F) = 1/2 , 求(B, C, E), (A, E, O), (C, D, O), (B, F, O).ABCD