四元數(shù)的性質(zhì)

1、 摘要姓名:吳遜 學(xué)號(hào)：20036126028由超復(fù)數(shù)，其中i 和j、k都是虛數(shù)誘導(dǎo)出四元數(shù)q 其定義如下： 其中w,x,y,z是實(shí)數(shù)，i 和j、k都是虛數(shù)，且有:，Q的模為一個(gè)四元素Q可以由平面上兩個(gè)復(fù)數(shù)u,v來表示： 其中a,b,c,d是實(shí)數(shù)，是v，u的共軛。對(duì)于四元數(shù)q，如果存在正數(shù)和，當(dāng)時(shí)為真，則。其性質(zhì)如下：1、 兩個(gè)等式等價(jià) 2、 三個(gè)等式等價(jià) 對(duì)于性質(zhì)1，由四元數(shù)極限的基本性質(zhì)給于證明。對(duì)于性質(zhì)2分三步證明;1、由性質(zhì)1、等價(jià)無窮小量、高階無窮小量的性質(zhì)可以證明2、同理可證3、同理可證綜合上述3步即：關(guān)鍵字超復(fù)數(shù) 四元數(shù) 無窮小量 三維空間四元數(shù)的性質(zhì)一、四元數(shù)的產(chǎn)生 18世紀(jì)創(chuàng)

2、立復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)史上的一件大事，那么是否存在超復(fù)數(shù)呢？所謂的超復(fù)數(shù)定義如下：令，其中i 和j、k都是虛數(shù)，他們滿足下述運(yùn)算要求： 它們滿足乘法分配律。兩個(gè)超復(fù)數(shù)的乘法公式如下定義：令和，則一個(gè)四元數(shù)q 是這樣定義的： 其中w,x,y,z是實(shí)數(shù)，i 和j、k都是虛數(shù)，且有: Q的模為: 一個(gè)四元素Q可以由平面上兩個(gè)復(fù)數(shù)u,v來表示： 其中a,b,c,d是實(shí)數(shù)，是v，u的共軛。二、四元數(shù)的基本性質(zhì)一個(gè)四元數(shù)也可以用q=w,x,y來表示。其基本性質(zhì)如下:一個(gè)平面上的復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部組成：z=a.1+bi,一個(gè)四元數(shù)同樣也可以由若干部分線性組合而成： Q=wU+xI+yJ+zK 其中 于是 也就是說，I，

3、J，K是矩陣方程的解，是負(fù)單位矩陣的平方根一個(gè)四元數(shù)整系數(shù)基的線性組合也叫 Hamilton整數(shù)，在R4空間，四元數(shù)的基是如下四個(gè)： 與超復(fù)數(shù)不同，四元數(shù)的三個(gè)虛數(shù)之間的運(yùn)算并不征遵從乘法交換律，其運(yùn)算規(guī)律如下： 看起來像三維空間直角坐標(biāo)系中單位向量i,j,K的叉乘關(guān)系。設(shè)，則其四元數(shù)共軛為 其加法遵從一般規(guī)律： 設(shè)，其乘法服從 q的模仍然遵從一般復(fù)數(shù)的關(guān)系。 且等于公式（1.3）。一個(gè)四元數(shù)可以寫成一個(gè)數(shù)量加上一個(gè)向量 其中向量。如此一來，兩個(gè)四元數(shù)的乘法就變得較為簡單： 四元數(shù)的除法也遵從復(fù)數(shù)關(guān)系 和. 從幾何上來講，四元數(shù)代表著時(shí)間加三維空間。如果固定實(shí)數(shù)為常數(shù)，則這個(gè)四元數(shù)就上三維空間

4、的一個(gè)變量。 定理1 設(shè)是兩個(gè)非零四元數(shù)，則是三維空間對(duì)的一個(gè)旋轉(zhuǎn)。 證明 因?yàn)?，所以，又，表明是三維空間對(duì)P的一個(gè)正交變換，由于把零點(diǎn)變換到零點(diǎn)，把非零四元數(shù)P變換到另外一個(gè)等長的四元數(shù)，所以就是對(duì)P的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換。Arvo于1994年證明了這樣一個(gè)事實(shí);三維空間中的單位向量n作角旋轉(zhuǎn)后，可記為一個(gè)四元數(shù)：顯然|q|=1和，該四元數(shù)的分量又稱為Euler參數(shù)，一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)以后，可以寫為： 兩次旋轉(zhuǎn)以后為: 把定理1概括為：若： 則:三、四元數(shù)極限的定義和重要性質(zhì)的證明定義1、四元數(shù)的極限：如果即q趨向于c時(shí)，f(q)的極限是l，指存在正數(shù)和，當(dāng)時(shí)為真下面兩個(gè)等式等價(jià) 同樣下面三個(gè)等式等價(jià)

5、如果 證明：充分性：假定，由于，由定義，存在正數(shù)和，當(dāng)時(shí)，為真即：時(shí)，即有: 存在正數(shù)和，當(dāng)時(shí)，為真即： 必要性：由于，由定義，存在正數(shù)和，當(dāng)時(shí)，為真即：時(shí)， 即有: 即:證明完畢2、證明：1、由無窮小量的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，是無窮小量。又由高階無窮小量的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，是比更高階的無窮小量。由性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，和是同階的無窮小量。于是當(dāng)時(shí)，是比更高階的無窮小量。即:2、因?yàn)楫?dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，當(dāng),和是同價(jià)無窮小量。由性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，和是同階的無窮小量。由于，由無窮小量的性質(zhì)，于是當(dāng)時(shí)，是比更高階的無窮小量。于是當(dāng)時(shí)，是比更高階的無窮小量。即：3、 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，當(dāng),和是同價(jià)無窮小量。由無窮小量的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，是比更高階的無窮小量。于是當(dāng)時(shí)，是比更高階的